材料成型原理.ppt

n塑性成形原理 n铸件形成原理n焊接原理材料成型原理 《《塑性成形原理塑性成形原理》》 n塑性加工基础理论塑性加工基础理论n塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用主要参考文献n陈平昌. 材料成形原理. 机械工业出版社n李庆春. 铸件形成理论基础. 机械工业出版社n王仲仁. 塑性加工力学. 机械工业出版社n吴德海．近代材料成形原理．机械工业出版社 n汪大年．金属塑性成形原理．,机械工业出版社 n周美玲．材料工程基础，北京工业大学出版社，2001年；n蒋成禹．材料加工原理，哈尔滨工业大学出版社，2001年.n曹乃光．金属塑性加工原理，冶金工业出版社，1983年n王廷博．金属塑性加工学．冶金工业出版社,1988年n马怀宪．金属塑性加工学．冶金工业出版社，1991年n杨守山．有色金属塑性加工学．冶金工业出版社,1982年n傅祖铸．有色金属板带材生产．中南工业大学出版社,1992年n谢建新．金属挤压理论与技术．冶金工业出版社,2001年n安阁英. 铸件形成理论. 机械工业出版社塑性成形原理塑性成形原理 塑性加工力学塑性加工力学1 应力分析应力分析2 应变分析应变分析3 屈服准则屈服准则4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系5 主应力法主应力法6 滑移线法滑移线法7 上限法上限法塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析 1.1 应力张量应力张量1.2 直角坐标系中一点的应力状态直角坐标系中一点的应力状态1.3 应力平衡微分方程应力平衡微分方程1.4 平面应力状态和轴对称应力状态平面应力状态和轴对称应力状态 1.1 应力张量应力张量 物体所承受的外力可以分成两类： 一类是作用在物体表面上的力，叫做面力或接触力面力或接触力，它可以是集中力，但更一般的是分布力；￿￿￿二类是作用在物体每个质点上的力，叫做体力体力。

￿￿￿内力内力：：￿￿￿￿￿￿在外力作用下，物体内各质点之间就会产生相互作用的力应力应力：：单位面积上的内力现以单向均匀拉伸为例（如图（如图4-14-1））进行分析塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析 1.1 应力张量应力张量——单向单向拉伸拉伸塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析 1.1 应力张量应力张量塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析1.1 应力张量应力张量应力正负判断标准：应力正负判断标准：正平面，正方向；应力为正；正平面，正方向；应力为正；正平面，负方向；应力为负；正平面，负方向；应力为负；负平面，正方向；应力为负；负平面，正方向；应力为负；负平面，负方向；应力为正；负平面，负方向；应力为正；塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析 应力张量等于应力偏张量+应力球张量。

应力偏张量应力偏张量：只能使物体产生形状变化，而不能产生体积变化应力球张应力球张量：量：不能使物体产生形状变化和塑性变形，而只能产生体积变化应力张量、应力偏张量、应力球张量：塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析1.2 直角坐标系中一点的应力状态直角坐标系中一点的应力状态应力分量应力分量 ￿ ￿设在直角坐标系中有一承受任意力系的物体，物体内有一任意点Q，围绕Q切取一矩形六面体作为单元体，其棱边分别平行于三根坐标轴取六面体中三个相互垂直的表面作为微分面，如果这三个微分面上的应力都可以通过静力平衡求得这就是说，可以用质点在三个相互垂直的微分面上的应力来完整地描述该质点的应力状态 上述三个微分面上的应力都可以按坐标轴的方向分成三个分量由于每个微分都与一坐标轴面垂直而与另两坐标轴平行，故三个应力分量中必有一个是正应力分量，另两个则是剪应力分量因此一般情况下，一点的应力状态应该用九个应力分量来描述，如图图4-24-2所示塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析预备知识预备知识: :塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析二维坐标系推广到三维坐标系二维坐标系推广到三维坐标系质点在任意切面上的应力。

质点在任意切面上的应力取质点Q（单元体）如图（图（图4-34-3）），则该微分面上的应力就是质点在任意切面上的应力，它可通过四面体QABC的静力平衡求得1.2 直角坐标系中一点的应力状态直角坐标系中一点的应力状态塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析质点在任意切面质点在任意切面上的应力上的应力同理：同理：静力平衡：1.2 直角坐标系中一点的应力状态直角坐标系中一点的应力状态塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析1.2 直角坐标系中一点的应力状态直角坐标系中一点的应力状态质点在任意切面质点在任意切面上的应力上的应力塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析如果如果S S为为主应力：主应力：代入下式，得：代入下式，得：质点在任意切面质点在任意切面上的应力上的应力塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析主方向主方向l,m,n应满足方程组应满足方程组：：对于线性齐次方程组，非零解条件：：对于线性齐次方程组，非零解条件：：质点在任意切面质点在任意切面上的应力上的应力塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析展开行列式得到应力状态特征方程，展开行列式得到应力状态特征方程，J1,J2,J3为应力张量不变量：为应力张量不变量：解方程即得三个根，即为主应力及解方程即得三个根，即为主应力及主方向：主方向：解方程组即得主方向解方程组即得主方向l,m,n：主应力求解主应力求解塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析三、主平面、主应力主方向三、主平面、主应力主方向 如果点应力状态的应力分量已确定，那么微分面ABC上的正应力σ及剪应力τ都将随法线N的方向，也即随l、m、n的数值而变。

主平面：主平面：τ =0的微分面叫做主平面，主平面，假如N在某一方向时，微分面上的τ =0，这样的特殊微分面就叫做主平面；主平面；主应力：主应力：，主平面主平面面上作用的正应力即为主应力主应力（其数值有时可能为0）应力主方向：应力主方向：主平面上的法线方向则称为应力主方向应力主方向或应力主应力主轴轴 对于任意一点的应力状态，一定存在相互垂直的三个主方向、三个主平面和三个主应力这是应力张量的一个重要特征主应力求解主应力求解1.3 主平面、主应力、主方向主平面、主应力、主方向塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析 主平面：主平面：τ =0的微分面叫做主平面主平面主应力：主平面主应力：主平面面上作用的正应力即为主应力主应力主方向：主方向：主平面上的法线方向则称为应力主方向应力主方向或应力主轴应力主轴应力主轴：应力主轴：主平面上的法线方向主剪平面：剪应力主剪平面：剪应力τ达到达到极值的微分面叫做主剪平主剪平面面主剪应力：主剪平面主剪应力：主剪平面上作用的剪应力即为主剪应力主剪应力最大剪应力：三个主剪应力最大的叫做最大主剪应最大剪应力：三个主剪应力最大的叫做最大主剪应力力1.3 主平面、主应力、主方向主平面、主应力、主方向塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析 在主应力空间里，主应力的轨迹是椭球面： 1.3 主平面、主应力、主方向主平面、主应力、主方向塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析 对于一点的应力状态，主应力σ 1、σ 2、σ 3是确定的，因此上式表示一个椭球面，叫做应力椭球面应力椭球面。

它就是点应力状态任意斜切面全应力矢量S端点的轨迹，(图图1-4)，其主半轴的长度分别等于σ 1、σ 2、σ 3 还可以看到，三个主应力中的最大者和最小者也就是一点所有方向的应力中的最大者和最小者1.3 主平面、主应力、主方向主平面、主应力、主方向塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析 在主应力空间里： 1.3 主平面、主应力、主方向主平面、主应力、主方向塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析例题例题 设某点应力状态如图图1-5所示，试求其主应力及主方向应力单位：10N/mm）1.3 主平面、主应力、主方向主平面、主应力、主方向塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析例题：例题：应力张量为：主应力：主应力：塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析 主应力的方向余弦的联解方程组，得到三个主方向的方向余弦为：塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析 应力张量：塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析主剪应力和最大剪应力主剪应力和最大剪应力 剪应力有极值的切面叫做主剪应力平面主剪应力平面，面上作用的剪应力叫做主剪主剪应力应力。

取应力主轴为坐标轴，则任意斜切面上的剪应力可求得： 1.3 主平面、主应力、主方向主平面、主应力、主方向塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析 使剪应力取极值时的l,m,n值如下： 1.3 主平面、主应力、主方向主平面、主应力、主方向塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析上列的三组解各表示一对相互垂直的主剪应力平面，它们分别与一个主平面垂直并与另两个主平面成45º 角，如图图1-6所示每对主剪应力平面上的主剪应力都相等将上列三组方向余弦代入（a），即可求得三个主剪应力以及将三组方向余弦值代入即可求得主剪应力平面上的正应力： 塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析上列的三组解各表示一对相互垂直的主剪应力平面，它们分别与一个主平面垂直并与另两个主平面成45º 角，如图图1-6所示。

