直线与圆的方程的应用 一般地一般地, ,已知直线已知直线Ax+By+C=0(A,BAx+By+C=0(A,B不同时为零不同时为零) )和圆和圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2, ,则圆心则圆心(a,b)(a,b)到此直线的距离为到此直线的距离为drd>rd d与与r r的大小关系的大小关系2 2个个1 1个个0 0个个交点个数交点个数图形图形相交相交相切相切相离相离位置位置rdrdrd则则 求圆心坐标及半径求圆心坐标及半径r r（配方法）（配方法） 圆心到直线的距离圆心到直线的距离d d （点到直线距离公式）（点到直线距离公式） 消去消去y y几何方法几何方法代数方法代数方法判断直线和圆的位置关系判断直线和圆的位置关系 例例1.1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. . 这个圆的这个圆的圆拱跨度圆拱跨度AB=20mAB=20m，拱高，拱高OP=4mOP=4m，建造时每间隔，建造时每间隔4m4m需要用需要用一根支柱支撑，求支柱一根支柱支撑，求支柱A A2 2P P2 2的高度（精确到的高度（精确到0.01m0.01m））. .ABA1A2A3A4OPP2 分析：分析：建立如图所示建立如图所示的直角坐标系，把实的直角坐标系，把实际问题转化为数学问际问题转化为数学问题题————求出圆拱桥所求出圆拱桥所在的圆的方程；然后解决这个实际问题在的圆的方程；然后解决这个实际问题————利用圆利用圆的方程求出点的方程求出点P P2 2的坐标，从而求线段的坐标，从而求线段A A2 2P P2 2的长，解释的长，解释实际意义实际意义————圆拱形桥支柱的高圆拱形桥支柱的高A A2 2P P2 2. .ABA1A2A3A4OPP2yx 解：解：建立如图所示的建立如图所示的直角坐标系，使圆心直角坐标系，使圆心在在y y轴上，设圆心的轴上，设圆心的坐标是（坐标是（0 0，，b b），圆），圆的半径为的半径为r r，那么圆的方程为：，那么圆的方程为：x x2 2＋（＋（y y－－b b））2 2＝＝r r2 2，，点点P P（（0,40,4），），B B（（10,010,0）在圆上，所以有）在圆上，所以有ABA1A2A3A4OPP2yx解得：解得： 所以，圆的方程为：所以，圆的方程为：把把 的横坐标的横坐标 代入代入 圆的方程得：圆的方程得：由题可知由题可知y y＞＞0 0，解得：，解得：y≈3.86(m)y≈3.86(m)答：支柱答：支柱A A2 2P P2 2的高度约为的高度约为3.86 m. 3.86 m. 思考：思考：不建立坐不建立坐标系标系, ,如何解决如何解决这个问题这个问题? ?C CB B 作作即即得得在在中，中， 得得又又在在中中所以支柱所以支柱A A2 2P P2 2的高度约是的高度约是3.86m.3.86m.解法如下解法如下C CHB B 例例2 2．已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，．已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半一半. . 探究探究: :解决解决平面几何问题常利用平面几何问题常利用““坐标法坐标法””，首先，首先要考虑的问题是建立适当的直角坐标系，关键是要考虑的问题是建立适当的直角坐标系，关键是如何选取坐标系？如何选取坐标系？x xy yO O如图所示如图所示 探究：探究：如图所示，设四边形的四个顶点分别为如图所示，设四边形的四个顶点分别为A(aA(a，，0)0)，，B(0B(0，，b)b)，，C(cC(c，，0)0)，， D(0D(0，，d)d)，那么，那么BCBC边边的长为多少？的长为多少？yABCDMxOE 探究：探究：四边形四边形ABCDABCD的外接圆圆心的外接圆圆心O′O′的坐标如何表示的坐标如何表示？？