2019-2020年四年级数学数的整除性复习(I).doc

2019-2020年四年级数学数的整除性复习(I)　　这一讲主要讲能被11整除的数的特征　　一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除例1 判断七位数1839673能否被11整除分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除　　根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数　　一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和例2 求下列各数除以11的余数：　　（1）41873； （2）296738185分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11　　=7÷11＝0……7，　　所以41873除以11的余数是7。

　　（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32　　（17+11×2）-32＝7，　　所以296738185除以11的余数是7　　需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7例3 求除以11的余数分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9　　（9×100-1×101）÷11　　=799÷11=72……7，　　11-7=4，所求余数是4　　例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8， 奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数例4 用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？解：只要奇数位和偶数位上各有一个3和一个7即可有3377，3773，7337，7733例5 用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。

分析与解：最大的没有重复数字的九位数是987654321，由　　（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5　　知，987654321不能被11整除为了保证这个数尽可能大，我们尽量调整低位数字，只要使奇数位的数字和增加3（偶数位的数字和自然就减少3），奇数位的数字之和与偶数位的数字之和的差就变为5＋3×2=11，这个数就能被11整除调整“4321”，只要4调到奇数位，1调到偶数位，奇数位就比原来增大3，就可达到目的此时，4，3在奇数位，2，1在偶数位，后四位最大是2413所求数为987652413例6 六位数能被99整除，求A和B分析与解：由99=9×11，且9与11互质，所以六位数既能被9整除又能被11整除因为六位数能被9整除，所以　　A+2+8+7+5+B　　＝22+A+B　　应能被9整除，由此推知A＋B＝5或14又因为六位数能被11整除，所以　　（A＋8＋5）－（2＋7＋B）　　＝A-B＋4　　应能被11整除，即　　A-B+4=0或A-B+4=11　　化简得B-A＝4或A-B＝7　　因为A+B与A-B同奇同偶，所以有　　　　在（1）中，A≤5与A≥7不能同时满足，所以无解　　在（2）中，上、下两式相加，得　　（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，　　2B＝18，　　B=9。

　　将B=9代入A＋B=14，得A＝5　　所以，A=5，B＝9 附送：2019-2020年四年级数学数的整除性复习　　我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征　　数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除　　利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：　　（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除　　（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

　　（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除　　（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除　　（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除　　（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除　　其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容　　因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除这就证明了（4）　　类似地可以证明（5）　　（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法　　837＝800＋30＋7　　＝8×100＋3×10＋7　　＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7　　＝8×99＋8＋3×9＋3＋7　　＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）　　因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。

再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除　　利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：　　（4＇）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同　　（5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同　　（6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？　　234，789，7756，8865，3728，8064解：能被4整除的数有7756，3728，8064；　　能被8整除的数有3728，8064；　　能被9整除的数有234，8865，8064例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？　　解：如果56□2能被9整除，那么　　5＋6＋□＋2＝13＋□　　应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；　　如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；　　如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

　　到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750例4 五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？分析与解：已知能被72整除因为72＝8×9，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B＝6再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为　　A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，　　因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。

在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7　　解答例4的关键是把72分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了例5 六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？分析与解：因为6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值再由六位数能被3整除，推知　　3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B　　能被3整除，故2B能被3整除B可取0，3，6，9这4个值由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）例6 要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？　　分析与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除六位数能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9　　要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小先试取A=0。

六位数的各位数字之和为12＋B＋C它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15因为B，C应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B＝1，C＝5　　当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156÷36＝4171。