每对主剪应力平面上的主剪应力都相等将上列三组方向余弦代入（a），即可求得三个主剪应力以及将三组方向余弦值代入即可求得主剪应力平面上的正应力：塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析 主剪应力中绝对值最大的一个，也就是一点所有方向切面上剪应力的最大值，叫做最大剪应力,以 τ max 表示如设 σ 1>σ 2>σ 3，则 τ max=± (σ 1-σ 3)/2 应注意到，每对主剪应力平面上的正应力都是相等的，图图1-7为σ1 σ2坐标平面上的例子 塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析八面体八面体 如图如图1-8塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析八面体应力八面体应力八面体正应力:八面体：八面体：塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析八面体应力八面体应力八面体剪应力为：塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析八面体应力和等效应力八面体应力和等效应力将八面体剪应力取绝对值，并乘以系数 ，叫做“等效应力等效应力”，也称广义应力广义应力或应力强度应力强度。

如果：塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析 应力莫尔圆是点应力状态的几何表示法，若已知某点的一组应力分量或主应力，就可以利用应力莫尔圆通过图解法来确定该点任意方位平面桑的正应力和切应力这三个圆叫做应力莫尔圆应力莫尔圆应力莫尔圆应力莫尔圆塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析应力莫尔圆应力莫尔圆如图（如图（1-9））塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析1.4 应力平衡微分方程应力平衡微分方程塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析1.4 应力平衡微分方程应力平衡微分方程 设物体（连续体）内有一点Q，其坐标为x、y、z。

以Q点为顶点切取一个边长为dx、dy、dz的平行六面体六面体另一顶点Q’的坐标即为x+dx、y+dy、z+dz由于坐标的微量变化，各个应力分量也见产生微量的变化（如图（如图10））塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析1.4 应力平衡微分方程应力平衡微分方程 设物体（连续体）内有一点Q，其坐标为x、y、z以Q点为顶点切取一个边长为dx、dy、dz的平行六面体六面体另一顶点Q’的坐标即为x+dx、y+dy、z+dz由于坐标的微量变化，各个应力分量也见产生微量的变化（如图（如图10））塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析1.4 应力平衡微分方程应力平衡微分方程同理塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析1.5 平平面面应应力力状状态态和和轴轴对对称称应应力力状状态态一、平面应力状态一、平面应力状态 应力分量与某一坐标无关。

塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析平面应力状态平面应力状态应力摩尔圆应力摩尔圆如图（如图（1-11））塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析平面应力状态平面应力状态应力摩尔圆应力摩尔圆如图（如图（1-11））塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析纯剪应力状态纯剪应力状态应力摩尔圆应力摩尔圆 在两相应力状态中有一种“纯剪”状态，它的特点是在主剪平面上的正应力为零，（如图图1-12a)所示按上述方法作出纯剪状态的应力莫尔圆（如图1-12b)所示由图可以看出，纯剪应力τ 就是最大剪应力，主轴与坐标轴成45°角，主应力的特点是σ1=σ2 。

塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析平面应力状态平面应力状态力平衡微分方程力平衡微分方程平面应力状态的力平衡微分方程：平面应力状态的力平衡微分方程：塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析 在塑性成形中经常遇到旋转体当旋转体承受的外力为对称于旋转轴的分布力而且没有周向力时，则物体内的质点就处于轴对称应力状态一般采用圆柱坐标或球坐标如图（如图1-13））轴对称应力状态轴对称应力状态塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析用圆柱坐标时的应力张量为：用圆柱坐标时的平衡微分方程为：塑性加工力学塑性加工力学 1 应力分析应力分析5.1 有关变形的一些概念有关变形的一些概念5.2 小变形分析小变形分析5.3 应变增量和应变速率增量应变增量和应变速率增量5.4 平面变形问题和轴对称问题平面变形问题和轴对称问题塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析2 应变分析应变分析 1）单元体的变形可分为两种形式，一种是线尺寸的伸长缩短，叫做正变形正变形或线变形线变形；一种是单元体发生偏斜，叫做剪剪变形变形或角变形角变形。

正变形和剪变形也可统称“纯变形” 2）对于同一变形的质点，随着切取单元体的方向不同，则单元体表现出来的变形数值也是不同的，所以同样需要引入“点应力状态”的概念 3）变形的大小可用应变来表示，小变形时的应变就是小应变物体变形时，体内所有的点都产生了位移单元体取得极小时，可认为他的变形是均匀变形 4）物体变形时，单元体一般将同时发生平移、转动、正变形和剪变形平移和转动本身并不代表变形，只表示刚体位移所以，只有从单元体位置、形状和尺寸变化中除去刚体位移，才能得到纯变形2.1 有关变形的一些概念有关变形的一些概念塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析 应变可分为正应变和剪应变现设一单元体PABC仅仅在xy坐标平面内发生了很小的正变形（图（图2-1）），变成了PA1B1C1 单元体内的各线元的长度都发生了变化例如其中线元PB由原长r变成了r1= r +δr，于是我们把单位长度的变化叫做线元PB的正应变正应变线元伸长时ε为正，缩短时ε为负 又设该单元体在xy平面内发生了剪变形，线元PC和PA所夹的直角∠ CPA缩小了φ 角，变成了∠ C1PA，相当于C点在垂直于PC的方向偏移了δrτ ，一般把 下式叫做剪应变剪应变。

2.2 小变形分析小变形分析塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析小变形分析小变形分析塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析 在实际变形时，线元PA及PC的偏转角度不一定相同现设它们的实际偏转角分别为αxy及αyx (图图2-2) ，偏转的结果仍使∠CPA缩小了Φxy角，于是: 在αxy及αyx中已包含了刚体转动可以设想单元体的线元PA、PC先同时偏转γxy及γyx ，然后整个单元体绕z轴转动了一个角度ωz由几何关系有塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析质点的应变状态质点的应变状态 任何一个张量均可以分解成一个对称张量与一个反对称张量之和。

式中后一项是一个反对称张量，表示刚体转动，叫刚体转动张量；前一项是对称张量，表示纯变形，这就是我们要重点讨论的应变张量，一般用εij表示，即： 塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析位移与应变之关系位移与应变之关系位移与应变之关系位移与应变之关系叫做小应变几何方程小应变几何方程用角标符号表示为：塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析 物体变形之后，体内的点都产生了位移设物体内任意点位移矢量为，则它在三个坐标轴方向的投影就叫该点的位移分量，由于物体在变形之后仍保持连续，故位移分量应是坐标的连续函数： 位移场的确定位移场的确定塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析位移场的确定实例位移场的确定实例图图2-3 表示一矩形柱体在无摩擦的光滑平板尖进行塑性压缩，这时该柱体在压缩后仍是矩形柱体，且可假定其体积不变；如设压缩量很小，则柱体内的位移场为:塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析位移场的确定位移场的确定线性分布：线性分布：塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析位移场的确定位移场的确定塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析位移场的确定位移场的确定塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析位移场的确定位移场的确定塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析变形连续性方程变形连续性方程塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析平面变形连续性方程平面变形连续性方程平面应力状态的力平衡微分方程：平面应力状态的力平衡微分方程：塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析主应变、应变张量主应变、应变张量 通过一点，存在三个相互垂直的应变主方向（主轴），在主方向上的线元没有角度偏转，只有正应变，该正应变就叫主应变主应变，一般以ε1 、 ε2 、 ε3 表示。

如取应变主轴为坐标轴，则应变张量就简记为 主应变可由应变张量的特征方程求得：塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析应变偏张量、球张量、八面体应变和等效应变应变偏张量、球张量、八面体应变和等效应变应变张量可以分解成两个张量 前者为应变偏张量，表示单元体的形状变化；后者为应变球张量，表示体积变化应注意，塑性变形时体积不变，εm =0，所以应变偏张量就是应变张量 如以应变主轴为坐标轴，同样可以作出八面体，八面体平面法线方向的线元的应变叫做八面体应变八面体应变 ε8=1/3(ε1+ε2+ε3)=εm=1/3I1塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析 将八面体剪应变γ 8乘以系数 ，所得之参量叫做等效等效应变应变，也称广义应变广义应变或应变强度应变强度。

塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析 前面我们讨论过的应变，都是反映单元体在某一变形过程或变形过程的某个阶段终了时的变形大小，所以叫做“全全量应变量应变”所谓应变增量应变增量就是变形过程中某一极短阶段的无限小应变通俗的说，以物体在变形过程中某瞬时的形状尺寸为原始状态，在此基础上发生的无限小应变就是应变增量应变增量的几何方程为：2.3 全量应变和应变增量的基本概念全量应变和应变增量的基本概念塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析应变速率张量应变速率张量将上式除以dt，等式左边的dεij /dt表示单位时间内的应变，叫做应变速率（分量），一般以 来表示，于是上式成为 或写成塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析 如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形，而在该平面的法线方向则没有变形，这种变形就叫做平面平面变形变形。

平面变形时，物体内与z轴垂直的平面始终不会倾斜扭曲，所以这种面上没有剪应力分量，即 ，z向必为应力主方向，σz即主应力σ3 塑性变形时，σz还必然 是σx和 σy的平均值如以应力主轴为坐标轴，则有式中 σ3=σ m=σ z =1/2(σ1+σ2 ) 2.4 平面变形问题平面变形问题塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析 采用圆柱坐标时，小变形几何方程为：轴对称状态的几何方程轴对称状态的几何方程塑性加工力学塑性加工力学 2 应变分析应变分析塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则3.1 有关材料性质的一些基本概念有关材料性质的一些基本概念3.2 屈雷斯加屈服准则（最大的应力不变条件屈雷斯加屈服准则（最大的应力不变条件））3.3 密席斯屈服准则（弹性形变能不变条件密席斯屈服准则（弹性形变能不变条件））3.4 屈服准则的几何表达屈服准则的几何表达-屈服轨迹和屈服表面屈服轨迹和屈服表面3.5 中间主应力的影响中间主应力的影响3.6 平面问题和轴对称问题中屈服准则的简化平面问题和轴对称问题中屈服准则的简化3.7 屈服准则的实验验证屈服准则的实验验证3.8 应变硬化材料的屈服准则应变硬化材料的屈服准则3 屈服准则屈服准则 引引 言言 质点处于单向应力状态时，只要单向应力达到屈服极限，该质点即行屈服，进入塑性状态在多向应力状态时，显然不能仅仅用某一个应力分量来判断质点是否进入塑性状态，必须同时考虑其他应力分量。

研究表明，只有当各应力分量之间符合一定的关系时，质点才进入塑性状态这种关系就叫屈服准则屈服准则，也称塑性条件塑性条件或塑性方程塑性方程 屈服准则的数学表达式是应力分量的函数，一般呈以下形式： f(σij)=C 式中C是与变形时的材料性质有关的常数，或者是一个与材料及应变历史有关的函数在整个塑性变形过程中，上述应力分量之间的关系应始终保持着，所以屈服准则是求解塑性问题的必要的补充方程3.1 有关材料性质的一些基本概念有关材料性质的一些基本概念塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则材料模型：“连续连续”：材料中没有空隙裂缝；“均质均质”：各质点性能相同；“各向同性各向同性”：材料在各个方向的性能都一样； “各向异性各向异性”： 材料在各个方向的性能不同；理想弹性材料：弹性变形时应力与应变完全成线性关系的材料；理想弹性材料：弹性变形时应力与应变完全成线性关系的材料；理想塑性材料：塑性变形时不产生硬化的材料；理想塑性材料：塑性变形时不产生硬化的材料；硬化材料：在塑性变形时要产生硬化的材料；硬化材料：在塑性变形时要产生硬化的材料；弹弹—塑性塑料：材料在塑性变形之前和过程中，存在弹性变形的材料；塑性塑料：材料在塑性变形之前和过程中，存在弹性变形的材料；刚塑性材料：刚塑性材料： 在塑性变形之前，材料象刚体一样不产生弹性变形在塑性变形之前，材料象刚体一样不产生弹性变形. （如图（如图3-1）） ：3.1 有关材料性质的一些基本概念有关材料性质的一些基本概念塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则材料模型材料模型3.1 有关材料性质的一些基本概念有关材料性质的一些基本概念塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则 屈雷斯加屈服准则表述如下：当材料（质点）中的最大剪应力达到某一定值时，材料就屈服。

或者说，材料处于塑性状态时，其最大剪应力始终是一不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关 屈雷斯加屈服准则表达式： | σσ1 1 – σσ3 3 |= σσs s 在事先不知道主应力的大小顺序时，屈雷斯加屈服准则的普通表达式应为：3.2 屈雷斯加屈服准则（最大的应力不变条件）屈雷斯加屈服准则（最大的应力不变条件）塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则 密席斯屈服准则可以表述为：当应力偏张量的第二不变量J2’达到某定值时，材料就会屈服 更为方便的表述方式是：当应力状态的等效应力达到某一与应力状态无关的定值时，材料就屈服；或者说，材料处于塑性状态时，等效应力始终是一不变的定值 密席斯屈服准则的表达式为： 3.3 密席斯屈服准则（弹性形变能不变条件）密席斯屈服准则（弹性形变能不变条件）塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则 密席斯屈服准则的物理意义：当材料的质点内单位体积的弹性形变能（即形状变化的能量）达到某临界值时，材料就屈服。

屈雷斯加屈服准则和密席斯屈服准则有一些共同的特点，这些特点对于各向同性理想塑性材料的屈服准则是有普遍意义的： （1）屈服准则的表达式都和坐标的选择无关，等式都是不变量的函数； （2）三个主应力可以相互置换而不影响屈服；同时，认为拉应力的压应力的作用是一样的； （3）各表达式都和应力球张量无关，实验证明，在通常的工作应力下，应力球张量对材料屈服的影响较小，可忽略不计如果应力球张量的三个分量是拉应力，那么球张量大到一定程度后材料就将脆断，不能发生塑性变形3.3 密席斯屈服准则（弹性形变能不变条件）密席斯屈服准则（弹性形变能不变条件）塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则 屈服准则的数学表达式可以用几何图形形象化地表示出来 在σ1 σ2 σ3坐标系中，屈服准则都是空间曲面叫做屈服表面屈服表面 如把屈服准则表示在各种平面坐标系中，则它们都是封闭曲线，叫做屈服轨迹屈服轨迹。

屈服表面和屈服轨迹是进一步分析屈服准则的有力工具3.4 屈服准则的几何表达屈服准则的几何表达——屈服轨迹和屈服表面屈服轨迹和屈服表面塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则一、两向应力状态的屈服轨迹一、两向应力状态的屈服轨迹以σ3=0代入上式，即可得到两向应力状态的密席斯屈服准则：同样，以σ3=0代入大上式，可得到两向应力状态的屈雷斯加屈服准则： 这是一个六边形，内接于密席斯椭圆（如图如图3-23-2）） 任一两向应力状态都可以用σ1 σ2平面上的一点P表示，并可用矢量OP来代表如P点在屈服轨迹的里面，则材料的质点处于弹性状态；如P点在轨迹上，则质点处于塑性状态；对于理想塑性材料，P点不可能在轨迹的外面 3.4 屈服准则的几何表达屈服准则的几何表达——屈服轨迹和屈服表面屈服轨迹和屈服表面塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则一、两向应力状态的屈服轨迹一、两向应力状态的屈服轨迹两向应力状态的密席斯屈服准则：两向应力状态的屈雷斯加屈服准则： 3.4 屈服准则的几何表达屈服准则的几何表达——屈服轨迹和屈服表面屈服轨迹和屈服表面塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则二、主应力空间中的屈服表面二、主应力空间中的屈服表面以主应力为坐标轴可以构成一个“主应力空间”，（如图图3-3-3 3））所示：3.4 屈服准则的几何表达屈服准则的几何表达——屈服轨迹和屈服表面屈服轨迹和屈服表面塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则二、主应力空间中的屈服表面二、主应力空间中的屈服表面3.4 屈服准则的几何表达屈服准则的几何表达——屈服轨迹和屈服表面屈服轨迹和屈服表面塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则二、主应力空间中的屈服表面二、主应力空间中的屈服表面3.4 屈服准则的几何表达屈服准则的几何表达——屈服轨迹和屈服表面屈服轨迹和屈服表面塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则三、三、ππ平面上的屈服轨迹平面上的屈服轨迹 在主应力空间中，通过原点并垂直于等倾线ON的平面叫做 ππ平面平面，它的方程是： σσ1 1 +σ+σ2 2+σ+σ3 3=0=0 π平面与两个屈服表面都垂直，故屈服表面在π平面上的投影是圆及其内接正六边形，这就是π平面上的屈服轨迹，（如图图3-4）。

