98799§2[1].1一维定态(讲稿).doc

§ 2.1 一维定态的一般性质 1第二章 一维定态问题§ 2.1 一维定态的一般性质§ 2.2 方势阱一、无限深方势阱二、有限深对称方势阱§ 2.3 一维散射问题§ 2.4  势一、 势阱中的束缚态二、 势垒的穿透（自学）§ 2.5 一维谐振子一、本征方程二、级数解法三、本征值和本征波函数第二章作业 教材 P80 ~ 82：3、4 、5、6、12粒子在一维势 中运动，不含时薛定格方程为)(xV)(ˆxEH2dm一般分为两类问题：（1）给定 ，求 和 ―结构问题；)(xVE（2）给定 和 ，求 ―散射问题§ 2.1 一维定态的一般性质 2§ 2.1 一维定态的一般性质共 6 条性质性质 1、当 为实函数时，一维定态波函数可取)(xV为实函数证明：分能级无简并和有简并两种情况（1）能级无简并对应能级 ，只有一个独立的本征波函数E设 为与 对应的本征波函数)(x)()(ˆxEH取复共轭，因 ，则)(*xV)()(ˆ*也是与 对应的本征波函数)(*xE因无简并，则 ieCxx)()()(2**可取 ，即 可取为实函数0（2）能级有简并§ 2.1 一维定态的一般性质 3对应能级 ，有两个或两个以上独立的本征波函E数。

例如，氢原子能级： ，波函数：eV16.32n， 简并度：)(rslmn2f设集合 为与 对应的本征波函数)}({xiEfixHii ,1),(ˆ取共轭得fiii ,2),()(ˆ**集合 也是与 对应的本征波函数)}({*xiE只要 中有一个波函数，例如 不是实函数，i j那么就可用实函数 或 来取代 ，)(*j)]([*jij最后总能组合成一组实函数所以，当 为实函数时，一维定态波函数可取为)(xV实函数下面一条性质涉及空间反射变换和宇称空间反射变换：用算符 代表空间反射变换Pˆ)(x本征方程： ˆ§ 2.1 一维定态的一般性质 4可以证明 为实数只有当 为实数时上述方程才是本征方程因为按照基本假定，本征值与测量值相对应，而测量值总是实数宇称（parity）：空间反射变换算符的本征值 ．宇称的可能取值： )(ˆ)(ˆ)(ˆ2 xPxP2)()(21负 宇 称正 宇 称，)(,)(ˆxP空间反射不变的波函数具有正宇称空间反射变号的波函数具有负宇称还有一些波函数没有确定的宇称，它们不是空间反射算符的本征态。

[思考] 证明宇称 为实数[提示] 只要证明： ),ˆ(),(P§ 2.1 一维定态的一般性质 5性质 2、设 ，即 具有空间反射不变)(xV)(性对于无简并的能级，定态波函数必有确定的宇称如果能级有简并，则总可以找到一组简并的定态波函数，其中每一个波函数都有确定的宇称证明：（1）能级无简并设 是与能级 对应的本征波函数)(xE)(ˆxH作空间反射变换因 ， 空间反射不变，)(Vˆ则)()(ˆxE也是与 对应的本征波函数因无简并，则)(xE1)(ˆ)(CxP即 具有确定的宇称)(x（2）能级有简并设集合 是与能级 对应的本征波函数})({i E§ 2.1 一维定态的一般性质 6fixEHii ,21),(ˆ空间反射得fiii ,),()(ˆ集合 也是与 对应的定态波函数})({xi只要 中有一个无确定宇称的波函数，例如i，就可用有确定宇称的组合 来取)(j)]([xjj代，最后总能组合成一组具有确定宇称的解总之，若 空间反射不变，则无简并的定态波函)(xV数必有确定的宇称对于简并的能级，总可以组合成有确定宇称的一组简并波函数[例题] 对于自由粒子， 为实函数，且具有空间0)(xV反射不变性。

的本征值 是二度简并的，mpHx2ˆpEx2对应两个独立的定态波函数 ).exp()(,iAxxp§ 2.1 一维定态的一般性质 7它们不是实函数，也不具有确定的宇称但总能组合成一组实的定态波函数 .)exp()e()( ,xpiiiAx它们具有确定宇称 .)()(ˆ,xP性质 3、如果 和 都是与能级 对应的本)(1x2E征波函数，则有 常 数121而对于束缚态（bound state ， ）则为0)(limxx．121证明：（1）0)()(121xVEmx§ 2.1 一维定态的一般性质 8（2）0)(2)(2xVEmx:1)2(10)(121dx常 数若 和 为束缚态12，0)(lim1xx 0)(li2xx则有 常 数 211性质 4、规则的势场 （无奇点）中的一维束缚)(xV态必定无简并证明：设 和 为与能级 对应的两个束缚态12E12在 和 的零点之外的区域，由上式可得12§ 2.1 一维定态的一般性质 9212121,ln, C能级 无简并。

E[思考] 证明：若规则势场 为实函数时，则一维束缚)(xV态的概率流密度为零物理上如何理解?性质 5、如图所示，束缚态的能量 满足条件E，mininoutV其中， 代表势能 的最小值；而 代表势能minV)(xinout在外区（包括 点）的最小值0xminV束 缚 态)(minoutV§ 2.1 一维定态的一般性质 10证明：（1） 成立minoutVE外区 ： )(x0)(2)(min xVExout若 ，则外区解 ，显然不是束缚态，因inoutie~为不满足条件 ．因此， 成立0)(lx inout（2） 成立minVE能量是 的平均值HˆdxVmpdxVxp)(2ˆ )()(ˆ*12ˆ22其中 ．min而 § 2.1 一维定态的一般性质 110)()(ˆˆ2*22pd这里 dxei)(1)(所以 成立minVE总之，束缚态的能量 满足条件E．mininoutV性质 6、在 点，若 连续或发生阶梯形跃变，0x)(x则波函数的一阶导数 连续；若 间断且为无限)(大，则 不连续，其连接条件可由 在 点)(0 xV0的性质推导得到。

证明：不含时薛定格方程 0)(2)(xVEmx§ 2.1 一维定态的一般性质 12积分且取极限 :0limdxVEdxxx 00 )(2)(x 0(200在 点，若 连续或阶梯形跃变x)(xV0)(0x在 点， 连续0)(否则，例如对于 势阱： )()(0xV0)(2)((lim)(000xVdEx在 点， 不连续0x连接条件：．)(2)()( 000 xmVx§ 2.1 一维定态的一般性质 13 除了波函数的自然条件外，有时还要用到波函数一阶导数 的连接条件性质 6 表明：在 点，)(r 0x若 连续或发生阶梯形跃变，则波函数的一阶导数xV连续；若 间断且为无限大，则 不连续，)()(x)(其连接条件可由 在 点的性质推导得到。