数学物理方程高斯：离群索居的王子.pdf

数学文化/第3卷第3期3 一、与自然数的“情谊” 1777 年 4 月 30 日，高斯出生在汉诺威公国（今下 萨克森州）的不伦瑞克市郊外（现属市区） 其时德意志 民族远未统一，除了汉诺威，尚有奥地利、普鲁士、巴 伐利亚等邦国在高斯的祖先里，没有一个人可以说明 为什么会产生高斯这样伟大的天才他的父亲是个普通 的劳动者，做过石匠、纤夫、花农，母亲是他父亲的第 二个妻子，做过女仆，没受过什么教育她甚至忘了高 斯的生日，只记得是星期三，耶稣升天节前 8 天，高斯 后来自己把它算出但母亲聪明善良，有幽默感，并且 个性很强她以 97 岁高寿仙逝，高斯是她的独养儿子 据说高斯 2 岁时就发现父亲账簿上的一处错误9 岁那年，他在公立小学念书，一次老师为了让学生们有 事干，让他们把从 1 到 100 这些整数加起来，高斯几乎 立刻就把写好结果的石板面朝下放在自己的课桌上当 所有的石板都被翻过时，这位老师惊讶地发现只有高斯 得出了正确的答案 ：5050，但是没有演算过程事实上， 高斯已经在脑子里对这个算术级数求了和，他注意到了 1 + 100 = 101，2 + 99 = 101，3 + 98 = 101，等 50 对数， 从而答案是 50101 或 5050。

高斯在晚年常幽默地宣称， 在他会说话之前就会计算，还说他问了大人字母如何发 音，就自己学着读起书来 高斯的早熟引起了不伦瑞克公爵费迪南的注意，这 历史上间或出现神童，神童常常出现在数学、音乐、 棋艺等方面卡尔 弗雷德里希 高斯（C. F. Gauss, 1777- 1855） ，一位数学神童，是各式各样的天才里最出色的一个 就像狮子号称万兽之王，高斯在数学家之林中称王，他有一 个美号数学王子高斯不仅被公认为是 19 世纪最伟大 的数学家，并且与阿基米德、牛顿并称为历史上三个最伟大 的数学家现在阿基米德和牛顿的名字早已进入了中学的教 科书， 他们的工作或多或少成为大众的常识，而高斯和他的 数学仍遥不可及， 甚至于在大学的基础课程中也很少出现 但高斯的肖像画却赫然印在 10 马克流通最广泛的德国 纸币1上，直到 2002 年马克被欧元取代 蔡天新 高斯 ： 离群索居的王子 德国马克上的高斯（C. F. Gauss, 1777-1855） 数学文化/第3卷第3期4 导致一个半世纪后德国数学家外尔提出了他的著名猜想 高斯初出茅庐，就已经炉火纯青了，而且以后的 50 年间他一直保持这样的水准不过，高斯取得博士学位 是在同属下萨克森州的黑尔姆斯泰特大学，那里不仅离 他的故乡更近，还有一位当时德国最好的数学家普法夫。

值得一提的是，这所创办于 1576 年的古老大学在 1810 年并入了哥廷根大学，可是普法夫却去了哈雷大学高 斯所处的时代，正是德国浪漫主义盛行的时代高斯受 时尚的影响，在其私函和讲述中，充满了美丽的词藻 高斯说过 ： “数学是科学的皇后，而数论是数学的女王 ” 那个时代的人们也开始称高斯为“数学王子” 事实上， 综观高斯整个一生的工作，似乎也带有浪漫主义的色彩 数论是最古老的数学分支之一，主要研究自然数的 性质和相互关系从古希腊的毕达哥拉斯时代起人们就 沉湎于发现数的神秘关系，优美、简洁、智慧是这门科 学的特点俄国画家瓦西里 康定斯基甚至认为 ： “数是 各类艺术最终的抽象表现 ”就像其他数学神童一样，高 斯首先迷恋上的也是自然数高斯在 1808 年谈到 ： “任 何一个花过一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种 特别的激情与狂热 ”被称为现代数学最后一个“百事通” 的希尔伯特是 19 世纪后期重新崛起的哥廷根数学学派的 领军人物，其传记作者在谈到大师放下代数不变量理论 转向数论研究时指出 ： 数学中没有一个领域能够像数论那样， 以它的美 一种不可抗拒的力量，吸引着数学家中的精华 另一方面，我也注意到一些不曾研究过数论的伟大 数学家，如帕斯卡尔、笛卡尔、牛顿和莱布尼兹，他们 都把后半生的精力奉献给了哲学或宗教，惟独费尔马、 欧拉、拉格朗日、勒让德、高斯、狄里克雷这几位对数 论有着杰出贡献的数学家，却终其一生都不需要任何哲 学和宗教。