O'ABCDxyOENM 过四四边形外接形外接圆的的圆心心O′O′分分别作作ACAC、、BDBD、、ADAD的垂的垂线，垂足，垂足为M M、、N N、、E E，，则M M、、N N、、E E分分别为ACAC、、BDBD、、ADAD的中点，由中点坐的中点，由中点坐标公式，有：公式，有： 证明：证明：以四边形以四边形ABCDABCD互相垂直的对角线互相垂直的对角线CACA、、BDBD所在直所在直线分别为线分别为x x轴、轴、y y轴，建立如图所示的直角坐标系，设轴，建立如图所示的直角坐标系，设A A（（a a，，0 0），），B B（（0 0，，b b），），C C（（c c，，0 0），），D D（（0 0，，d d），过四），过四边形外接圆的圆心边形外接圆的圆心 分别作分别作ACAC、、BDBD、、ADAD的垂线，垂的垂线，垂足为足为M M、、N N、、E E，则，则M M、、N N、、E E分别为分别为ACAC、、BDBD、、ADAD的中点，的中点，第一步第一步: :建立坐建立坐标系，用坐标标系，用坐标表示有关的量表示有关的量. .O'ABCDxyOENM 由中点坐标公式，有：由中点坐标公式，有：第二步第二步: :进行进行有关代数运算有关代数运算由两点间的距离公式，有：由两点间的距离公式，有：所以所以即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半. .第三步第三步: :把代数把代数运算结果翻译成运算结果翻译成几何关系几何关系. . 利用利用““坐标法坐标法””解决平面问题的解决平面问题的““三步曲三步曲””：：第一步：第一步： 建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问表示问题题中的几何元素，将平面几何问题转中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题．化为代数问题．第二步：第二步： 通过代数运算，解决代数问题．通过代数运算，解决代数问题．第三步：第三步： 把代数运算结果把代数运算结果“翻译翻译”成几何结论成几何结论．．【【提升总结提升总结】】 练习练习. .如如图, ,直角直角△ABC△ABC的斜的斜边长为定定值2m,2m,以斜以斜边的中点的中点O O为圆心作半径心作半径为n n的的圆, ,直直线BCBC交交圆于于P,QP,Q两点两点, ,求求证:|AP|:|AP|2 2+|AQ|+|AQ|2 2+|PQ|+|PQ|2 2为定定值. . 2.2.如图如图, ,以以O O为坐标原点为坐标原点, ,以直线以直线BCBC为为x x轴轴, ,建立平建立平面直角坐标系面直角坐标系, ,于是有于是有B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).Q(n,0).设设A(x,y),A(x,y),由已知由已知, ,点点A A在圆在圆x x2 2+y+y2 2=m=m2 2上上. .|AP||AP|2 2+|AQ|+|AQ|2 2+|PQ|+|PQ|2 2=(x+n)=(x+n)2 2+y+y2 2+(x-n)+(x-n)2 2+y+y2 2+4n+4n2 2=2x=2x2 2+2y+2y2 2+6n+6n2 2=2m=2m2 2+6n+6n2 2( (定值定值).). 2.向量的方法： 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题 1.1.已已知知点点A(3,0)A(3,0)及及圆x x2 2+y+y2 2=4,=4,则圆上上一一点点P P到到点点A A距离的最大距离的最大值是是 , ,最小最小值是是 . . 【解析】【解析】1.1.方法一方法一( (几何法几何法):):圆的半径为圆的半径为2,2,圆心到点圆心到点A A的距离为的距离为3,3,结合结合图形可知图形可知, ,圆上一点圆上一点P P到点到点A A距离的最大值是距离的最大值是3+2=5,3+2=5,最小值是最小值是3-2=1.3-2=1.