浅谈特勒根定理.pdf

浅谈特勒根定理李 妍 熊信银 吴耀武( 华中科技大学电气与电子工程学院 武汉: 430074)X摘 要 讨论了特勒根定理的两种表现形式— —功率守恒和似功率守恒及其内在联系, 给出特勒根定理的完整形式及其证明, 并通过讨论该定理的实际应用, 得出互易定理从而阐明了特勒根定理, 功率守恒, 似功率守恒及互易定理四者间的关系关键词 特勒根定理 功率守恒 似功率守恒 互易定理Discussion of Tellegenp s TheoremLI Yan, XIONG Xinyin, WU Yaowu( Dept. of Electrical conservation of the power; conservation of the similar power; reciprocitytheorem0 引言特勒根定理是网络定理中的难点, 但是常见的教科书只谈到特勒根定理的表现形式, 对定理的本 质并未给出详尽的陈述, 这样往往容易导致对定理 的实质认识不够, 笔者认为: 对常用教材中定理的叙述需要做些补充, 才能更便于理解和应用定理 下面 将对特勒根定理进行深入的讨论, 以帮助学习和掌 握有关内容。

1 特勒根定理的两种表现形式对任一集中参数电路在任一瞬间所有支路吸收 功率的代数和为零, 即: 1) 特勒根定理的表现形式一: 功率守恒∑bk= 1vkik= 0( 1)式( 1) 中, vk代表支路 k 的电压, ik代表支路 k 的电流, vkik代表支路 k 的电功率, 则∑bk= 1vkik= 0 代表了 该电路的功率特勒根定理的表现形式一所陈述的正是大家所熟悉的功率守恒 功率守恒成立的前提条件是, 支路电压 vk满足由该电路的拓扑结构所决定的 KVL 约束, 支路电流 ik满足由该电路的拓扑结构所决定的 KCL 约 束, 同时, 支路电压与支路电流还要满足该支路k 的支路方程2) 特勒根定理的表现形式二: 似功率守恒设具有相同拓扑结构的电路N 和 N^, 且对应的 支路和节点取相同的编号, 对应支路的参考方向相同, 则有:∑bk= 1v^kik= 0 ∑bk= 1vki^k= 0( 2)第 24卷第 3期 2 0 0 2年 6月电 气 电 子 教学 学 报JOURNALOFEEEVol. 24 No. 3Jun . 2 0 0 2X收稿日期: 2002 年 3 月 18日第一作者简介: 李妍, 女, 1971 年出生, 博士研究生, 研究方向为电力系统运行分析, 无功监控, 谐波分析, 理论电工等。

式中, i^k, v^k分别为电网络 N^的支路电流和支路电压, ik, vk分别为电网络 N 的支路电流和支路电压 由上式可以清楚地看到: 特勒根定理的表现形式二中的两个等式不再具有支路功率的物理含义,但式中各项具有功率的量纲, 很多教材中将此等式称之“ 似功率守恒” 以区别于功率守恒2 定理的完整形式及其证明通过对以上两种情况的讨论, 可以将功率守恒与似功率守恒统一为特勒根定理的完整形式: 一个 具有 b 条支路的任意集中参数电网络, 假定任意一组支路电压 vk和一组支路电流 ik, ( k= 1, 2, ⋯, b)( 支路电压和电流为关联参考方向) 只要这组支路电 压满足该电网络图所决定的 KVL 约束, 支路电流满足该电网络图所决定的 KCL 约束, 则∑bk= 1vkik= 0( 3)说明: 1) vk和 ik若满足支路 k 的支路方程, 上述定理表现为功率守恒2) vk和 ik若不满足支路 k 的支路方程, 上述 定理表现为似功率守恒证明:根据网络图论的知识, KVL 的一种矩阵表示形式为: Vb= ATe其中, Vb代表支路电压列相量; A 代表节点支路关联矩阵; e 代表节点电位列相量。

、 KCL 的一种矩阵表示形式为: AIb= 0其中, Ib代表支路电流列相量; A 代表节点支路关联 矩阵∑bk= 1vkik= IT bVb= IT bATe = ( A Ib)Te = 0由证明过程可以看到: 特勒根定理是基尔霍夫定理的直接结果, 和基尔霍夫定理一样, 它独立于电路元件的性质, 对具有非线性的以至是时变参数的 网络都是适用的 因此, 特勒根定理是网络的一条普遍定理3 特勒根定理的应用——互易定理由特勒根定理的两种表现形式可以发现: 特勒根定理概括了能量守恒, 它不仅适用于一个网络的一种工作状态, 而且适用于同一网络的两种不同工作状态, 以及定向图相同的两个不同网络特勒根定理的重要价值就体现在似功率守恒,似功率守恒将两个网络的变量联系在一个等式中,从而使已知一个网络的变量求解另一个网络的变量 成为可能但是, 仔细分析似功率守恒定理, 就会发现它所提供的两个等式包含了两个网络的 4b 个变量, 因此, 如果直接应用定理求解网络, 必须给出 4b - 2 个网络变量, 这给定理的实际应用带来了困难;但是, 如果待考察的网络满足某些特殊条件, 应用特勒根定理, 往往可以得出一些有益的结论。

