函数、不等式恒成立常见基本题型与解法.pdf

- 1 - 函数、不等式恒成立常见基本题型与解法 一、恒成立问题的基本类型： 类 型1： 设)0()(2acbxaxxf，（ 1）Rxxf 在0)(上 恒 成 立00且a； （2 ） Rxxf 在0)(上恒成立00且a 类型 2 ：设)0()(2acbxaxxf （1 ）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或， ],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff （2 ）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff ],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或 类型 3 ： min)()(xfRxxf恒成立对一切max)()(xfRxxf恒成立对一切 二、典例分析 1 、用一次函数的性质：对于一次函数],[,)(nmxbkxxf有： 0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立 例 1 ：若不等式) 1(122xmx对满足22m的所有m都成立，求 x的范围。

2 、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数), 0(0)(2Rxacbxaxxf有： （1 ）Rxxf 在0)(上恒成立00且a；  - 2 - （2 ）Rxxf 在0)(上恒成立00且a 例 2 ：若不等式02) 1() 1(2xmxm的解集是 R ，求 m 的范围 3 、二次函数在给定区间上恒成立问题 例 3 、函数f(x)＝2x＋ax＋3. (1) 当x∈R 时，f(x)≥a恒成立，求a的范围． (2) 当x∈[ －2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的范围． (3) 当a∈[4,6]时，f(x)≥0 恒成立，求x的范围． 分析：(1) 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数． (2) 对于二次不等式恒成立问题常见有两种类型，一是在全集 R 上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论． 4 、利用函数的最值（或值域） (1)f(x)≤0(或≥0)恒成⇔f(x)max≤0(或f(x)min≥0) (2) 含参数不等式恒成立问题，首选方法是分离参数转化为f(x)≥a(或≤a)形式，其次是数形结合． 例 4 ：设 x>0，y>0，不等式1x＋1y＋mx＋y≥0 恒成立，求实数 m 的取值范围。

例 5 ： （1 ）求使不等式], 0[,cossinxxxa恒成立的实数 a 的范围 （2 ）求使不等式)2, 0(4,cossinxxxa恒成立的实数 a 的范围 5 、数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解 例 6 ：已知恒成立有时当21)(,) 1 , 1(,)(, 1, 02xfxaxxfaax，求实数 a的取值范围 三、同步练习 1 、已知关于x的不等式 2x－1>m(x2－1)． (1) 是否存在实数m，使不等式对任意x∈R 恒成立？并说明理由； (2) 若对于m∈[ －2,2]不等式恒成立，求实数x的取值范围． 2 、在ABC中，已知2|)(|,2cos)24(sinsin4)(2mBfBBBBf且恒成立，求实数 m 的范围  - 3 - 3、 (2010·山东卷，理)若对任意 x>0，xx2＋3x＋1≤a 恒成立，求 a 的取值范围 4 、设1 24( )lg,3xxaf x其中aR，如果(.1)x 时，( )f x恒有意义，求a的取值范围 5 、设函数是定义在(,) 上的增函数，如果不等式2(1)(2)faxxfa对于任意[0,1]x恒成立，求实数a的取值范围。

6.设 f(x)=x2-2ax+2,当 x[-1,+) 时，都有 f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围 7 、当 x(1,2)时，不等式(x-1)22p+x恒成立的 x的取值范围 10、若当 P(m,n)为圆1) 1(22 yx上任意一点时，不等式0cnm恒成立，求 c 的取值范围。