第10讲无限深球方势阱ppt课件.ppt
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量子力学量子力学光电子科学与工程学院光电子科学与工程学院王可嘉王可嘉 第十讲无限深球方势阱三维各向同性谐振子1；. 目录目录一、一、中心力场的径向方程的回顾中心力场的径向方程的回顾二、二、无限深球方势阱无限深球方势阱三、三、三维各向同性谐振子三维各向同性谐振子2；. 一、中心力场的径向方程的回顾一、中心力场的径向方程的回顾( (1)1)设质量为设质量为 的粒子在中心势场的粒子在中心势场 中运动，则哈密顿量：中运动，则哈密顿量：考虑到中心势场考虑到中心势场 是球对称的，采用是球对称的，采用球坐标球坐标能量本征方程写为：能量本征方程写为：在给定在给定 后可确定本征态后可确定本征态 和本征值和本征值3；. 一、中心力场的径向方程的回顾一、中心力场的径向方程的回顾(2)(2)能量本征方程写为：能量本征方程写为：根据分离变量法：根据分离变量法： 组成组成力学量完全集力学量完全集 因此因此 既是既是 的本征函数，的本征函数，也是也是 和和 的的共同本征函数共同本征函数，由此可得：，由此可得： 4；. 一、中心力场的径向方程的回顾一、中心力场的径向方程的回顾(3)(3) 将将 代入能量本征方程：代入能量本征方程： 得到关于得到关于 的的径向方程径向方程：： 令：令： 有：有： 称为径向波函数，称为径向波函数，取决于取决于 的形式的形式。
5；. 二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱(1)(1) 无限深球方势阱无限深球方势阱：：能量本征方程写为：能量本征方程写为：解可写为：解可写为： 其中其中 满足径向方程：满足径向方程：1、、 态情况（即态情况（即 的情况）的情况）6；. 二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱(2)(2) 态情况态情况 在边界条件在边界条件 下求解方程下求解方程 势阱内势阱内 ：： 令令又因为又因为所以能量本征值：所以能量本征值：由由归一化条件归一化条件：：7；. 二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱( (3)3)2、非、非 态情况（即态情况（即 的情况）的情况） 势阱内势阱内 ：： 令令径向方程写为：径向方程写为：称为称为球球Bessel方程方程，其解：，其解： 称为称为球球Bessel函数：函数：边界条件：边界条件： 下，有下，有 令令 因此由因此由 可以求出根可以求出根 ，， 表示表示 的节点数。
的节点数8；. 二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱( (4)4) 画图求解画图求解 Mathematica9；. 二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱(5)(5) ，， 所以令所以令 由归一化条件可得：由归一化条件可得：10；. 二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱( (6)6)3、解的讨论、解的讨论 (1)(1)、能级：、能级：11；. 二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱( (7)7) (2)(2)、本征函数：、本征函数： 与与 相对应的能量本征函数：相对应的能量本征函数： 其中：其中： 所以当所以当 和和 确定后，确定后， 给定，但给定，但即共有即共有 个个 ，每个，每个 对应对应 个个所以所以能级是能级是 度简并度简并12；. 二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱( (8)8) (3)(3)、简并态的分类、简并态的分类每个每个 对应对应 个个 ，即能级是，即能级是 度简并度简并 因为因为 是是 的的共同本征函数共同本征函数，因此可以利，因此可以利用用 和和 的本征值对应的的本征值对应的量子数量子数 和和 对对 进行进行分类分类，从而保证对应同一能级，从而保证对应同一能级 的的 个不同本征个不同本征态态 之间的之间的正交性正交性得到保证：得到保证： 13；. 二、无限深球方势阱二、无限深球方势阱( (9)9) 以以 为例：为例： 对应对应 个个 即：即： 为三重简并。
为三重简并 正交归一性表示为：正交归一性表示为： 因此可见，利用因此可见，利用力学量完全集力学量完全集，可以，可以解决对应同一能级解决对应同一能级 的不同简并态的不同简并态 之间的之间的正交性正交性问题！问题！14；. 三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(1)(1) 三维各向同性谐振子势能项：三维各向同性谐振子势能项： 具有中心对称性，径向方程写为：具有中心对称性，径向方程写为： 采用采用自然单位自然单位，令，令 ，有：，有： 求解思路：可令求解思路：可令 ，将关于，将关于 的的方程转换为方程转换为 的方程，而的方程，而 则从则从 和和 时的时的渐进行为渐进行为中获得15；. 三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(2)(2)1、波函数的、波函数的统计诠释统计诠释对波函数的对波函数的渐进行为渐进行为的要求的要求 对任意波函数对任意波函数 ，若，若 ，则，则 是是 的的奇点奇点，粒子出现在，粒子出现在 概率应该为概率应该为0 0。