主应力空间中代表应力状态的矢量在π平面上的投影OP即可代表应力偏张量 因此， π平面上的屈服轨迹能清楚地表示出屈服准则的性质 3.4 屈服准则的几何表达屈服准则的几何表达——屈服轨迹和屈服表面屈服轨迹和屈服表面塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则nππ平面上的屈服轨迹平面上的屈服轨迹3.4 屈服准则的几何表达屈服准则的几何表达——屈服轨迹和屈服表面屈服轨迹和屈服表面塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则 3.5 中间主应力的影响中间主应力的影响则屈雷斯加准则可写成： 密席斯准则可写成： 密席斯准则也可写成： 塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则 3.5 中间主应力的影响中间主应力的影响用中间两个小莫尔圆的半径之差与大圆半径的比值作为表征中间主应力变化的参数，用μσ表示，叫做罗代应力参数代入密席斯准则表达式，可写成： 塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则 3.5 中间主应力的影响中间主应力的影响塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则 3.5 中间主应力的影响中间主应力的影响这时，中间主应力σ2可以在σ2=σ1到σ2=σ3之间任意变化而不影响材料的屈服，但在密席斯准则中σ2是有影响的。

我们可以用中间两个小莫尔圆的半径之差与大圆半径的比值作为表征中间主应力变化的参数，用μσ表示，叫做罗代应力参数代入密席斯准则表达式，可写成：塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则 3.5 中间主应力的影响中间主应力的影响塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则 3.5 中中间间主主应应力力的的影影响响 3.5 中间主应力的影响中间主应力的影响如以符号K表示屈服时的最大剪应力，则于是，按屈雷斯加屈服准则，K=0.5σs ；按密席斯准则，K=(0.5～0.577)σs塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则 3.6 平面问题和轴对称问题中屈服准则的简化平面问题和轴对称问题中屈服准则的简化对于密席斯屈服准则，其通式是：(用圆柱坐标时，可将上式的下角标x、y换成r、θ。

塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则平面应力时，塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则平面变形时，故上式简化为:轴对称问题时， τrθ = τθz =0，，故以主应力表示的密席斯准则没有不同，简化为：在平面应力和平面应变时，屈雷斯加屈服准则可以直接用xy平面上的应力分量表示，而且两者的表达式是一样的：3.7 屈服准则的实验验证屈服准则的实验验证 实验验证的方法是多种多样的，最普遍的方法是用各种金属薄壁管承受复合载荷（例如拉伸与扭转、拉伸与弯曲或者拉伸与内压复合等） 大量试验表明，韧性金属材料的实验数据点大都很接近密席斯椭圆，因此，密席斯屈服准则是比较符合实际的但是，密席斯准则也存在一些误差，所以有的研究者进一步在屈服函数中、引入应力偏张量的第三不变量J’s对它进行修正，不过一般认为这样做的实际意义不大。

塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则3.8 应变硬化材料的屈服准则应变硬化材料的屈服准则 对于硬化材料，可以认为其初始屈服仍然服从理想塑性材料的屈服准则则材料硬化后，其屈服准则将发生变化，在变形过程中的每一时刻都将有一后继的瞬时屈服表面和屈服轨迹，这种后继屈服表面和轨迹，也称加载表面（轨迹） 各向同性硬化假说的要点：（1）材料在硬化后仍然保持各向同性；（2）硬化后屈服轨迹的中心位置和形状都不变，它们在π平 面上仍然是以原点为中心的对称封闭曲线，但其大小则 随变形的进行而不断的扩大 塑性加工力学塑性加工力学 3 屈服准则屈服准则 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系4.1 弹性应力应变关系弹性应力应变关系4.2 塑性变形时的应力应变关系的特点塑性变形时的应力应变关系的特点4.3 塑性变形的增量理论（流动理论塑性变形的增量理论（流动理论））4.4 塑性变形的全量理论（形变理论塑性变形的全量理论（形变理论））4.5 塑性应力应变关系的实验验证塑性应力应变关系的实验验证4.6 最大逸功原理最大逸功原理塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系引引 言言 本章则要讨论应力状态和应变状态之间的关系。

这种关系的数学表达式也称物理方程，它也是求解弹性或塑性问题的补充方程 对于理想弹性材料，应力与全量应变之间有确定的关系，这就是广义虎克定律 在塑性变形时，主要研究应力和应变增量或应变速率之间的关系这种关系叫做增量理论增量理论，也称流动理论，其中包括密席斯方程、塑性流动方程和劳斯方程等，前两者适应于理想刚塑性材料，后者适用于弹塑性材料 在小塑性变形时，在外载荷按比例增加等条件下，物体内的应力状态内容能够做到简单加载（各应力分量按比例增加），这时也可以建立起应力和全量应变之间的关系，这种关系叫全全理论量理论量，也叫形变理论塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系4.1 弹性应力应变关系弹性应力应变关系 一、广义虎克定律一、广义虎克定律 单向应力状态时的弹性应力应变关系就是熟知的虎克定律将它推广到一般应力状态时的各向同性材料，就叫广义虎克定律：E-弹性模数；υ-泊松比； G-剪切模数，G=E/2（1+ υ ）。

上式相加可得弹性体积变化和平均应力也即静水应力的关系塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系4.1 弹性应力应变关系弹性应力应变关系 塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系4.1 弹性应力应变关系弹性应力应变关系塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系同理同理4.1 弹性应力应变关系弹性应力应变关系塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系塑性变形时假设比例系数为未知塑性变形时假设比例系数为未知,并求之并求之. 广义虎克定律的张量表达式： 进行整理得： 屈服时的弹性变形能为,这就是密席斯屈服准则的物理意义。

二、弹性变形能二、弹性变形能 物体在外力作用下产生弹性变形，如物体保持平衡且无温度变化，则外力所做的功将全部转换成弹性势能单位体积中的弹性能等于各个对应的应力、应变分量乘积之和的一半，即: 塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系 4.2 塑性变形时的应力应变关系的特点塑性变形时的应力应变关系的特点 弹性应力应变关系具有如下特点：弹性应力应变关系具有如下特点：1）应力与应变成线形关系；2）由于弹性变形是可逆的，所以应力与应变之间是单值关系；3）应力主轴与应变主轴重合；4）应力球张量使物体产生弹性体积变化，所以泊松υ<0.5 塑性变形时全量应变与应力之间的关系则完全不同：塑性变形时全量应变与应力之间的关系则完全不同：1）塑性变形可以认为体积不变应变球张量为零，泊松比 υ =0.5；2）应力与应变之间的关系是非线性的；3）全量应变与应力的主轴不一定重合；4）塑性变形是不可恢复的，应力与应变之间没有一般的单 值关系，而是与加载历史或应变路线有关。

塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系4.3 塑性变形的增量理论（流动理论）塑性变形的增量理论（流动理论） 增量理论又称流动理论，是描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或应变速率之间关系的理论，它是针对加载过程中的每一瞬间的应力状态所确定的该瞬间的应变增量，这样就撇开了加载历史的影响 1. 列维列维-密席斯方程密席斯方程该理论包含以下假定：（1）材料是理想刚塑性材料，也即弹性应变增量为零，塑性应变增量就是总的应变增量2）材料符合密席斯屈服准则；（3）塑性变形时体积不变，即; 塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系 (4)应力主轴和应变增量的主轴重合； （5）应变增量和应力偏张量成正比，即;式中dλ为瞬时的非负比例系数，它在变形过程中是变化的， 但在卸载时，dλ=0λ=0。

上式就是密席斯方程的关键性的表达式1/2就是体积不变时的泊松比塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系 塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系 2. 应力应力-应变速率方程（圣维南塑性流动方程）应变速率方程（圣维南塑性流动方程） 由dεεijij/dt/dt= σ′σ′ij ij dλ/dtλ/dt可得应力-应变速率方程也可以写成 : :塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系 3. 普郎特普郎特-劳斯方程劳斯方程 :分析上式可知，如dεi j为已知，则应力张量σσijij是确定的，但对于理想塑性材料，仍然不能由σσijij求得确定的dεi j值。

