用牛顿法求解非线性方程.doc

实验七 非线性方程求根一、实验目标1. 掌握常用的非线性方程求根算法（二分法、不动点迭代法与 Newton 法）及加速技术（Aitken 加速与 Steffsen 加速）.2. 会编写计算机程序实现给定迭代函数的迭代算法及其加速；掌握迭代算法的精度控制方法.二、实验问题求代数方程 的实根.053)(xf三、实验要求1．方程有一个实根： . 将方程以下面六种不2.79021533* x同方式等价地改写，构造迭代格式，计算 :*x(a) , (b) , (c) ,253x3535x(d) (e) , (f) .x122. 对每一种迭代格式，编制一个程序进行运算，观察每种格式的敛散情况；用事后误差估计 来控制迭代次数，并且输出迭代的次数；观察不同初值6110,tolxk的结果.3. 从理论上分析各种格式的收敛性及收敛阶.4. 将收敛较慢的一种格式分别用 Atken 方法及 Steffsen 方法加速，通过输出结果了解加速效果.5. 将一种不收敛的方法用 Steffsen 方法加速得到收敛的迭代 .数值分析实验指导第 1 页附录一：《数值分析》实验报告（模板）【实验课题】 用牛顿迭代法求非线性方程根 【实验目标】明确实验目标1. 掌握常用的非线性方程求根算法（二分法、不动点迭代法与 Newton 法）及加速技术（Aitken 加速与 Steffsen 加速）.2. 会编写计算机程序实现给定迭代函数的迭代算法及其加速；掌握迭代算法的精度控制方法.3 探索不同方式改写方程的收敛程度【理论概述与算法描述】1.牛顿法设已知方程 f(x)=0 有近似根 xk,将函数 f(x)在点 xk 展开，有f(x)=f(xk)+f’(xk)(x-xk),于是方程可表示为f(xk)+f’(xk)(x-xk)=0, 这是个线性方程，记其根为 x(k+1),则 x(k+1)=xk-f(xk)/f’(xk),这就是牛顿迭代法求根.2. 埃特金加速收敛方法设 0x是根 *的某个近似值，用迭代一次得 10()x，而由微分中值定理，有**' *100()()x其中 介于 *和 0之间。

假设 '()x改变不大，近似地取某个近似值 L，则有**10()xLx若将校正值 10()再迭代一次，又得 21()x由于**21()xL将它与前面的式子联立，消去未知的 L，有**0121x由此推知 22*0110022()xx，记数值分析实验指导第 2 页211()kk kxx称为埃特金加速方法3.斯特芬森迭代法将埃特金加速技巧与不动点迭代结合，则可得到如下的迭代法21(),()kkkkkyxzyx即为斯特芬森迭代法【实验问题】1.求代数方程 的实根.053)(xf2．方程有一个实根： . 将方程以下面六种不2.790213* 同方式等价地改写，构造迭代格式，计算 :*x(a) , (b) , (c) ,253x3535x(d) (e) , (f) .x123. 对每一种迭代格式，编制一个程序进行运算，观察每种格式的敛散情况；用事后误差估计 来控制迭代次数，并且输出迭代的次数；观察不同初值6110,tolxk的结果.4. 从理论上分析各种格式的收敛性及收敛阶.5. 将收敛较慢的一种格式分别用 Atken 方法及 Steffsen 方法加速，通过输出结果了解加速效果.6. 将一种不收敛的方法用 Steffsen 方法加速得到收敛的迭代 .【实验过程与结果】1.用 matlab 编程计算代数方程的根2.分别编写 6 个迭代法编程，对结果进行分析【结果分析、讨论与结论】迭代公式 1：x1 =数值分析实验指导第 3 页2.00001.50002.00001.50002.00001.50002.00001.50002.00001.50002.00001.50002.00001.50002.00001.50002.00001.50002.00001.5000迭代公式 2：x2 =1.0e+142 *0.00000.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-1.4947-Inf-Inf-Inf-Inf-Inf-Inf-Inf-Inf-Inf数值分析实验指导第 4 页-Inf迭代公式 3：x3 =2.00003.31663.86654.07434.15004.17734.18714.19064.19194.19234.19254.19264.19264.19264.19264.19264.19264.19264.19264.1926迭代公式 4：x4 =2.00005.00000.2273-1.6959-40.30950.0031-1.6667-22.50180.0099-1.6667-22.51850.0099-1.6667-22.51850.0099-1.6667-22.5185数值分析实验指导第 5 页0.0099-1.6667-22.5185迭代公式 5：x5 =2.00002.34522.26542.28192.27842.27912.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.2790迭代公式 6：x6 =2.00002.33332.28062.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.2790数值分析实验指导第 6 页2.27902.27902.27902.27902.27902.27902.2790从上述的运算结果可以看出，迭代公式 1、2、4 不收敛，3 虽然收敛，但与其他迭代法的结果差异太大，对 5 和 6 分别用埃特金加速和斯特芬森迭代得到结果如下：对于 5 埃特金加速结果：B =2.00002.28042.27912.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27900斯特芬森迭代结果：x =2.00002.15472.27922.27902.27902.2790数值分析实验指导第 7 页2.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.27902.2790对于 6 埃特金加速结果：B =2.00002.28782.27902.27902.27902.2790斯特芬森迭代结果：x =2.00002.15442.28382.27902.2790从以上结果可以看出，埃特金加速方法和斯特芬森迭代法确实可以加快收敛速度，且在此题的情况下，两种方法的加速效果差不多，但埃特金加速方法较斯特芬森迭代法来说更为简单易理解，运算步骤也少一些，因此对于此题，我们可以选用埃特金加速方法。

