等比数列知识点总结与典型例题(精华版).docx

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义:表qan1n2,且nN,q称为公比2、通项公式:n1ana〔qa1-ai0,A0，首项：印；公比：q推广：annmamqnanamnmanq-am3、4、5、6、7、(2)数列an是等比数列等比数列的前n项和Sn公式:(1)当q1时，Sn(2)当q1时，Sn等比数列的判定方法:(D(2)(3)na1a11a〔1用定义：对任意的等比中项：an2通项公式:an等比数列的证明方法:依据定义：若-a^qan1等比数列的性质:2anan1an1a〔anq1qai1qnAABnA'BnA'(A,B,A',B'为常数)n，都有an1an1an1(anR1BnA2,且nqan或-^-aq(q为常数，a”0)(an)为等比数an0)(an)为等比数列(an)为等比数列N或an1qan(an)为等比数歹0等比中项：(1)如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2ab或A/ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个((2)对任何m,nN*,在等比数歹U(an)中，有a”amqnm2(3)右mnst(m,n,s,tN),则a”amasat。

特力U的，少mn2k时，得a”amak注:aiana?a”1agBn2等差和等比数列比较:等差数列等比数列定义an1andan1n1q(q0)an递推公式anan1d；anamnmdnmanan1q；anamq通项公式ana1(n1)d_一一n1,-、ana1q(a〔，q0)中项A，nk2^nk(n,kN*,nk0)GJankank(ankank0)(n,kN*,nk0)前n项和Sn_(a1an)2n(n1)Snna1dn12na〔(q1)Sna11qna〔anq(q/1q1q重要性质amanapaq(m,n,p,qN*,mnpq)amanapaq(m,n,p,qN*,mnpq)经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1.等比数列｛an｝中，a1a964,a3a720,求a11.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出a1和q,可得an；或注意到下标1937,可以利用性质可求出a3、a7，再求a、.解析:法一：设此数列公比为q,则a1a9a3a78a〔a〔q2a〔q646a〔q20由⑵得：a1q2(1--a〔0.由⑴得：(a1q4)2⑶+(4)得：眼4、一q)20(3)64,420a1q48q28•■-2q45q22,一20,解得q2或2q12当q22时，a〔2,a.a〔q1064；2击q1时，a132,a〔1a〔10q1.2法二：•-'a〔a9a3a764,又a3a720,•■-a3、a7^方程x220x640）的囚孑实数根,•••a316.或a34a74a716a3a121a7,2.oa7--如1或a1164.a3总结升华：① 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；② 解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】｛an｝为等比数列，ai=3,a9=768,求a6。

答案】土96法一：设公比为q,贝U768=a1q8,q8=256,•■-q=+2,a6=±96;法二：a52=a〔a9a5=±48q=±2,•.a6=±96求a44a45a46的侄（变式2】｛an｝为等比数列,an>0,且a1a89=16,【答案】64;2a〔a89a4516,又an>0,a45=4,•a44a45a46a4564o【变式3】已知等比数列｛an｝，若司a2a37,a1a2a38，求an答案】an2n1或an23n；法一:一23a?,--a〔a2a3a?8,.•-a22从而a〔a35,解之得a11,a34或ai4,a1a341当a11时，q2；当a14时，q—2故an2n1或a3nn2°法二：由等比数列的定义知a2a〔q,a3a〔q2-——2_a1a1qa1q7a31代入已知得2a1a1qa1q8ai(12)7,a1(12)7,(1)a3q38aiq2⑵将ai2代入(1)得2q25q20,q……1解得q2或q-2♦a14&1.、1由(2)碍或1,以下同方法一q2q2类型二：等比数列的前n项和公式q.例2.设等比数列｛an｝的前n项和为S,若&+&=2S9,求数列的公比解析：若q=1，则有S3=3a1,S6=6a1,&=9a1.因a1乒0,得&+&乒2&,显然q=1与题设矛盾，故q乒1.由…彳曰对q3)对q6)W1q9)出S3S62S9侍，1q1q1q整理得q3(2q6-q3-1)=0,由q丰0,得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0,因q3乒1，故q3；,所以q34。