对于硬化材料，变形过程每瞬时的dλλ是定植，因此，劳斯方程中的dεi j和σσijij之间完全是单值关系 塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系4.4 塑性变形的全量理论（形变理论）塑性变形的全量理论（形变理论） 在简单加载时，也即各应力分量按同一比例增加时，应力主轴的方向将固定不变由于应变增量的主轴是和应力重合的，所以它的主轴也将始终不变，这种变形也称简单变形在这种条件下，可以对劳斯方程进行积分得到全量应变和应力之间的关系，叫做全量理论全量理论 所以得到以下的汉基方程和全量方程：塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系平面变形时平面变形时, 塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系 在上述各种理论中，劳斯方程是普遍适应的，在弹性变形可以忽略的情况下，密席斯方程和塑性流动方程也是普遍适应的。

它们也可以推广到硬化材料 在塑性成形中由于难以保证简单加载，所以一般都采用增量理论其中主要是密席斯方程或流动方程但应指出，塑性成形理论中很重要的问题之一是求变形力，这时一般只须研究变形过程中某一特定瞬间的极其短暂的变形，如果我们以变形体在该瞬时的形状、尺寸及性能作为原始状态，那么小变形全量理论和增量理论可以认为是一致的塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系4.5 塑性应力应变关系的实验验证塑性应力应变关系的实验验证 罗代于1962年最早用试验来验证塑性应力应变关系他引入了应力参数 和应变参数 按前述增量理论，有如下关系： 由此可得，这一关系可用试验方法来验证塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系4.6 最大散逸功原理最大散逸功原理 由前面可知，一种应力状态σσijij可以用主应力空间中的矢量来表示，塑性变形时，该矢量的端点一定在屈服表面上。

同样，应变增量dεdεijij也可以用主应变空间里的矢量来表示由于应变增量的主轴与应力主轴是重合的，故它们可以画在同一主轴空间内于是我们得到下面的公式： 对上式可做如下的表述：对于一定的应变增量场而言，在所有符合屈服准则的应力场中，与该应变增量场符合应力应变关系的应力场所做的塑性功最大塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系 如果与σσ*’*’ijij符合应力应变关系的应变增量场为dεdε* *ijij的矢量也必然垂直于矢量σσ*’*’ijij量端点处的屈服轨迹将此原理应用于实际变形设为真实应变增量场，则真实应力场必然与 符合应力应变关系，于是它们所做的塑性功，相对于虚拟的或可能的应力场而言，总是最大的 也就是说，由于屈服准则的限制，物体在塑性变形时,总是要导致最大的能量散逸（或能量消耗）因此，上述原理就叫最大散逸功原理最大散逸功原理塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系 例题1.有一薄壁管，材料的屈服应力为σs ，承受拉力和扭矩的联合作用而屈服。

现已知轴向正应力分量σz =σs /2,试求剪应力以及应变增量各分量之间的比值 解：薄壁管拉扭属平面应力状态塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系当当时，时，为拉应变；为拉应变；时，时，为压应变；为压应变；时，时，为平面应变状态为平面应变状态当当当当应变与应力顺序的对应关系应变与应力顺序的对应关系 塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系应变与应力顺序的对应关系应变与应力顺序的对应关系 塑性变形应力与应变关系塑性变形应力与应变关系 塑性加工力学塑性加工力学 4 塑性应力塑性应力-应变关系应变关系塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用n5 5 塑性成型问题的主应力法塑性成型问题的主应力法n6 6 塑性成型问题的滑移线法塑性成型问题的滑移线法n7 7 塑性成型问题的上限法塑性成型问题的上限法n8 8 功平衡法功平衡法 5.1 平衡微分方程和塑性条件联立平衡微分方程和塑性条件联立求解求解 的数学解析的数学解析法法 5.2 主应力法主应力法（切块法）（切块法） 5.3 镦粗的变形特点和力能计算镦粗的变形特点和力能计算 5.4 受内压厚壁简筒进入塑性状态受内压厚壁简筒进入塑性状态时的时的 极限应力极限应力 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法 5.1 平衡微分方程和塑性条件联立求解的数学解析平衡微分方程和塑性条件联立求解的数学解析法法 这种方法是将平衡微分方程和塑性条件进行联解，以求出物体塑性变形时的应力分布，进而求得变形力。

在联解过程中，积分常数根据自由表面和接触表面上的边界条件确定必要时还须利用应力与应变的关系式和变形连续方程 由平面问题的平衡微分方程可得：（如图如图5-1））塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法(1)式减去(2)式平面变形时塑性变形条件(Mises条件):塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法 将塑性条件代入将塑性条件代入(3)式式,得到得到: 设剪应力与设剪应力与y有关有关,与与x无关无关,由式由式(5)得到得到:积分得到:塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法代入式(1):积分得到:塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法代入:整理得到:塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法对于任意的y值,只有当左右端等于常数时此式成立:上式代入:得到:塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法 5.1 平衡微分方程和塑性条件联立求解的数学解析平衡微分方程和塑性条件联立求解的数学解析法法 这种方法是将平衡微分方程和塑性条件进行联解，以求出物体塑性变形时的应力分布，进而求得变形力。

在联解过程中，积分常数根据自由表面和接触表面上的边界条件确定必要时还须利用应力与应变的关系式和变形连续方程 由平面问题的平衡微分方程可得：（如图如图5-1））塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法 这是一种近似的解析法，将简化的平衡微分方程（也称近似屈服方程或近似塑性条件）和屈服方程联立求解，并利用应力边界条件确定积分常数，以求得接触面上的应力分布，进而求得变形力等，这就是主应力法由于简化的平衡微分方程和屈服方程实质上都是以主应力表示的，故此得名又因为这种解法是从切取基元体或基元板块着手的，故也形象地称为“切块法”塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法5.2 主应力主应力法（切块法）法（切块法）二、主应力法的实质二、主应力法的实质 主应力法的实质是将应力平衡微分方程和屈服方程联立求解。

它通过对物体应力状态所作的一些简化假设，建立以主应力表示的简化平衡方程和塑性条件，然后联解，求得接触面上的应力大小和分布基本要点如下：1. 根据金属流动方向，沿变形体整个截面切取基元体，切面上的正应力假定为主应力，且均匀分布，由此建立的该基元体的平衡方程，为一常微分方程 σσ x x- -σσ y y=2K (=2K (当当σσ x x- -σσ y y) )2.在列出该基元体的塑性条件时，通常假定接触面上的正应力为主应力，即忽略了摩擦应力的影响，从而使塑性条件简化把问题简化为平面问题或轴对称问题塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法（一）平行砧板间平面应变镦粗（一）平行砧板间平面应变镦粗型型（（如图如图5-2a））表示平行砧板间的平面应变镦粗，摩擦条件为： 对图中基元板块（设长为l）列平衡方程式塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法列平衡方程式:(应力取代数值)塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法列平衡方程式:(应力取代数值)积分得到:塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法积分得到:塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法当摩擦条件:塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法列平衡方程式:(应力取绝对值)塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法列平衡方程式:(应力取绝对值)积分得到:塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法（二）平面应变纵向流动（挤压形）（二）平面应变纵向流动（挤压形） 根据金属流动情况可知,σx 的绝对值必定大于σy的绝对值，近似塑性条件应为 若y = ye处为自由表面，则 ， 于是当y = 0时，单位流动压力塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法（三）轴对称横向流动（三）轴对称横向流动图图5-3是平行砧板间的轴对称镦粗。

设 ，对图中基元板块列平衡方程式得 则上式简化为塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法（三）轴对称横向流动（三）轴对称横向流动按绝对值列简化方程最后得塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法5.3 镦粗的变形特点和力能计算镦粗的变形特点和力能计算 镦粗是指用压力使坯料高度减小而直径（或横向尺寸）增大的工序镦粗的变形特点：（一）镦粗时的金属流动 各向同性的棱柱体在无摩擦的平行压板间进行镦粗，则变形前的直棱和平面在变形后仍是直棱和平面，而且俯视图上的外形保持相似，这样的变形称为均匀镦粗在塑性成形中，当金属质点有向几个方向移动的可能时，它向阻力最小的方向移动。