例如: 在工程实际中应用广泛的互易网络的互易情况就是特 勒根定理应用于特殊网络所得出的结论图 1 具有两种不同工作状态的电网络 N考察图 1 所示网络 N 的两种工作状态时, 显然可以应用特勒根定理的似功率守恒定理, 列写关于 两个网络的网络变量的似功率守恒的等式:v1i^1+ v2i^2+∑bk= 3vki^k= 0( 4)v^1i1+v^2i2+∑bk= 3v^kik= 0( 5)如果∑bk= 3vki^k=∑bk= 3v^kik成立, 则 N , N^称为互易网络 此时v1i^1+ v2i^2=v^1i1+v^2i2( 6)这样, 当端口变量满足一些特殊条件时, 就会得到非常直观的结论下面针对互易网络来讨论网络的互易情况 1) 激励为电压源, 响应为另一端口的短路电流,当激励与响应互易后, 若激励保持不变, 则响应不变如图 1 所示, v1= v^2= vs, v2= v^1= 0; 代入式( 6) , 则可得到 i^1= i22) 激励为电流源, 响应为另一端口的开路电压, 当激励与响应互易后, 若激励保持不变, 则响应不变41第 24 卷第 3期 李 妍等: 浅谈特勒根定理 如图 1 所示, i1= i^2= is, i2=i^1= 0; 代入式( 6) , 则可得到 v^1= v2。

3) 激励为电流源, 响应为另一端口的短路电流, 当激励和响应互易后, 激励改变电压源, 响应改变为另一端口的开路电压, 如果两种情况下作为激励的电压源和电流源具有相同的波形, 则两种情况下响 应的波形相同如图 1所示, i1= is, v^2= vs, v2= i^1= 0, 且 is和vs大小相等; 代入式( 6) , 则可以得到 v^1= i2此处只表示大小相等, 两者的量纲不同以上的三种情况正是互易定理的完整内容 由以上讨论可以看到: 互易网络所存在的互易情况是将特勒根定理应用于特殊情况时所得到的直接结果, 也可以说, 大家所熟悉的互易定理是特勒根 定理的特例 实际上, 特勒根定理适用于任意一般性质的电网络, 给解决电路问题了有力的理论工具4 结论在常用教科书中, 往往只谈到特勒根定理的两种表现形式, 即功率守恒和似功率守恒, 没有将功率守恒和似功率守恒统一为特勒根定理的完整形式,这样, 定理的两种表现形式之间的内在联系就没有阐述明白, 学习时就认识不到特勒根定理的深刻性 和广泛性 本文阐述了定理的完整形式, 给出了严格的证明, 并由定理的应用得到互易定理 从而深刻揭示了特勒根定理的内涵, 阐述了特勒根定理, 功率守 恒, 似功率守恒和互易定理四者间的内在联系, 有助于掌握和应用特勒根定理。

参考文献1 邱关源 . 电路( 第四版) . 北京: 高等教育出版社 1, 19992 黄冠斌 . 电路理论——电阻性网络 . 武汉: 华中理工大学出版社, 19983 黄慕义 . 电网络理论——原理, 分析和应用( 上册) . 武汉: 华中理工大学出版社, 19864 Charles A. Desoer and Ernest S. Kuh. Basic Circuit T heory. De-partment of Electrical Eng ineering and Computer Sciences U ni-versity of California, Berkeley, 1969( 上接第 36页孙开放文)再来讨论有符号数 X补- Y补的问题我们把N位字长的有符号补码数看成 N 位字长的“ 准无符号数” 后, 其模为 2N显然有: X 补- Y补= X补+ ( 模-Y补) , 加数( 模- Y补) 为Y补的模 2N补码根据上述讨论, 我们不难得出 N 位字长的有符号补码数的性质:( 1) [ X补]补= X;( 2) [ X+ Y]补= 模- [ X+ Y] = 模+ 模- [ X+Y] = [ 模- X] + [ 模- Y] = X补+ Y补; ( 3) [ X- Y]补= 模- [ X- Y] = 模- 模- [ X-Y] = [ 模- X] - [ 模- Y] = X补- Y补;( 4) 零的表示方法只有一种, 即用 N 位全 0 的二进制数表示“ 零” 。

4 结论对于有符号数补码, 对其进行加法运算时, 完全可以将符号位看作“ 准数据位” , 与数据位一起作为N 位字长的无符号数参与加法运算显然, 把有符号数用补码表示后, 其加法运算与无符号数的加法 运算没啥差别了 至于有符号数的补码减法运算, 我们可以将其转换为补码的加法运算这正是补码表示的魅力所在! 正是基于此,CPU、 MPU 中的累加器即可以用于无符号数的加 法运算也可以用于有符号数补码的加法运算, 从而大大地简化了 CPU、 MPU 的电路设计, 也大大地简化了软件编程参考文献1 周明德 . 微型计算机硬件软件及应用 . 清华大学出版社, 19832 王正智 . 8086/ 8098 汇编语言程序设计 . 电子工业出版社, 19913 汪建. MCS- 96 系列单片机原理及应用技术. 武汉: 华中科技大学出版社, 199842电气电子教学学报 2002 年 6 月。