2【变式1】求等比数列11,一,31一,L9的前6项和一S6113【变式2】已知:｛an｝为等比数列,1219，【答案】121或.3-a227a23,13a〔(1一S513513121或&=3640243a〔a2a3=27,S3=13,S5.3\q)1q〜1…一q3或q一，贝Ua1=1或3a1=9121【变式3】在等比数列（an}中，aian66,a2ani128,Sn126,求n和q1【答案】q一或2,n6;2a2an1aian，.•aian128解方程组a〔an128,a164a12，得或a1an66an2an64①将务64代入sna1anq，得q1,an21q2由ana〔qn1,解得n6;②将a1，代人sna；anq，得q2,n1由ana〔q，解得n61,、八--q一或2,n62类型三：等比数列的性质例3.等比数列(an｝中，若a5a69,求log3alog3a2log3a〔o.解析:,(an｝是等比数列，a〔a〔oa2a9a3a8a4a?a5&95.久5_•■-log3a〔log3a2log3a〔olog3(a〔a2a3La〔o)Iog3(a5a6)log3910举一反三：【变式1】正项等比数列(an｝中，若a1-a1oo=1OO;贝Ulga1+lga2++lga100=【答案】1OO;.lga1+lga2+lga3++lga1oo=lg(a1-a2-asaoo)而a〔-a1oo=a2-a99=a3-a98==a5o-a51.•原式=lg(a1-a〔oo)5°=5olg(a1-a〔oo)=5。

xlg1oo=1827【变式2】在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为32【答案】216;法一：设这个等比数列为（an},2724a〔q8116--a2a3a42a〔qa〔q3a〔q36a〔q63216法二：设这个等比数列为(an｝,公比为加入的三项分别为a2,a3,a4,由题意a1,a3,&5也成等比数列，a；27一36，故a36,223••a2a3a4a3a3a3216o类型四：等比数列前n项和公式的性质例4.在等比数列｛an｝中，已知SnS2n60,求S3nk项和,思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列解析：法一：令bl=S=48,b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=&n-S2nbi=ai+&++an,nb2=an+i+an+汁+a2n=q(ai+a2++an),bs=a2n+i+a2n+2++&n=q(a1+&++an)易知bi,b2,b3成等比数列，b3或兰3,b48Sn=b3+S2n=3+60=63.法二：•.S2n2Sn,q1,些主48①,」1q由已知得ME)60②iqc5ci+①得1q—,即q—③44代入①得d64,iqa』1q3n)1••-S3n-^—土工64(1—)63。

1q4法三：••-｛an｝为等比数列，Sn,S2n&,&nS?n也成等比数列，(S2n&)2Sn(S3n&n),__2一_2S3nS2n笆EL6063Sn48举一反三：【变式1】等比数列｛an｝中，公比q=2,S4=1,则S8=.【答案】17;44444444、』_S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+aiq+a2q+a3q+a4q=S4+q(ai+a2+a3+a4)=S4+qS=S4(1+q)=1x(1+2)=17【变式2】已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,且Si0=10,S20=40,求：S30=?【答案】130;法一:S10,S20-S10,S30-S20构成等比数列，(S20-S10)2=S0,(S30-S20)即302=10(S30-40),S30=130.法二：.2S10丰S20,..q1,a“1q10)10qd-^01qS301q1.10—,…q430、a〔(1q)10,S2020.对q)40,1q【变式3】等比数列S2nS2na(qn)1q4(1q2n)a13,1q(5)(133)130.9=80,S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.80S„1，一q1(否则—一)6560S2n2=80........(1)=6560.........⑵(an｝的项都是正数，若1q(2)+(1)得：1+qn=82,..qn=81......(3)•••该数列各项为正数，...由(3)知q>1(an｝为递增数列，an为最大项54.•■-an=a1qn-1=54,,•a〔qn=54q,81a1=54q....54•■-a1—q81•■-q=3,•■-n=4.....(4)2q代入⑴得2q(181)3380(1q)，【变式4】等比数列(an｝中，若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=【答案】4;24‘，令b1=a1+a2=a1(1+q),b2=a3+a4=a1q(1+q),b3=a5+a6=a1q(1+q),b2362勿知：b1,b2,b3成等比数列，..b3=——==4,即a5+a6=4.b324【变式5】等比数列(an｝中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。

答案】448;(an｝是等比数列,(。