这是最小阻力定律最小阻力定律它可以定性的确定金属质点的流动方向因为接触面上质点向自由表面流动的摩擦阻力和质点离自由表面的距离成正比，因此距离自由边界愈短，阻力愈小，金属必然向这个方向流动塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法5.3 镦粗的变形特点和力能计算镦粗的变形特点和力能计算塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法（二）圆柱体镦粗时的不均匀变形 镦粗时毛坯外形要发生畸变，镦粗时毛坯外形的畸变是与内部变形的不均匀性相对应的为了便于分析研究，常将整个剖面分为三个变形区来考虑难变形区—和上、下压头相接触的区域；大变形区：是处于上、下两个难变形锥体之间的部分（外围层除外）；外侧的筒形区部分，称小变形区三）镦粗时的附加应力 镦粗变形的不均匀，会在金属各部分之间产生一种相互平衡的内力，称为附加应力。

如图如图5-4 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法 如图如图5-4 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法圆柱体镦粗时的变形力圆柱体镦粗时的变形力 接触面上的应力分布规律 实验结果表明，当d/h较大时，τ的分布曲线可大致分为三段（图图5-5a）：第一段(ab)的τ与正应力成正比例增加，相对应的接触表面部分称为滑动区；第二段(bc)的τ达到最大值且保持常数，相对应的接触表面部分称为制动区；第三段(co)的τ由最大值递减至零，相对应的接触表面部分称为停滞区，停滞区的半径近似等于试样高度可求出各区正应力分布塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法圆柱体镦粗时的变形力圆柱体镦粗时的变形力--- 接触面上的应力分布规律 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法圆柱体镦粗时的变形力圆柱体镦粗时的变形力塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法得到近似平衡方程得到近似平衡方程:塑性条件为塑性条件为:积分得到积分得到:滑动区摩擦条件代入得到滑动区摩擦条件代入得到:塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法当r=rb时,对于制动区,当r=rb时,塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法受内压厚壁筒进入塑性状态时极限压力受内压厚壁筒进入塑性状态时极限压力塑性条件塑性条件塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法受内压厚壁筒进入塑性状态时极限压力受内压厚壁筒进入塑性状态时极限压力塑性条件塑性条件受内压厚壁筒进入塑性状态时极限压力受内压厚壁筒进入塑性状态时极限压力塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法板料拉延板料拉延塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法板料拉延板料拉延塑性条件塑性条件积分得到积分得到:塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 5 主应力解法主应力解法板料拉延板料拉延6.1 滑移线的基本概念滑移线的基本概念 塑性变形体内各点最大剪应力的轨迹为滑移线。

由于最大剪应力成对正交，因此滑移线在变形体内成两族互相正交的线网，组成所谓滑移线场 滑移线法就是针对具体的变形工序或变形过程，建立滑移线场，然后利用其某些特性，来求解塑性成形问题，如确定变形体内的应力分布、计算变形力、分析变形和决定毛坯的合理外形、尺寸等 由于塑性变形体（或变形区）内每一点都能找到一对正交的最大剪应力方向，将无限接近的最大剪应力方向连接起来，即得两族正交的曲线，线上任一点的切线方向即为该点最大剪应力方向此两族正交的曲线称为滑移线，其中一族叫α族，另一族叫β族，它们布满于塑性区，形成滑移线场 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法平面变形时平面变形时, 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法最大剪应力: 最大剪应力平面上的正应力: 主应力可以表示成平均应力和最大剪应力K的表达式: 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法为了区别两族滑移线，通常采用下述规则：若α与β线形成一右手坐标系的轴，则代数值最大的主应力的作用线位于第一与第三象限。

显然，此时α线两旁的最大剪应力组成顺时针方向，而β线两旁的最大剪应力组成逆时针方向α线的切线方向与ox轴为w角的度量起始线，逆时针旋转形成的w角为正值，顺时针旋转形成的w角为负值滑移线的微分方程为： α与与β线确定原则线确定原则:塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法若α与β线形成一右手坐标系的轴，则代数值最大的主应力的作用线位于第一与第三象限α线的切线方向与ox轴为w角的度量起始线，逆时针旋转形成的w角为正值，顺时针旋转形成的w角为负值塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.1 滑移线的基本概念滑移线的基本概念塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.2 汉汉基（基（Hencky））应力方程应力方程 上述已知，平面塑性应变状态下的应力分量完全可由σm和K来表示，而K为材料常数，故只要能找到沿滑移线上的σm的变化规律，即可求得整个变形体（或变形区）的应力分布。

这就是应用滑移线法求解平面问题的实质 汉基应力方程给出了滑移线场内平均应力的变化与滑移线转角的关系式其推导过程如下 已知平面应变时的平衡方程为塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法X轴和轴和y轴设在滑移线上轴设在滑移线上,则则:塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.2 汉汉基（基（Hencky））应力方程应力方程塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.2 汉汉基（基（Hencky））应力方程应力方程如果以上两式分别沿滑移线积分如果以上两式分别沿滑移线积分,则则则汉基（则汉基（Hencky）应力方程）应力方程塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 滑移线法解题步骤滑移线法解题步骤:: 1 建立滑移线场建立滑移线场,确定确定x,y坐标轴坐标轴:2 在自由表面取一点,分析应力状态:3 确定平均应力确定平均应力,确定滑移线及与确定滑移线及与x轴夹角轴夹角:塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 滑移线法解题步骤滑移线法解题步骤:4 应用汉基（汉基（Hencky）应力方程求未知点的平均应力）应力方程求未知点的平均应力:5 求未知点的应力分量求未知点的应力分量:塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法汉基积分或汉基方程为： （沿（沿α线）线） （沿（沿β线）线）汉当沿α族（（或β族））中同一条滑移线移动时，任意函数ξ（（或或η））为常数，只有从一条滑移线转到另一条时， ξ（（或或η））值才变。

由汉基积分可以推出，沿同一滑移线上平均应力的变化，与滑移线的转角成正比，比例常数为2K即为：即式中(ωa- ωb)表示从点a过渡到点b沿滑移线的转角，而σma- σmb表示相应点间平均应力的变化此式指出了滑移线上平均应力的变化规律当滑移线的转角愈大时，平均应力的变化愈大若滑移线为直线，即转角为零，则各点的平均应力相等6.2 汉汉基（基（Hencky））应力方程应力方程塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.3 滑移线的几何性质滑移线的几何性质（（一）汉基第一定理一）汉基第一定理 在同一族的两条滑移线（例如α1和α2线）与另一族的任一条滑移线（ β1或β2线）的两个交点上，其切线夹角 与平均应力的变化均保持常数 在图6-4中，由α族的α1转到α2时，则沿β族的β1 、β2 ，有 Δ ω =ω2，1 -ω1，1=ω2，2 -ω1，2 =…=常数 Δ σm=σm2，1 -σm1，1=σm2，2 -σm1，2=…=常数 若单元网格三个结点上的σm 、ω值就可求出塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 （二）汉基第一定理（二）汉基第一定理 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 （二）汉基第一定理（二）汉基第一定理 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 （二）汉基第一定理（二）汉基第一定理 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 （二）汉基第一定理（二）汉基第一定理 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法推论推论1 若塑性区的滑移线场为正交直线族，此时Δω1 = Δω2 =· · · =0 ， ξ1= ξ2= · · · , η1= η2= · · ·，则该塑性区内各点之 σm 、σx 、σy 、τxy必为常数。

这种应力场称为均匀应力场均匀应力场 推论推论2 如果β族（或α族）滑移线的某一线段是直线，则被α族（或β族）滑移线所截割的β族（或α族）的相应线段都是直线如图如图6-1））所示，若A1B1为直线段，此时该线段与另一族滑移线在交点处切线的夹角Δω1为零，按汉基第一定理，与线段A2B2相应之Δω2亦必为零，故A2B2必为直线如此类推A3B3 · · ·亦必为直线在这种区域内，沿同一条β线上ω值不变，故σm 、σx 、σy 、τxy亦不变但沿同一条α线上ω值将改变，故各应力分量亦随之改变这种应力场称为简单应力场简单应力场塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 （二）汉基第一定理（二）汉基第一定理 （如图如图6-1））（如图如图6-2））塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 （二）汉（二）汉基基第二定理第二定理 沿一族的某一滑移线移动，则另一族滑移线在与该线交点处的曲率半径的变化，等于沿该线移动所经过的距离，即其中 是 α（或β)线被两条β(或α）线所截的微分弧长。

