全国乙卷(文)-2021年全国高考数学压轴题解读(1).pdf

2021 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(乙卷 文科 )压轴题解读11设 ? 是椭圆 ? ：?25 ?21的上顶点，点 ? 在? 上，则 |?| 的最大值为 ( ) A52B 6C 5D2 【命题意图】考查椭圆的性质，两点间的距离，函数的思想，考查逻辑推理，数学运算的核心素养【答案】 A 【解析】由椭圆方程可得5,1ab.椭圆的上轴5a，1b.故椭圆的上顶点为(0,1)B. 设( , )P x y，则有2215xy，故225(1)xy，由椭圆的性质可得11y. 则22222|(1)5(1)(1)PBxyyy2426yy24()62yy21254()44y因为11y，所以当14y时，2|PB取得最大值，最大值为254，所以|PB的最大值为52. 【规律总结】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、 几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； 二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数 (解析式 )，然后利用函数方法、 不等式方法等进行求解 .12设 ?0，若 ? ? 为函数 ?(?) ?(? -?)2(?- ?) 的极大值点，则( ) A? ?C? ?2【命题意图】考查函数的极值，考查逻辑推理，数学运算的核心素养【答案】 D 【解析】因为2( )() ()f xa xaxb，所以2( )2()()()()(22 )()fxaxaxba xaa xaxbxa. ()3(2 )a xaxab23 ()()3aba xax由( )0fx，解得xa或23abx. 若0a，由xa为函数的极大值点可得23aba，也就是ba. 此时函数在(,)ba和( ,)a上( )0fx，函数单调递减；在(, )ba a上( )0fx，函数单调递增. 所以()0a ab，即2aab. 若0a，由xa为函数的极大值点可得23aba，解得ab. 此时函数在(, )a和(,)ba上( )0fx，函数单调递增；在( ,)a ba上( )0fx，函数单调递减. 此时，()0a ab，即2aab. 综上2aab，选 D. 【解题方法】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于 0 不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.16以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和附视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_(写出符合求的一组答案即可)222图图图22图图【命题意图】考查三视图，考查直观想象，逻辑推理能力【答案】或【解析】根据“长对正，高平齐，宽相等”及图中数据，可知只能是侧视图，只能是俯视图，于是可得正确答案为或若为，则如图1；若为，则如图2.【解题方法】画三视图的三个原则：(1)画法规则： “长对正，宽相等，高平齐 ”.(2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方.(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出.20已知抛物线C：?22?(? 0) 的焦点 ? 到准线的距离为2(1)求 C 的方程；(2)已知 为坐标原点，点P 在 C 上，点 Q 满足 ? 9? ，求直线OQ 斜率的最大值【命题意图】 本题考查抛物线的性质方程，只限于抛物线的关系，基本不等式求最值，考查逻辑推理，及运算求解能力【解析】（ 1）由题意知，2p，24yx（2）由（ 1）知，抛物线2:4Cyx，(1,0)F，设点 Q 的坐标为 (, )m n ，则(1,)QFmn ，9(99 , 9 )PFmnP点坐标为 (109,10 )mn ，将点P代入C得21004036nm，整理得22100362594010nnm，2101019259325nnKmnnn，当3n时取最大值21已知函数 ?(?) ?3- ?2?1(1)讨论 ?(?) 的单调性；(2)求曲线 ? ?(?) 过坐标原点的切线与曲线? ?(?) 的公共点的坐标【命题意图】 本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力【解析】（ 1）2( )32fxxxa，412a，当0 ，即13a时，由于( )fx 的图象是开口向上的抛物线，故此时( )0fx，则( )f x 在R上单调递增；当0，即13a时，令( )0fx，解得12113113,33aaxx，令( )0fx，解得1xx 或2xx ，令( )0fx，解得12xxx ，( )f x 在1(,)x，2( x ，) 单调递增，在1(x ，2)x单调递减；综 上 ， 当13a时 ，( )fx 在R上 单 调 递 增 ； 当13a时 ，( )f x 在113113(,),(,)33aa单 调 递 增 ，在113113(,)33aa单调递减（2）设曲线( )yf x 过坐标原点的切线为l，切点为3220000000(,1),()32xxxaxfxxxa ，则切线方程为322000000(1)(32)()yxxaxxxaxx，将原点代入切线方程有，3200210 xx，解得01x，切线方程为(1)yax ，令321(1)xxaxax ，即3210 xxx，解得1x或1x，曲线( )yf x 过坐标原点的切线与曲线( )yf x 的公共点的坐标为(1,1)a和 ( 1,1)a压轴题模拟1（ 2021河南焦作市 高三其他模拟（文）已知点F为双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点，过F作一条渐近线的垂线，垂足为A，若OAF(点O为坐标原点 )的面积为2，双曲线的离心率17,65e，则a的取值范围为（）A 1,2B1, 2C2,14D2,12【答案】 D【解析】取双曲线的渐近线为byxa，即OA的方程为byxa，,0 ,F c直线AF的方程为ayxcb，联立byxaayxcb，解得2,aabAcc122OAFabScc，即4ab，22241611beaa又41617,65 ,17 165ea解得21.2aa的取值范围为2,12故选： D.2（ 2021黑龙江哈尔滨市 哈师大附中高三三模（文）已知P是椭圆2222:10 xyCabab上任意一点，B是椭圆C的上顶点，2PBb总成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A20,2B2,12C30,2D3,12【答案】 A【解析】由222210 xyabab，可令cossinxayb，因为B是椭圆C的上顶点，所以(0, )Bb，2222224( cos )( sin)4PBbPBbabbb，化简为：2222222222()sin2sin30()sin3(sin1)0abbbaabba，因为sin10，所以2222()sin30abba，即22223sinabab，又因为sin1，2PBb总成立，所以2222222222222223113()22()2abcabababaacaba，即212022ee，故选： A3（ 2021浙江高三模拟）已函2324413xafxxxexax，若fx在2x处取得极小值，则a的取值范围是（）A,0B20,eC,1D2,e【答案】 D【解析】 因为2324413xafxxxexax，所以22xfxxxea，当0a时，0 xea，所以fx在0,2上单调递减，在2,上单调递增，满足题意；当01a时，在0,x上0 xea，所以fx在0,2上单调递减，在2,上单调递增，满足题意；当21ae时，fx在ln,2a上单调递减，在2,上单调递增，满足题意；当2ae时，fx在0,上单调递增，不满足题意；当2ae时，fx在0,2上单调递增，在2,ln a上单调递减，不满足题意故a的取值范围为2,e，故选 D4（ 2021安徽宣城市 高三二模（文）若函数32( )3121(0)f xxaxxa存在两个极值点1x，2x，则12()()f xf x的取值范围是（）A,18B,18C,16D,16【答案】 A【解析】 函数32( )3121(0)f xxaxxa，22( )36123(24)fxxaxxax，由函数fx存在两个极值点1x，2x，( )0fx有两个不等实数根，24160a，0a，解得2a且122xxa，124x x2222121212248xxxxx xa则323212111222()()31213121f xf xxaxxxaxx22221211221212()312()2xxxx xxa xxxx222 (484)3 (48)242aaaaa34242aa，令3( )4242g aaa，(2,)a2( )12240g aa，g a在(2,)a上单调递减( )(2)48242218g ag12()()f xf x的取值范围是,18故选： A5（ 2021安徽六安市 六安一中（文）在矩形ABCD 中， AB=4 ，BC=3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折叠，其正视图和俯视图如图所示，此时连接顶点B、D 形成三棱锥B-ACD ，则其侧视图的面积为_【答案】7225【解析】【解析】 由题意可知几何体是三棱锥，底面是直角三角形，直角边长为4，3，一个侧面是直角三角形与底面垂直，AB4，BC3，B 到 AC 的距离为125侧视图如图：是等腰直角三角形，直角边长为125所以侧视图的面积为：2cos(0)yx6（ 2021广东深圳市 高三二模（文）如图，已知一个锥体的正视图（也称主视图），左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积是_【答案】 4【解析】 由三视图知，几何体是一个三棱锥，根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两两垂直的三条侧棱分别是x，y， z 三视图的面积分别为3，4，6，6xy，8xz，12yz，3y，2x，4z， 三棱锥的体积是1=4213xyz，故答案为4.7（ 2021重庆市长寿中学校高三模拟）抛物线2:2(0)E ypx p的焦点为F，过F的动直线l交E于1122(,)(,)A xyB xy、两点，l过点A且F关于l对称的点F的坐标为1( 1,)y.（1）求E的方程；（2）过(2,0)G作直线1l交E于MN、两点，2l是E在M处的切线，2NQlQ于且直线NQ与x轴的交点为T，求MNT面积的最小值.【解析】 （1）由对称性知AFAF且AF与直线1x垂直，所以1x是E的准线，12p，解得2p，24yx即为所求E的方程 .（2）设3344(,),(,)M xyN xy，由题意直线2l的斜率存在，设为k，则233:()lyyk xx，即2334yyykx，联立方程33244yyykxyx可得2233440kyykyy，则23316440kkyy，解得32ky，32QTyk，设点(,0)TT x，由QTN、三点共线，34402QTTNTyykkxx，则43432Tx yyxy，由题意，直线MN不与x轴重合，设:2MNxmy，则332xmy，则43434343322()Tx yymy yyyxyy，联立方程242yxxmy可得2480ymy，所以34344,8yym yy，3434332()880Tmy yyymmxyy，(0,0)T，2234341()416324 22MNTSGTyyy ym，当0m时取等号，MNT面积的最小值为4 2.8（ 2021河南郑州市 高三三模（文）已知抛物线2:4C xy和圆22:11Exy，过抛物线上一点00,P xy，作圆 E 的两条切线，分别与x 轴交于 A?B 两点 .（1）若切线PB 与抛物线C 也相切，求直线PB 的斜率；（2）若02y，求 PAB面积的最小值.【解析】 （1）由题意，可设切线PB 的方程为ykxm ，代入抛物线的方程得2440 xkxm，由相切的条件得：216160km，即20km，由直线与圆相切可得圆心到直线距离2|1|11mdk，即222kmm，230mm，可得3m或0m， 当0m时，有 PB 的方程为0y，此时(0,0)P与圆 E 的有且仅有一条切线，3m，舍去0m，故23k，即3k.（2。