充分条件与必要条件典型例题.docx

充分条件与必要条件•典型例题能力素质例1已知p： x1, x2是方程x2 + 5x — 6 = 0的两根，q: x〔 + x2=— 5,则A •充分但不必要条件 B •必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件分析 利用韦达定理转换.解 ■/x1, x2是方程x2 + 5x— 6 = 0的两根，••• x1, x2的值分别为1,— 6,• • x 1 + x? 1 6 5.说明但事实上只要取X1=-2, xa=-3作为反例即可说明这一点.因此选A .说明：判断命题为假命题可以通过举反例.例2 p是q的充要条件的是[ ]A . p: 3x + 2 > 5, q : — 2x — 3 > — 5B. p: a> 2, bv 2, q: a> bC. p:四边形的两条对角线互相垂直平分， q：四边形是正方形D. p: 0, q：关于x的方程ax = 1有惟一解分析逐个验证命题是否等价.解 对A . p： x> 1, q : xv 1,所以，p是q的既不充分也不必要条件；对B. p — q但q -二p, p是q的充分非必要条件；对C. pJq且qJ，p, p是q的必要非充分条件；对D . p= q且q= p,即q, p是q的充要条件.选 D.说明：当a= 0时，ax= 0有无数个解.例3若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件， C是B成立的充要条件，则D是A成立的[ ]A .充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件分析 通过B、C作为桥梁联系A、D .解•/A是B的充分条件，••• A「B①•/ D是C成立的必要条件，• C : D②•••C是B成立的充要条件，• Cu B③由①③得A —C④由②④得A—D.• D是A成立的必要条件.选 B. 说明：要注意利用推出符号的传递性.例4 设命题甲为：0vxv 5,命题乙为|x— 2|v 3,那么甲是乙的[ ]A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定.解 解不等式|x — 2|v 3得一1v xv 5.■/ 0v xv 5」—1 v xv 5,但一1 vx v 5二 0v xv 5•甲是乙的充分不必要条件，选 A.说明：一般情况下，如果条件甲为 x€ A，条件乙为x € B.当且仅当A B时，甲为乙的充分条件； 当且仅当A = B时，甲为乙的必要条件； 当且仅当A = B时，甲为乙的充要条件.例5 设A、B、C三个集合，为使 A‘一(B U C)，条件A'—B是[ ]A .充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件分析 可以结合图形分析.请同学们自己画图.解 丁 A^B 而 B 匚(BU C),• A F(B U C).但是，当 B = N，C = R，A = Z 时，显然A __(B U C)，但A ：厶B不成立，综上所述：“ A呈B ” => “ A呈(B U C) ”，而“ A__(B U C) ”一 “ A__B”.即“ A — B ”是“ A’一(B U C) ”的充分条件(不必要).选A .说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况. 例6给出下列各组条件：(1)p:2 2ab= 0, q: a + b = 0;(2)p :xy>0, q:凶+ |y|=|x + y|；(3)p :m>0, q :方程x2—x — m= 0有实根;(4)p : |x— 1|>2, q： xv— 1.其中p是q的充要条件的有[ ]A . 1组 B . 2组C. 3组 D . 4组分析使用方程理论和不等式性质.解(1)p是q的必要条件(2) p是q充要条件(3) p是q的充分条件(4) p是q的必要条件.选 A .说明：ab= 0指其中至少有一个为零，而 a2 + b2= 0指两个都为零.x1 ^2 > 6 的x1x2 > 9条件.X1 > 3是」x2 > 3分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系.解 x1 > 3且x2 > 3= x1 + x2 >6且x1x2 > 9，但当取 x1 = 10, x2 = 2时,X1> 3不成立(x2 = 2与x2 > 3矛盾)，所以填“充分不x 2 >> 3Xt +x2 > 6 」1 2成立，而」x1x2 > 9必要”.x1 — 3 > 0x2 — 3> 0x1> 3说明：1 =lx2 > 3(x1 — 3) + (x 2 — 3) > 0(x 1 — 3)(x 2 — 3) > 0x 1 + x2 > 61 2 这一等价变形方法有时会用得上.x1x2 — 3(x1 + x 2) + 9 > 0点击思维例8已知真命题"a> b = c> d”和"av b = e< f”,贝厂‘ c< d”是"e w f”的 条件.分析 ■/ a> b c>d(原命题),••• c< d — av b(逆否命题).而 av b — ew f,••• cw d 一 ew f即cw d是e< f的充分条件.答填写“充分”.说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法.