推论推论 若应力分量对α （或β ）的导数在通过β （ 或α ）线时发生间断（不连续），则α （或β ）在通过β （或α ）线外的曲率也将发生间断塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 应力边界条件就是当滑移线延至塑性区边界时应满足的受力条件在塑性加工中，应力边界条件可有以下四种：（一）不受力的自由表面（一）不受力的自由表面 分析自由表面上的一点应力状态分析自由表面上的一点应力状态 时，此时存在两种情况： 1. σ1=2K； σ3=0（见图见图6-2(a)） 2. σ1=0； σ3=-2K（见图见图6-2(b)） 所以 cos2ω =0，ω =± 45°这说明两族滑移线与自由表面相交成45º角按前述区别α族和β族的规则，若σ1 =2K ，则α和β线如图6-9a）所示，若σ1 =-2K ，则α和β线如图6-9b）所示。

6.4 塑性区的应力边界塑性区的应力边界塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.4 塑性区的应力边界塑性区的应力边界塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.4 塑性区的应力边界塑性区的应力边界塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.4 塑性区的应力边界塑性区的应力边界塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.4 塑性区的应力边界塑性区的应力边界塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法（（二）无摩擦的接触表面二）无摩擦的接触表面 与不受力的自由表面情况一样， ，两族滑移线与接触表面相交成45º角。

按前述区别α族和β族的规则，若垂直于接触表面的主应力为代数值最小的主应力，则α和β线如（图图6-3））所示三）摩擦剪应力达到最大值（三）摩擦剪应力达到最大值K的接触表面的接触表面由于τxy=±K 所以cos2ω=±1, 2ω=0和π，或ω=0和π/2接触表面处的α和β线（如图图6-4））所示四）摩擦剪应力为某一中间值的接触表面（四）摩擦剪应力为某一中间值的接触表面 （（如图图6-5)所示塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.5 常见滑移线场的类型常见滑移线场的类型常见的滑移线场有以下几种类型：1.两族正交直线代表均匀的应力状态图图6-6a）2.一族滑移线为直线（设为β族），另一族为与直线正交的曲线（设为α族），这类滑移线场称为简单场图图6-6b）为包络线；（图图6-6c）为中心场；3.由两族相互正交的光滑曲线构成的滑移线场（1）当圆形截面为自由表面或其作用有均布的法向酝酿公里时，滑移线场为正交的对数螺旋线网（图（图6-6c））。

2）粗糙平行刚性板间塑性压缩时，相应于接触表面上摩擦剪应力达到最大值的那一段，滑移线场为正交的圆摆线（图图6-6f）3）两个等半径圆弧多构成的滑移线场（图图6-6g），常称为有心扇形场 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.5 常见滑移线场的类型常见滑移线场的类型塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.6 滑移线场的建立滑移线场的建立 用滑移线法求解塑性成形问题，首先需要建立变形体内的滑移线建立滑移线的方法有两种：数学解析法和分析推理法一）数学解析法 两族特征线与两族滑移线相重合，数学 上的特征线就是滑移线（二）分析推理法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.3 格林盖尔速度方程格林盖尔速度方程若沿着滑移线网格取微元体，且分别以滑移线α、β的切线代替x、y轴，则有塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法格林盖尔速度方程格林盖尔速度方程 格林盖尔速度方程给出了沿滑移线上速度分量的变化特性。

用此方程可以求解速度场，以便用来分析塑性区内的位移和应变问题，以及必要时校核滑移线是否全部满足应力和速度边界根据增量理论可有这说明沿滑移线的线应变速率等于零，也即沿滑移线方向不产生相对伸长或压缩基于这样的概念可导出速度方程式 设P点的速度为V，沿x、y轴的速度分量为 、，沿滑移线α、β的切线方向的速度分量为Vα 、V β ，ω( (见图见图6-6-4)4)于是 从而可推导出下面的沿滑移线的速度方程式：塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法Green速度方程速度方程:x,y坐标设在滑移线方向上时:塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.8 关于速度间断的概念关于速度间断的概念 在刚塑性体中，由于忽略材料的弹性变形，速度分布会有不连续现象，即塑性区与刚性区之间或塑性区内相邻两区域之间可能有相对滑动，即速度发生 跳跃，此现象称速度不连续，或称速度间断速度间断。

例如刚性区与塑性区的交界，由刚性运动转变为塑性变形，虽然应力状态是连续的，但在交界处存在相对滑动，即产生速度不连续，此分界线称为速度间断线由于材料的不连续性和不可压缩的要求，速度间断线两侧的法向速度分量必须相等（连续），否则将出现裂缝或者重叠，而切向速度分量可以产生间断塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法图图6-8示出一间断线上的一点A，该线的两边分别用符号“+”和“-”表示在“+”边，A点速度为VA+，法向速度和切向速度分量分别为Vα+和V β+ ，而在“-”边，则分别为VA-Vα-和V β- △Vβ即为沿β线的速度间断值上式表明，沿同一条速度间断线（ α或β线）的速度间断值为定值塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.9 速度速度矢端图矢端图 将滑移线上的各点的速度分布表示在速度平面上。

在速度平面上以坐标原点为极点，将塑性流动平面内位于同一条滑移上各点的速度矢量按同一比例均由极点绘出，然后依次连接个速度矢量的端点，只要各点取得足够近，则会形成一条曲线该曲线称为所研究的那条滑移线上各点的速度失端曲线如图6-9），通过分析可以看出，滑移线和速度平面上的速度失端曲线在相应点上彼此垂直由于两族滑移线彼此正交，故它们的速度失端曲线也必然彼此正交塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法6.9 速度速度矢端图矢端图塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 （图（图6-10））为光滑平面挤压 时的滑移 线场，现根据该滑移线场绘制速端图 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 假设冲头地面光滑，接触面上摩擦剪应力为零，故沿AB边界上仅作用有均布的主应力。

AD为自由边界，且为平面根据滑移线的特性可做出（如图如图6-6））所示的滑移线场 下面求单位流动压应力p在AD边界上: 在AO边界上:实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法汉基应力方程汉基应力方程 从从D D到到O O是在是在ββ线上，线上，实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法应力分量：Δ AoG区：区： 实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法滑移线场滑移线场:实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法ΔΔ AOG AOG区区 : :ΔΔ ADF ADF区区 : :AFGAFG区区( (沿沿ββ线）线）: :滑移线场滑移线场:实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法ΔΔ ABC ABC区区 : :ΔΔ AGH AGH区区 : :ACGACG区区( (沿沿ββ线）线）: :另外一种形式滑移线场另外一种形式滑移线场:实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力实例１．平面冲头压入半无限体时的单位流动压力塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法实例２　长条形锻件的开式模锻力实例２　长条形锻件的开式模锻力 长条形锻件开式模锻属平面应变问题。

