高中数学学习资料金戈铁骑整理制作2.2.3椭圆习题课一、选择题1．已知椭圆的焦点是F1，F2是椭圆上的一个动点，若是延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线[答案]A[剖析]∵|PF1|＋|PF2|＝2a，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a，∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．应选A.2．若是方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A．(0,1)B．(1,2)C．(0,2)D．(0,1][答案]Ax2y2[剖析]椭圆方程化为2＋2＝1.k2焦点在y轴上，则k>2，即k<1.又k>0，∴0b>0)的一个焦点，PQ是过其中心的一条弦，且c＝a2－b2，则△PQF面积的最大值是()1A.2abB．abC．acD．bc[答案]D[剖析]设它的另一个焦点为F′，则|F′O|＝|FO|，|PO|＝|QO|，FPF′Q为平行四边形．△＝1′＝S△′，则当P为椭圆短轴端点时，P到FF′距离最大，此时S△′SPQF2SPFQFPFFPFF最大为bc.即 (S△PQF)max＝bc.5．椭圆x2＋y2＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上．若是线段PF1的中点在y轴上，123那么|PF1|是|PF2|的()A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍[答案]A33，由椭圆定义知[剖析]不如设F1(－3,0)，F2(3,0)，由条件知P(3，±2)，即|PF2|＝2|PF1|＋|PF2|＝2a＝43，|PF1|＝73，|PF2|＝3，即|PF1|＝7|PF2|.226．设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是()3 7πA.0，4π∪4，2ππ3πB. 2，4π 3πC. 2，43π3πD. 4，2[答案]C[剖析]将方程变形为：x2＋y2＝1.1－1sinαcosα1>0sinα∴1，∴sinα>－cosα>0.>0－cosα11|cosα|.7．已知椭圆x2＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是169一个直角三角形的三个极点，则点P到x轴的距离为()9B．3A.5979C.7D.4[答案]D[剖析]a2＝16，b2＝9?c2＝7?c＝7.∵△PF1F2为直角三角形．∴P是横坐标为±7的椭圆上的点．(点P不可以能为直角极点)设 P(±7，|y|)，把x＝±7代入椭圆方程，知7＋y22819.＝1?y＝?|y|＝16916422x2y2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F为8．(2009江·西)过椭圆a＋b2右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()2B.3A.231D.1C.23[答案]B[剖析]观察椭圆的性质及三角形中的边角关系运算．b2把x＝－c代入椭圆方程可得yc＝±，ab 2∴ |PF1|＝a22b∴|PF2|＝a，23b22故|PF1|＋|PF2|＝a＝2a，即3b＝2a又∵a2＝b2＋c2，∴3(a2－c2)＝2a2，∴(c)2＝1，即e＝3.a339．(2009山·东威海)椭圆x2＋y3＝1上有n个不同样的点P1、P2、、Pn，椭圆的右焦点为431F，数列{|PnF|}是公差大于1000的等差数列，则n的最大值是()A．2000B．2006C．2007D．2008[答案]A22[剖析]x＋y＝1上距离右焦点F(1,0)近来的点为右端点(2,0)，距离右焦点F(1,0)∵椭圆43最远的点为左端点(－2,0)，数列{|PnF|}的公差d大于1，不如|P1F|＝1，|PnF|＝3,3＝1＋100021(n－1)·d，∴d＝n－1>1000，n－1<2000，即n<2001.∴应选A.x2y210．已知点(4,2)是直线l被椭圆36＋9＝1所截得的线段的中点，则l的方程是()A．x－2y＝0B．x＋2y－4＝0C．2x＋3y－4＝0D．x＋2y－8＝0[答案]D[剖析]设截得的线段为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2),中点坐标为(x0，y0)，利用“差分法”y12－y229，即y1－y2y09，得22＝－36·＝－36x1－x2x1－x2x0∴k＝y1－y2＝－1，∴直线l的方程为y－2＝－1(x－4)，即x＋2y－8＝0.x1－x222二、填空题11．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程是________________．22[答案]y＋x＝143y2x2[剖析]由题意设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．∵ |PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，∴2a＝4.∴a＝2，又c＝1，∴b2＝3，2 2∴ 方程为y4＋x3＝1.2212．设F1、F2是椭圆x＋y＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝1，则34cos∠F1PF2＝____________.3[答案]5[剖析]∵|PF1|＋|PF2|＝4，又|PF1|－|PF2|＝1，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，|F1F2|＝2，2252322∴cos∠F1PF2＝2＋2－2353＝.。