设体积元设体积元 是以是以 为球心、半径为为球心、半径为 的小球，如的小球，如果要求积分果要求积分 能代表粒子出现在能代表粒子出现在 内的概率，内的概率，由前面的分析，应该有由前面的分析，应该有 若若16；. 三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(3)(3) 2、径向波函数在、径向波函数在 时的时的渐进行为：渐进行为： 是方程的是方程的奇点奇点，在其领域内，方程化简为：，在其领域内，方程化简为： 在在 的领域内，设的领域内，设 ，代入方程，有：，代入方程，有： 即：即： 时：时： 必须舍去必须舍去 所以所以 时：时：17；. 三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(4)(4) 3、径向波函数在、径向波函数在 时的时的渐进行为：渐进行为： 也是方程的也是方程的奇点奇点，渐进方程为：，渐进方程为： 解为：解为： 因为因为 不满足束缚态条件，舍去不满足束缚态条件，舍去 所以所以 时：时：因此可将径向方程的解设为：因此可将径向方程的解设为：18；. 三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(5)(5) 4、三维各向同性谐振子径向方程的解（、三维各向同性谐振子径向方程的解（1）） 将将 带入上述径向方程，化简为：带入上述径向方程，化简为：令令 上述方程化为：上述方程化为： 方程的解为：方程的解为： ，称为，称为合流超几何函数。
合流超几何函数19；. 三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(6)(6) 4、三维各向同性谐振子径向方程的解（、三维各向同性谐振子径向方程的解（2）） 所以所以 不能作为波函数（不符合不能作为波函数（不符合束缚态条件束缚态条件），），为满足束缚态条件，为满足束缚态条件， 必须中断为一个多项式，即必须中断为一个多项式，即要求要求 或者是或者是负整数负整数即：加上加上自然单位自然单位20；. 三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子( (7)7) 5、三维谐振子的能量本征值与径向方程的本征态（、三维谐振子的能量本征值与径向方程的本征态（1）） 令：令：所以径向方程的解为所以径向方程的解为: :根据归一化条件，可得根据归一化条件，可得: : 可证明：可证明：21；. 三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子( (8)8) 5、三维谐振子的能量本征值与径向方程的本征态（、三维谐振子的能量本征值与径向方程的本征态（2）） 与与 相对应的能量本征函数为：相对应的能量本征函数为： 其中：其中： 可证明：可证明：22；. 三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子 ( (9)9) 6、解的讨论、解的讨论 能级的简并度能级的简并度 (1)、能级均匀分布，相邻能级差都是、能级均匀分布，相邻能级差都是 (2)、因为、因为 ，所以对于同一个，所以对于同一个 ，有，有 的不同组合与其对应，但每给定一组的不同组合与其对应，但每给定一组 ，就有一个能，就有一个能量本征值量本征值 ，对应的能量本征态为，对应的能量本征态为 可证明：简并度可证明：简并度 时，时， ，即能级是，即能级是不简并的。
不简并的23；. 三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(1(10)0) 6、三维谐振子在直角坐标系中的解、三维谐振子在直角坐标系中的解(1)三维谐振子势能项：三维谐振子势能项：线性谐振子线性谐振子 选选 为为力学量完全集力学量完全集，其，其共同本征态函数共同本征态函数应该为其各自本征函数的积，即：应该为其各自本征函数的积，即：24；. 三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(1(11)1) 6、三维谐振子在直角坐标系中的解、三维谐振子在直角坐标系中的解(2) 为为力学量完全集力学量完全集 的共同本征态函数的共同本征态函数 相应的能量本征值为：相应的能量本征值为： 能级也是简并的，简并度为：能级也是简并的，简并度为：25；. 三、三维各向同性谐振子三、三维各向同性谐振子(1(12)2) 7、直角与球坐标系下解的关系、直角与球坐标系下解的关系 球坐标下球坐标下 为为 的的共同本征态。
共同本征态 直角坐标下直角坐标下 为为 的的共同本征态共同本征态因为是同一问题在不同坐标系下的解，应该有相互联系因为是同一问题在不同坐标系下的解，应该有相互联系以以 为例，能级是三重简并，即有三个态：为例，能级是三重简并，即有三个态：可证明：可证明：26；. 下一讲下一讲氢原子氢原子碱金属原子碱金属原子27；. 。
