2018年高考数学 专题06 三角恒等变换与解三角形热点难点突破 理.doc

专题06 三角恒等变换与解三角形（热点难点突破）1．函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)A．－　 B．－　 　C.　 D.【答案】A　【解析】函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位得y＝sin ＝sin ，又其为奇函数，故＋φ＝kπ，π∈Z，解得φ＝kπ－，又|φ|＜，令k＝0，得φ＝－，∴f(x)＝sin .又∵x∈，∴2x－∈，∴sin∈，当x＝0时，f(x)min＝－，故选A. 2．已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝f(x)，则tan 2x的值是(　　)A．－　　　 B．－　　　 C.　　　 D.【答案】D　【解析】因为f′(x)＝cos x＋sin x＝sin x－cos x，所以tan x＝－3，所以tan 2x＝＝＝，故选D. 3．已知函数f(x)＝sin，则下列结论中正确的是(　　)A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)的图象关于点对称C．由函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数y＝sin 2x的图象D．函数f(x)在上单调递增【答案】C　【解析】函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin2x－＋＝sin 2x的图象，故选C. 4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图1­6所示，则f(0)＋f的值为(　　)图1­6A．2－ B．2＋C．1－ D．1＋【答案】A　5．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(　　)A．[－1,1] B．[－1，]C．[－，1] D．[1，]【答案】A　【解析】由sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝，β＝α－∈[0，π]⇒α∈，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(π－α)＝cos α＋sin α＝sin，α∈⇒α＋∈⇒sin∈⇒sin∈[－1,1]，故选A. 6．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P，则sin2α－sin 2α的值为(　　)A.　　 B．－　　　C.　　　 D．－【答案】D　【解析】根据已知可得点P的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得sin α＝，cos α＝，所以sin2α－sin 2α＝sin2α－2sin αcos α＝2－2××＝－. 7．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位，所得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)A. B． C．－ D．－【答案】D　8．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a，b为常数，a≠0，x∈R)在x＝处取得最大值，则函数y＝f是(　　)A．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称【答案】B　【解析】由题意可知f′＝0，即acos＋bsin＝0，∴a＋b＝0，∴f(x)＝a(sin x＋cos x)＝asin.∴f＝asin＝acos x.易知f是偶函数且图象关于点对称，故选B. 9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图1­9所示，且f(α)＝1，α∈，则cos＝(　　)图1­9A．± B．C．－ D.【答案】C　【解析】由图易得A＝3，函数f(x)的最小正周期T＝＝4×，解得ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x＋φ)．又因为点在函数图象上，所以f＝3sin＝－3，解得2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.又因为0＜φ＜π，所以φ＝，则f(x)＝3sin，当α∈时，2α＋∈.又因为f(α)＝3sin＝1，所以sin＝＞0，所以2α＋∈，则cos＝－＝－，故选C. 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cos B＝(　　)A．－　　　　　　 B.C．－ D.【答案】B　【解析】由正弦定理，得＝＝，即sin B＝cos B，∴tan B＝.又0，故三角形ABC为钝角三角形，反之不一定成立．故选A. 16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C＝(　　)A．4∶3∶2　　　　 B．5∶6∶7C．5∶4∶3 D．6∶5∶4【答案】D　【解析】∵A>B>C，∴a>b>c.又∵a，b，c为连续的三个正整数，∴设a＝n＋1，b＝n，c＝n－1(n≥2，n∈N*)．∵3b＝20acos A，∴＝cos A，∴＝，＝，即＝，化简得7n2－27n－40＝0，(n－5)(7n＋8)＝0，∴n＝5.又∵＝＝，∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故选D 17．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin A＝acos C，则sin A＋sin B的最大值是(　　)A．1 B．C．3 D.【答案】D　18．已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A＝__________.【答案】　【解析】由题意可知S△ACD∶S△BCD＝4∶3，∴AD∶DB＝4∶3，AC∶BC＝4∶3，在△ABC中，由正弦定理得sin B＝sin A，又B＝2A，∴sin 2A＝sin A，∴cos A＝. 19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若∠B＝∠C，且7a2＋b2＋c2＝4，则△ABC面积的最大值为__________. 【答案】　【解析】法一：由∠B＝∠C得b＝c，代入7a2＋b2＋c2＝4，得7a2＋2b2＝4，则2b2＝4－7a2，由余弦定理得cos C＝＝，所以sin C＝＝＝，则△ABC的面积为S＝absin C＝ab×＝＝≤×＝×4＝，当且仅当a2＝时取等号，则△ABC的面积的最大值为.法二：由∠B＝∠C得b＝c，所以7a2＋b2＋c2＝4，即为7a2＋2c2＝4，则△ABC面积为a ＝≤×＝，所以最大值为. 20．如图2­3，△ABC中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝∠D＝60°，若△ADC是锐角三角形，则DA＋DC的取值范围是__________．图2­3【答案】(6,4]　【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12，即AC＝2.设∠ACD＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC中，由正弦定理得＝＝，则DA＋DC＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4＝4sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，4sin 60°0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．【答案】π　【解析】∵f(x)在上具有单调性，∴≥－，∴T≥.∵f＝f，∴f(x)的一条对称轴为x＝＝.又∵f＝－f，∴f(x)的一个对称中心的横坐标为＝，∴T＝－＝，∴T＝π. 23．已知tan α＝2，则sin2－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝________. 【答案】【解析】∵tan α＝2，∴sin2－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝＝. 24．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图1­7所示，△EFG(点G在图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.图1­7【答案】－　25．设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．【解析】(1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝sin＋1＋a，2分则f(x)的最小正周期T＝＝π，3分且当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)单调递增，即kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以(k∈Z)为f(x)的单调递增区间.5分(2)当x∈时⇒≤2x＋≤，7分当2x＋＝，即x＝时，sin＝1.所以f(x)max＝＋1＋a＝2⇒a＝1－.10分由2x＋＝kπ＋得x＝＋(k∈Z)，故y＝f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.12分26．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，A＞0，ω＞0,0＜φ＜的部分图象如图1­8所示，P。