方法二方法二( (代数法代数法):):设设P(x,y)P(x,y)是圆上任意一点是圆上任意一点, ,则则|PA||PA|2 2=(x-3)=(x-3)2 2+y+y2 2=(x-3)=(x-3)2 2+4-x+4-x2 2=13-6x,=13-6x,因为因为-2≤x≤2,-2≤x≤2,所以当所以当x=-2x=-2时时,|PA|,|PA|maxmax2 2=25,=25,则则|PA||PA|maxmax=5;=5;当当x=2x=2时时,|PA|,|PA|minmin2 2=1,=1,则则|PA||PA|minmin=1.=1.答案答案: :5 5 1 1 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题 2.2.已知已知实数数x,yx,y满足足x x2 2+y+y2 2-4x+1=0,-4x+1=0,则x-y的最大值和最小值分别是______和________. x2+y2的最大值和最小值分别是_____和_____. 2.(1)2.(1)设设x-yx-y＝＝b b，则，则y y＝＝x-bx-b与圆与圆x x2 2＋＋y y2 2-4x-4x＋＋1 1＝＝0 0有公共点有公共点, ,即即 所以所以故故x-yx-y最大值为最大值为2 2＋＋ , ,最小值为最小值为2- .2- .(2)(2)设设 ＝＝k,k,则则y y＝＝kxkx与与x x2 2＋＋y y2 2-4x-4x＋＋1 1＝＝0 0有公共点有公共点, ,即即所以所以 , ,故故 最大值为最大值为 , ,最小值为最小值为 (3)(3)圆心圆心(2,0)(2,0)到原点距离为到原点距离为2,2,半径半径r r＝＝故故(2- )(2- )2 2≤x≤x2 2＋＋y y2 2≤(2≤(2＋＋ ) )2 2. .由此由此x x2 2＋＋y y2 2最大值为最大值为7 7＋＋4 ,4 ,最小值为最小值为7-4 .7-4 .答案：答案： 方程方程 ＝＝kxkx＋＋2 2有惟一解有惟一解, ,则实数则实数k k的范围是的范围是( )( ) A.k A.k＝＝±± B.k∈(-2,2) B.k∈(-2,2) C.k<-2 C.k<-2或或k>2 D.k<-2k>2 D.k<-2或或k>2k>2或或k k＝＝±± 【解析】【解析】选选D.D.由题意知由题意知, ,直线直线y y＝＝kxkx＋＋2 2与半圆与半圆x x2 2＋＋y y2 2＝＝1(1(y≥0y≥0①①) )只有一个交点．结合图形易得只有一个交点．结合图形易得k<-2k<-2或或k>2k>2或或k k＝＝ 【【类题试解】解】方程方程 表示的曲表示的曲线为 ( ( ) ) A.A.两个半两个半圆 B. B.一个一个圆 C.C.半个半个圆 D. D.两个两个圆【解析】【解析】选选A.A.两边平方整理得两边平方整理得:(|x|-1):(|x|-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1,=1,由由|x|-|x|-1≥01≥0得得x≥1x≥1或或x≤-1,x≤-1,所以所以(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1(x≥1)=1(x≥1)或或(x+1)(x+1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1(x≤-1),=1(x≤-1),所以为两个半圆所以为两个半圆, ,故选故选A.A. 1 1. .若若⊙⊙O O1 1：：x x2 2+y+y2 2=5=5与与⊙⊙O O2 2：（：（x-5x-5））2 2+y+y2 2=20=20（（m∈Rm∈R））相交于相交于A A、、B B两点，且两圆在点两点，且两圆在点A A处的切线互相垂直，处的切线互相垂直，则线段则线段ABAB的长度是（ ）的长度是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4D D 解：解：选选D.D.由题意作出图形由题意作出图形分析得：由圆的几何性质分析得：由圆的几何性质两圆在点两圆在点A A处的切线互相垂处的切线互相垂直，且过对方圆心直，且过对方圆心C C2 2,C,C1 1．．