最新同济第五版高数36绘图37曲率PPT课件.ppt

同济第五版高数同济第五版高数3-6绘图绘图,3-7曲曲率率解解 定义域为定义域为 一阶导数的符号一阶导数的符号确定函数图形的上升确定函数图形的上升下降以及极值点；下降以及极值点； 二阶导数的符号二阶导数的符号确定函数图形的凹确定函数图形的凹凸以及拐点凸以及拐点. .例例3 求曲线求曲线的渐近线的渐近线 .解解为水平渐近线为水平渐近线; ;为垂直渐近线为垂直渐近线.例例4 4解解非奇非偶函数非奇非偶函数, ,且无对称性且无对称性. . 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间, ,凹凸区间及极凹凸区间及极值点和拐点值点和拐点: :不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点作图作图水平渐近线水平渐近线 ; 垂直渐近线垂直渐近线; 小小 结结1. 曲线渐近线的求法曲线渐近线的求法按作图步骤进行按作图步骤进行2. 函数图形的描绘函数图形的描绘思考题思考题曲线曲线(A) 没有渐近线；没有渐近线； (B) 仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；(C) 仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示: :第七节第七节 曲率曲率一、弧微分一、弧微分二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式一、一、 弧微分弧微分设设在在(a , b)内有连续导数内有连续导数,规定有向规定有向弧段的值弧段的值（（单增单增））求弧的导数和微分：求弧的导数和微分：则则弧微分公式弧微分公式为为几何意义几何意义: :若曲线由参数方程若曲线由参数方程 表示表示,弧微分公式弧微分公式弧微分三角形弧微分三角形二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质曲率是描述曲线局部性质( (弯曲程度弯曲程度) )的量．的量．))弧段弯曲程度越大弧段弯曲程度越大转角越大转角越大转角相同弧段越短转角相同弧段越短弯曲程度越大弯曲程度越大1 1、曲率的定义、曲率的定义) 在光滑弧上自点在光滑弧上自点 M 开始取弧段开始取弧段,其长为其长为对应切线转角为对应切线转角为平均曲率平均曲率定义弧段定义弧段 上的上的点点 M 处的处的曲率曲率注意注意: 直线上任意点处的曲率为直线上任意点处的曲率为 0 .例例1 求半径为求半径为R 的圆上任意点处的曲率的圆上任意点处的曲率 . .解解 如图所示如图所示 , ,可见可见: R 越小越小, 则则K 越大越大,圆弧弯曲得越厉害圆弧弯曲得越厉害; R 越大越大, 则则K 越小越小 , 圆弧弯曲得越小圆弧弯曲得越小 .有有曲率近似计算公式曲率近似计算公式可以推导出可以推导出曲率计算公式曲率计算公式为为2.曲率曲率K 的计算公式的计算公式二阶可导二阶可导,设曲线弧设曲线弧则由则由三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径设曲线设曲线 在点在点M(a,b)处的处的曲率为曲率为K曲率圆曲率圆如图，以如图，以D为圆心，为圆心，为半径的与曲线在为半径的与曲线在M点相切的圆点相切的圆. D称为称为曲线在点曲线在点M处处曲率圆的中心，曲率圆的中心， 实际中常用曲率圆在实际中常用曲率圆在M点邻近的一段弧近似代替点邻近的一段弧近似代替曲线弧曲线弧.称为曲线在点称为曲线在点M处处曲率半径曲率半径. 设曲线在点设曲线在点M处的曲率为处的曲率为K 曲线在点曲线在点M处的曲率半径处的曲率半径与曲线与曲线在该点处在该点处的曲率的曲率互为倒数：互为倒数：例例2 设工件内表面的截线为抛物线设工件内表面的截线为抛物线现在要用砂轮磨削其内表面现在要用砂轮磨削其内表面.问用直径多大问用直径多大的砂轮才比较合适？的砂轮才比较合适？解解 砂轮的半径应不大于抛物线上各点处砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值曲率半径中的最小值, 抛物线在其顶点处抛物线在其顶点处的曲率最大，即曲率半径最小的曲率最大，即曲率半径最小.求求 在顶点在顶点(0,0)处的曲率半径处的曲率半径.抛物线在其顶点处的曲率半径抛物线在其顶点处的曲率半径因此选用砂轮的半径不得超过因此选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，单位长，即直径不得超过即直径不得超过2.5单位长单位长.作作 业业习题习题3-6 2; 4习题习题3-7 2; 5复习和总结第三章所学内容复习和总结第三章所学内容。