锻件本体横断面内的滑移线场（如图如图6-12））所示这是由飞边入口处A、B、C、D四角上的有心扇形场组成的由于四个有心扇形场是对称的，因而只需研究四分之一即可其放大图形（如图如图6-13））所示塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法实例２　长条形锻件的开式模锻力实例２　长条形锻件的开式模锻力 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 为确定变形力，必须求出滑移线场各节点的应力在此有心扇形场中，设飞边处无摩擦阻力，则F点的x方向应力为0, y方向应力为-2K,则F点的平均应力为-K.因此根据判别α线和β线的法则，因σx,F =0是最大主应力，所以AF半径方向是α族，FJ弧是β族于是根据汉基应力方程即可确定此有心扇形场各节点的应力塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法实例２　长条形锻件的开式模锻力实例２　长条形锻件的开式模锻力  在在(0,0)(0,0)点点, ,即即F F点点: :塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 在在(0,1)(0,1)点点: : 沿沿ββ线线: :实例２　长条形锻件的开式模锻力实例２　长条形锻件的开式模锻力 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 在在(0,1)(0,1)点点: :实例２　长条形锻件的开式模锻力实例２　长条形锻件的开式模锻力 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法实例２　长条形锻件的开式模锻力实例２　长条形锻件的开式模锻力 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法实例２　长条形锻件的开式模锻力实例２　长条形锻件的开式模锻力 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法实例２　长条形锻件的开式模锻力实例２　长条形锻件的开式模锻力 实例实例3. 正挤压时的变形力和速度场正挤压时的变形力和速度场 设冲头推动坯料的速度为Vo，塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法在AB边界上:在AO边界上:实例实例3. 正挤压正挤压-平面变形平面变形塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法汉基应力方程汉基应力方程: 从从D D到到O O是在是在αα线上，线上，实例实例3. 正挤压正挤压-平面变形平面变形塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法正挤压时的变形力和速度场正挤压时的变形力和速度场 设冲头推动坯料的速度为Vo，它沿滑移线BFO的刚性区一侧的两个速度分量分别为（见图见图6-14） Vα-=V0cosω Vβ- =-V0sinω (沿β线的负方向)由于β族为直线则可写出：d Vβ =0;Vβ =C 常数C可由法线速度连续的条件求得 C=Vβ =-Vαsinω 故 Vβ =-Vαsinω α族为圆弧，可写出 d Vα =-V0sinω dω Vα =V0cosω + C当ω =45°时，Vα =0（因为ΔABC为死区），故C=-V01/1.414最后得 Vα =V0( cos ω –1/1.414)实例实例3. 正挤压正挤压-平面变形平面变形塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法实例实例3. 正挤压正挤压-平面变形平面变形塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 (图图6-15)是压缩比为50%的反挤压示意图。

分析可知OC、OB等半径线属α线，弧BC属β线OB、OC等滑移线上的应力是相同的边界OB上的应力为已知实例４　反挤压－平面变形实例４　反挤压－平面变形塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法反挤压时的变形力和速度场反挤压时的变形力和速度场实例４　反挤压－平面变形实例４　反挤压－平面变形塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法在CO边界上:在BO边界上:实例４　反挤压－平面变形实例４　反挤压－平面变形塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法汉基应力方程汉基应力方程: 从从D D到到O O是在是在ββ线上，线上，实例４　反挤压－平面变形实例４　反挤压－平面变形塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法已知厚壁圆外径已知厚壁圆外径D=2bD=2b，内径，内径d=2ad=2a，材料屈服应力为，材料屈服应力为2K, 2K, ，求圆，求圆筒整个剖面达到塑性变形时所需内压力。

筒整个剖面达到塑性变形时所需内压力 实例５　　厚壁圆筒受内压．实例５　　厚壁圆筒受内压．塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法实例５　　厚壁圆筒受内压．实例５　　厚壁圆筒受内压．塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法在B点上: 在A点上:在A到B点, α线上:实例５　　厚壁圆筒受内压．实例５　　厚壁圆筒受内压．塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法在A点上:实例５　　厚壁圆筒受内压．实例５　　厚壁圆筒受内压．塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法实例６　　板料拉延实例６　　板料拉延 图图6-16 表示圆筒件拉延，根据滑移线与主应力轨迹成45 °交角的特性，可写出滑移线方程式： d r/rdθ =tg45°=1.塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法实例６　　板料拉延实例６　　板料拉延 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法在B点上: 在A点上:在A到B点, β线上:实例６　　板料拉延实例６　　板料拉延 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法在A点上:实例６　　板料拉延实例６　　板料拉延 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法实例６　　板料拉延实例６　　板料拉延 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 6 滑移线法滑移线法 12 上限法上限法 12.1 上限法原理上限法原理 12.2 上限法的应用上限法的应用 12.3 应用举例应用举例塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 7 上限法上限法12.1 上限法原理上限法原理 上限法所确定的载荷，总是大于或等于真实载荷。

由于上限法所确定的载荷，能确保塑性变形的发生上限法的力学基础是虚功原理 用上限法计算极限载荷的关键在于要对塑性变形区分别虚设若干个运动许可的速度场 这些速度场应满足以下三个条件（1）符合位移边界条件；（2）在变形区内保持连续，不产生重叠和拉开；（3）保持体积不变 上限法原理如下： 由与任意虚设的运动许可速度场 相对应的表面力 在位移面上所作的功率总是大于（或等于）真实表面力Ti在真实速度场ui情况下所作的功率计算公式如下：塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 7 上限法上限法 用上限法计算极限若一作用有外力的变形题处在平衡状态，而在任何方向给物体一个微小虚位移（可能位移），则这时外力在虚位移上所作的虚功必等于物体内应力在虚变形上所作的虚功（虚应变能） 现在设有一位移增量场，它只满足Su上的边界条件（即在Su上， ）及体积不变条件，而所对应的 不一定满足平衡微分方程。

这种位移增量场称为运动学许可的位移增量场上限法就是要证明，在Su上，与任一运动学许可位移增量场相对应之表面力 所作的功增量，总是大于或等于真实表面力Ti所作的功增量可写出在运动许可速度场条件下的虚功方程塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 7 上限法上限法根据能量守恒原则，有如下关系：塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 7 上限法上限法根据最大散逸功原理，则可得到位移面上表面力在给定速度下所作的真实功率假想速度场条件 下消耗的虚变形功率；若干速度间断面上的虚剪切功率；力面上克服外力所作的虚功率力面上克服外力所作的虚功率: :一般在塑性加工中，力面通常为自由表面，即Ti=0,于是12.2 上限法的应用上限法的应用一、平面变形问题 用上限法求解平面变形问题时，由于作了较大程度的简化，因而方法比较简洁，运算也较方便平面变形问题中的塑性变形可以由刚性块通过速度间断面的相对剪切而形成，这样平面应变时的上限原理表达式就变为 于是得到下面的求平面应变问题上限载荷的依据：二、轴对称问题 在求解轴对称问题时，认为变形体的速度场是连续的，塑性功全部耗散在物体内部的连续变形和接触表面可能的摩擦上，即直接使用公式：塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 7 上限法上限法平面变形正挤压平面变形正挤压 假设坯料与模具接触面上无摩擦，变形区参考滑移线场设计成由四个刚性三角型组成（见图（见图7-1a））。

假设最大的塑性变形区长度为x，模具主要尺寸见图因为模具进出口尺寸之比为 ，所以出口速度 由于对称，速断图仅画出上半部分（图（图7-1b））下面先写出各速度间断线的长度塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 7 上限法上限法平面变形正挤压平面变形正挤压 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 7 上限法上限法在根据速端图和分块模式的相似性写出各间断速度将以上各式代入下式可得最后得单位流动压力塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 7 上限法上限法实用举例实用举例: 平面变形正挤压平面变形正挤压 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 7 上限法上限法平面变形正挤压平面变形正挤压 塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 7 上限法上限法7.3 实用举例实用举例(平面平面冲头压入半无限体) 设冲头速度为 ，令 ，其速端图（如图如图7-2b））所示单位流动压力为已知速度断面上的剪应力为K，于是塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 7 上限法上限法塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 7 上限法上限法13.1 基本概念基本概念 功平衡法是根据能量守恒定律求变形力的一种方法，它和虚功原理相类似。

功平衡法原理如下：塑性变形时，外力沿其位移方向所作的功Wo等于物体塑性变形功Wp和外摩擦所消耗功Wf之和若从瞬态来考虑，上述原理可写成增量表达式 dW0=d Wp+dWf dWp=（σ1d+σ2 d+σ3d）d V1.塑性变形功增量dWp，设在某一瞬时，塑性变形体中的一基元体（体积为dV）的主应力状态为σ1,σ2和σ3 ,体在此应力作用下产生的主应变增量为dε1 ， dε2和dε3，则该基元体所消耗的塑性变形功增量 dWp=∫dWv=∫vσdεdV=S∫vσdεdV塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 7 上限法上限法13.1 基本概念基本概念 2.外摩擦所消耗的功增量dWf 式中τ ——接触面F上的摩擦应力； duf——τ方向上的位移增量 dW0=dWf+dWf 3.由外力所作功 P*du0=dW0 ,可求出外力 式中P——外力； duo——外力在作用力方向上的位移增量。

如图如图13-1））所示所示 dWp=(σ1dε1+σ2dε2 +σ3dε3)dV塑性加工理论及应用塑性加工理论及应用 7 上限法上限法电影动画显示——塑性变形过程ForgingUpsettingExtrusion1Extrusion2StampingHydroformingHydroforming1Thank You!28th May 2004。