则在则在Rt△CRt△C2 2ACAC1 1中，中，|C|C1 1A|=A|= ，，|C|C2 2A A|=|= ，斜边上的高为半弦，，斜边上的高为半弦，用等积法易得用等积法易得： ⇒ 分析：分析：从圆与圆的位置关系、点到直线的距离以及从圆与圆的位置关系、点到直线的距离以及直线与圆的位置关系角度处理直线与圆的位置关系角度处理. . 1 1 . .在在圆x x2 2+ + y y2 2- -2 2x x- -6 6y y= =0 0内内 , ,过点点E E( (0 0, ,1 1) )的的 最最长弦弦 和和最短弦分最短弦分别为ACAC和和BD,BD,则四四边形形ABCDABCD的面的面积为 ( ( ) )A.5 A.5 B.10 C.15 B.10 C.15 D.20D.20 【解析】【解析】1.1.选选B.B.圆的方程化为圆的方程化为(x-1)(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=10,=10,设圆心为设圆心为G,G,易知易知G(1,3),G(1,3),最长弦最长弦ACAC为过为过E E的直径的直径, ,则则|AC|=|AC|=最短弦最短弦BDBD为与为与GEGE垂直的弦垂直的弦, ,如图所示如图所示, ,易得易得|BG|= ,|EG|=|BG|= ,|EG|= |BD|=2|BE|= |BD|=2|BE|=所以四边形所以四边形ABCDABCD的面积为的面积为S S＝＝ |AC||BD| |AC||BD|＝＝ 某次生产中，一个圆形的零件损坏了，只剩下了如图所某次生产中，一个圆形的零件损坏了，只剩下了如图所示的一部分．现在陈师傅所在的车间准备重新做一个这样的示的一部分．现在陈师傅所在的车间准备重新做一个这样的零件，为了获得这个圆形零件的半径，陈师傅在零件上画了零件，为了获得这个圆形零件的半径，陈师傅在零件上画了一条线段一条线段 ABAB，并作出了，并作出了 ABAB 的垂直平分线的垂直平分线 MNMN，而且测得，而且测得 ABAB＝＝8 8 cmcm，，MNMN＝＝2 2 cmcm．根据已有数据，试帮陈师傅求出这个．根据已有数据，试帮陈师傅求出这个零件的半径．零件的半径．ABNM┐【【变式练习变式练习】】 解：解：以以 ABAB 中点中点 M M 为原点，建立如图为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由已知有所示的平面直角坐标系，由已知有 A A( (－－4 4，，0 0) )，，B B( (4 4，，0 0) )，，N N( (0 0，，2 2) )．． 设过设过 A A，，B B，，N N 的圆的方程为的圆的方程为 x x2 2＋＋y y2 2＋＋DxDx＋＋EyEy＋＋F F＝＝0 0，，代入代入 A A，，B B，，N N 的坐标，可得的坐标，可得 解得解得 ABNM┐xy 因此所求圆的方程为因此所求圆的方程为x x2 2＋＋y y2 2＋＋6y6y－－1616＝＝0 0，，化为标准方程是化为标准方程是x x2 2＋＋(y(y＋＋3)3)2 2＝＝5 52 2，，所以这个零件的半径为所以这个零件的半径为 5 5 cmcm．．ABNM┐xy 1.1.用坐标法解决几何问题的步骤：用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系第一步：建立适当的平面直角坐标系, ,用坐标和方程用坐标和方程表示问题中的几何元素表示问题中的几何元素, ,将平面几何问题转化为代数将平面几何问题转化为代数问题；问题；第二步：通过代数运算第二步：通过代数运算, ,解决代数问题；解决代数问题；第三步：将代数运算结果第三步：将代数运算结果““翻译翻译””成几何结论成几何结论. . 2.2.对于直线和圆对于直线和圆, ,熟记各种定义、基本公式、法则熟记各种定义、基本公式、法则固然重要固然重要, ,但要做到迅速、准确地解题但要做到迅速、准确地解题, ,还必须掌握还必须掌握一些方法和技巧一些方法和技巧. . 。