例9 ax2 + 2x + 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是[ ]A . 0 v aw 1 B. av 1C. aw 1 D. 0v aw 1 或 av0分析此题若采用普通方法推导较为复杂， 可通过选项提供的信息，用排除法解之.当a= 1时，方程有负根 x=— 1，当a= 0时，x =1——.故排除A、B、D选C.21解常规方法：当a= 0时，x=—-.当0时..2 - • 4 - 4a1. a> 0，则ax2 + 2x+ 1 = 0至少有一个负实根 v 02a二-2,1 — av 2 = 0 v aw 1.c .. 2 心4 - 4a2 . av 0，则ax2 + 2x+ 1 = 0至少有一个负实根 二 : v 02a二 2 > 2 ... 1 — a> 2二 1 — a> 1 二 av 0.综上所述aw 1.即ax2 + 2x+ 1 = 0至少有一个负实根的充要条件是 aw 1.说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法.例10已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条 件，那么s, r, p分别是q的什么条件？分析 画出关系图1 — 21,观察求解.图 1-21解 s是q的充要条件；（s二r丄q, q 一 s）r是q的充要条件；（厂一9, q」s」r）p是q的必要条件；（q — s — r— p）说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系. 例11关于x的不等式2 2|x —(a 21)|<(a 21)与x2 — 3(a+ 1)x+ 2(3a+ 1) < 0的解集依次为 A 与B，问“ A B ”是“ 1W a< 3或a=— 1”的充要条件吗？分析 化简A和B，结合数轴，构造不等式(组)，求出a.解 A = {x|2a w x w a2+1}, B = {x|(x — 2)[x — (3a+ 1)] < 0}1当2 w 3a+ 1即a》—时，3B = {x|2 w x w 3a+ 1}.2a > 2AGB 二」2 =1w aw 3a + 1 w 3a + 11当 2 > 3a+ 1 即 a< ■-时，3B = {x|3a + 1w x w 2}2a > 3a+1A 匸 B 二」2 = a=— 1.a +1 w 2综上所述： A ：二 B = a=— 1 或 1 w aw 3.•••“ A B”是“ 1w aw 3或a=— 1”的充要条件.说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关.在解题时 要理清思路，表达准确，推理无误.学科渗透1 1例12 x > y, xy > 0是一 < 一的必要条件还是充分条件，还是充x y要条件？ 分析将充要条件和不等式同解变形相联系.解1 .当1 <丄时，可得-—丄< 0即< 0x y x y xyy — x> 0 则 Cxy < 0x< yy—x < 0 或 Cxy> 0,八 ” x > y即」7或< ¥xy< 0 xy> 0，1 1 xV y故—v-不能推得x>y且xy>0(有可能得到 )，即x>y且xyx y xyv 01 1> 0并非—v —的必要条件.x yx>y x>y2 .当x>y且xy> 0则分成两种情况讨论： x> 0或 xV 0y> 0 yv 01 1不论哪一种情况均可化为 -V —.x y1 1x>y且xy> 0是 <一的充分条件.x y说明：分类讨论要做到不重不漏.例13 设a, B是方程x2— ax+ b= 0的两个实根，试分析 a> 2且b > 1 是两根a , 3均大于1的什么条件？分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件p与结论q分别指什么.然后再验证是 p= q还是q= p还是p = q.a> 2解据韦达定理得：a= a + 3 , b= a 3，判定的条件是p：」b> 1a >> 1结论是q: < (还要注意条件p中，a, b需要满足大前提△二a2 — 4b13 >1> 0)a > 1(1) 由 得 a= a + 3 > 2, b= a 3 > 1,13 > 1• q —p.(2) 为了证明p^q,可以举出反例；取a =4, B = +・它满足出=£a + 0=4+£〉2, b=CiP=4* = 2>1,但q不成立.上述讨论可知：a>2, b> 1是a > 1, 3 > 1的必要但不充分条件.说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用.咼考巡礼例14 （1991年全国高考题）设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么[ ]A •丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B •丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D .丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 分析1:由丙•乙.甲且乙 二:丙，即丙是甲的充分不必要条件. 分析2:画图观察之.答：选A .说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便。