附程序】function [k,x,da,g]= newton(x0,tol)k=1;g1=fun1(x0);g2=fun2(x0);x1=x0-g1/g2;while abs(x1-x0)>tol数值分析实验指导第 8 页x0=x1;g1=fun1(x0);g2=fun2(x0);k=k+1;x1=x0-g1/g2;endk;x=x1;da=abs(x1-x0)/2;g=fun1(x);endfunction g1=fun1(x)g1=x^3-3*x-5;endfunction g2=fun2(x)g2=3*x^2-3;endfunction g1=fun1(x)g1=x^3-3*x-5;endfunction x=Aitken(A);n=length(A);x=zeros(n,1);t=0;x(1)=A(1);for i=1:n-2x(i+1)=A(i)-((A(i+1)-A(i))^2)/(A(i)-2*A(i+1)+A(i+2));endfunction x=Steffsen(A,B)n=length(B);x=zeros(n,1);x(1)=B(1);for i=2:nx(i)=A(i)-((B(i-1)-A(i))^2)/(B(i)-2*B(i-1)+A(i));end④%构造迭代算法 x=(3*x+5)/(x^2)function x=diedai1(x0,tol,N)数值分析实验指导第 9 页%x0 是初值，tol 为迭代精度，N 是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;while k<=Nfor i=2:Nx(i)=(3*x(i-1))/(x(i-1)^2);endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);if abs(t)<=tol break;endend⑤%构造迭代算法 x=(x^3-5)/3function x=diedai2(x0,tol,N)%x0 是初值，tol 为迭代精度，N 是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;while k<=Nfor i=2:Nx(i)=(x(i-1)^3-5)/3;endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);if abs(t)<=tol break;endend⑥%构造迭代算法 x=(3*x+5)^(1/3)function x=diedai3(x0,tol,N)%x0 是初值，tol 为迭代精度，N 是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;while k<=Nfor i=2:Nx(i)=(3*x(i-1)+5)^(1/2);数值分析实验指导第 10 页endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);if abs(t)<=tol break;endend⑦%构造迭代算法 x=5/(x^2-3)function x=diedai4(x0,tol,N)%x0 是初值，tol 为迭代精度，N 是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;while k<=Nfor i=2:Nx(i)=5/(x(i-1)^2-3);endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);if abs(t)<=tol break;endend⑧%构造迭代算法 x=sqrt(3+5/x)function x=diedai5(x0,tol,N)%x0 是初值，tol 为迭代精度，N 是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;while k<=Nfor i=2:Nx(i)=sqrt(3+5/x(i-1));endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);if abs(t)<=tol break;endend数值分析实验指导第 11 页⑨%构造迭代算法 x=x-(x^3-3*x-5)/(3*(x^2-1))function x=diedai6(x0,tol,N)%x0 是初值，tol 为迭代精度，N 是迭代最大次数x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;while k<=Nfor i=2:Nx(i)=x(i-1)-(x(i-1)^3-3*x(i-1)-5)/(3*(x(i-1)^2-1));endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);if abs(t)<=tol break;endend。