或许，这是因为他们心中已经有了最纯粹、 最本质的艺术数论值得一提的是，对一些优美的 数学定理或公式，高斯经常一而再、再而三地给出新的 证明例如被他称为“皇冠上的宝石”的二次互反律， 高斯一共给出了 6 种证明方法即便在今天，这个定律 仍与中国剩余定理一样，出现在每一本基础数论教程中 这里我想引用印度数学天才拉曼纽扬的故事说明数 论学者与自然数的“情谊” ，这位来自印度最南端泰米尔 纳德邦的办事员具有快速且深刻地看出数的复杂关系的 惊人才华著名的英国数论学家 GH哈代在 1913 年“发 现”了他，并于次年邀他来剑桥大学哈代有一次去探 望病中的拉曼纽扬时告诉他，自己刚才乘坐的出租汽车 车号是 1729拉曼纽扬立即回答 ： “这是一个很有意思 位公爵的名字也叫卡尔，是个热心肠且始终如一的赞助 人高斯 14 岁进卡洛琳学院（现不伦瑞克技术大学） ， 18 岁入哥廷根大学当时的哥廷根大学仍默默无闻，事 实上，它创办不到 60 年由于高斯的到来，才使得这所 日后享誉世界的大学变得重要起来起初，高斯在做个 语言学家抑或数学家之间犹豫不决，他决心献身数学是 1796 年 3 月 30 日的事了当他差一个月满 19 岁时，他 对正多边形的欧几里德作图理论（只用圆规和没有刻度 的直尺）做出了惊人的贡献，发现了它与费尔马素数之 间的秘密关系。

特别地，他给出了作正十七边形的方法， 这是一个有着二千多年历史的数学悬案 那一年可谓是高斯奇迹年，就在他发现正十七边形 作图理论 9 天以后，即 4 月 8 日，他发展了同余理论， 首次证明了二次互反律，这样就彻底解决了二次同余方 程的可解性判断问题5 月 31 日，高斯提出了后人称为 素数定理的猜想，也即不超过 x 的素数个数为 x/log x， 这个猜想直到 100 年后才被证明 ；又过了 50 年，两个用 初等方法证明它的人中的一个因此获得了菲尔兹奖7 月 10 日，高斯证明了费尔马提出的三角形数猜想10 月 1 日，他发表了有限域里一个多项式方程解数问题的研究， 短街上的高斯故居（作者摄于哥廷根） 数学文化/第3卷第3期5 的数，1729 是可以用两种方式表示成两个自然数立方和 的最小的数 ” （既等于 1 的三次方加上 12 的三次方， 又 等于 9 的三次方加上 10 的三次方 ）哈代又问，那么对 于四次方来说，这个最小数是多少呢 ? 拉曼扭扬想了想， 回答说 ： “这个数很大，答案是 635318657 ” （既等于 59 的四次方加上 158 的四次方， 又等于 133 的四次方加上 134 的四次方。

） 二、现代数论的新纪元 1801 年，年仅 24 岁的高斯出版了算术研究 ，从 而开创了现代数论研究的新纪元书中出现了有关正多 边形的作图，方便的同余记号、二次型理论、类数问题 以及优美的二次互反律的首次证明，他还把复数引入数 论，即后人所称的高斯整数环除了第 7 章（最后一章） 给出代数基本定理的首次严格证明（他的博士论文结果） 以外，其余各章讲的都是数论在这部著作出版以前， 数论只有若干零散的定理和猜想，高斯把前人的结果和 自己的原创性工作结合起来，使其成为有机的整体和一 门严格的数学分支 值得一提的是，这部伟大的著作在他 21 岁时即已完 稿，高斯曾把他寄到法国科学院，却遭到拒绝，但他自己 将它出版了（费迪南 公爵支付了印刷费） 与高斯的前期论文一 样，它是用拉丁文写 成的，这是当时科学 界的世界语，然而由 于受 19 世纪初盛行 的国家主义的影响， 高斯后来改用德文写 作在那个世纪的末 端，集合论的创始人 康托尔这样评价 ： 算术研究是 数论的宪章高斯总 是迟迟不肯发表他的 著作，这给科学带 来的好处是，他付 印的著作在今天仍 然像第一次出版时一样正确和重要，他的出版物就是法 典。

比人类其它法典更高明，因为不论何时何地从未发 觉出其中有任何一处毛病，这就可以理解高斯暮年谈到 他青年时代第一部巨著时说的话 ： “ 算术研究是历史 的财富 ”他当时的得意心情是颇有道理的 在算术研究出版的第二年，高斯就当选为圣彼 得堡科学院外籍院士，同时俄罗斯 方面也向他提供了教授职位，但被 他婉言谢绝了，那座城市是 18 世纪 大数学家欧拉钟爱的第二故乡直 到四年以后，为了不使德意志失去这 位最伟大的天才，包括洪堡在内的多 位学者和政要联名推荐，高斯被破格 聘任为哥廷根大学数学教授兼天文台 台长，全家一起搬入新落成的天文台， 他担任这个职位直到去世 关于算术研究 ，流传着这样一 个故事1849 年 7 月 16 日，哥廷根大学 为高斯获得博士学位 50 周年举行庆祝会 当进行到某一程序，高斯准备用算术研 究的一张原稿点烟，当时在场的柏林大 学教授狄里克雷像见到犯了渎圣罪一样吃了 一惊，他立刻冒失地上前从高斯手中抢下这 一页纸，并一生珍藏它 ；他的遗著编辑者在 他死后从其文稿中间找到了这张原稿左图： 算术研究首版扉页；右图：中文版封面，潘承彪、张明尧译 邮票上的高斯整数 数学文化/第3卷第3期6 父亲老鲍耶也攻数学，是高斯在哥廷根念书时最要好的 朋友。

1797 年，他曾陪同高斯徒步到不伦瑞克探望高斯 双亲等到高斯走出房间，他的母亲迫不及待地询问老 鲍耶，自己儿子的前途如何当听到回答“他是全欧洲 最伟大的数学家时” ，老人家已经老泪纵横，那年高斯才 20 岁老鲍耶毕业后回到匈牙利娶妻生子，但在随后的 半个世纪里仍与高斯保持书信往来当他把儿子发明非 欧几何学的消息和结果告诉老同学，并没有得到足够的 鼓励和任何帮助小鲍耶后来郁郁寡欢，默默无闻地度 过一生，晚年专心于文学创作 从做出有关正多边形发现的那天起，高斯便开始了 著名的数学日记，他以密码式的文字记载下许多伟大的 数学发现，共持续了 18 年有意思的是，高斯的这本日 记直到 1898 年才被找到，它包括 146 条很短的注记，其 中有数值计算结果，也有简单的数学定理例如，关于 正多边形作图问题，高斯在日记中含蓄地写到 ： 圆的分割定律，如何以几何方法将圆十七等分 值得一提的是，这项结果在两个月后出版的新知文献 杂志上就发表出来了，而当时的汉诺威科学并不发达 狄里克雷比高斯小 27 岁，他上大学那会儿，整个德 意志民族只有高斯一个有名望的数学家，却不怎么喜欢 教学狄里克雷只好远赴巴黎留学，师从法国数学家傅 里叶和泊松，但他始终携带着高斯的算术研究 ，可以 说是第一个真正读懂这本书的人。

留学巴黎期间，狄里 克雷证明了费尔马大定理在指数为 5 和 14 时成立这个 结果当年曾轰动一时，因为 3 和 4 的情形分别是由欧拉 和费尔马本人解决的狄利克雷后来娶了同胞作曲家门 德尔松的妹妹为妻，在高斯去世以后，他被哥廷根聘请 继任了高斯的职位 与艺术家一样，高斯希望他留下的都是十全十美的 艺术珍品，任何丝毫的改变都将破坏其内部的均衡他常 说 ： “当一幢建筑物完成时，应该把脚手架拆除干净 ”高 斯对于严密性的要求也非常苛刻，使得一个定理从直觉的 形式到完整的证明，中间有一段漫长的过程此外，高斯 十分讲究逻辑结构，他希望在每一个领域中，都能树立起 一致而普遍的理论，从而将不同的定理联系起来鉴于上 述原因，高斯很不乐意公开发表他的东西他的著名警句 是： 宁肯少些， 但要成熟为此，高斯付出了高昂的代价， 包括把非欧几何学和最小二乘法的发明权与罗巴切夫斯 基、鲍耶和勒让德共同分享，就如同费尔马把解析几何和 微积分的发明权让给了笛卡尔和牛顿、莱布尼兹 说到鲍耶，他是匈牙利历史上最伟大的数学家，其 匈牙利邮票上的鲍耶（Jnos Bolyai, 1775-1856） 哲学家黑格尔（George W. F. Hegel, 1770-。