利用换元法解方程组.doc

第6讲利用换元法解方程一、方法技巧〔一〕换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的*个局部，到达化简的目的.〔二〕运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式〔高次〕方程.解分式方程、无理方程、整式(高次)方程的根本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式〔高次〕方程逐步降次.〔三〕换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强．恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径．常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等．例如：①，可使用局部换元法，设②，变形后也可使用局部换元法，设③，看着很繁冗，变形整理成时，就可使用局部换元法.④，可设，方程变成，使方程变得易解，这是均值换元法.⑤，符合与中间项等距离的项的系数相等，如与，与系数相等，可构造换元，是倒数换元法.⑥，不易求解，假设反过来看，把设看作数，把设为设，则方程就变成，数字换元法不常用，但不失为一种巧妙的解题方法.有时根据方程各局部特点可设双元，到达化繁为简，求解的目的.例如：观察发现，故可设，，原方程变为，方程由繁变简，可得解.〔四〕本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧．拓宽学生知识面，培养学生学习和研究数学的兴趣.二、应用举例类型一局部换元〔高次方程〕【例题1】解方程：【答案】，，，【解析】试题分析：通过观察发现，故设，原方程变形为，可把高次方程降次，转化为可解的一元二次方程.试题解析：解：设，则原方程变形为，解得，，，由得，解得，，由得，解得，，∴方程的解是，，，【难度】较易〔分式方程〕【例题2】解方程：【答案】，【解析】试题分析：括号里的分式一样，由这个特点，可以用换元法来解.试题解析：解：设，于是原方程变形为解得，当时，，解得，当时，，解得经检验，均为原方程的根.∴方程的解是，【难度】较易【例题3】实数满足，则的值是〔〕【答案】【解析】试题分析：由于，故设，可解.试题解析：解：设，原方程化简得，∴，解得，由化简得，△＜0 ，无解，舍去∴点评：方程中并无"一样〞的局部时，可通过代数式间的关系变形构造出"一样〞局部，设元.【难度】一般〔无理方程〕【例题4】解方程：【答案】，【解析】试题分析：这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现，与互为倒数，可设，则原方程变形为，无理方程化为有理方程.试题解析：解：设，则原方程变形为整理得解得，当时，，解得当时，，解得经检验，都是原方程的根.原方程的解是，【难度】一般【例题5】解方程【答案】，【解析】试题分析：注意到原方程可变为，可设两个未知数，利用韦达定理求解.试题解析：解：设，，原方程变为又∵∴，即根据韦达定理，是方程的根解得，∵，∴舍去即或故或解得，经检验，是原方程的解∴方程的解是，【难度】一般类型二均值换元【例题6】解方程：【答案】，【解析】试题分析：观察方程可知，适合使用均值法换元，故设可到达降次目的.试题解析：解：设，原方程变为整理得解得〔舍〕，即，由，得由，得∴原方程的解为，点评：一般形如的方程可用均值法，设进展代换，化原方程为双二次方程求解.【难度】较难类型三倒数换元【例题7】解方程：【答案】，, ，【解析】试题分析：此题的特点是：按降幂排列后，与中间项等距离的项的系数相等，如与，与系数相等，可构造换元.试题解析：解：显然不是方程的解，故用除方程两边，整理得，设，则，上式变为，整理得解得，，由，解得，由，解得，点评：形如的方程称为倒数方程，其特点是，按*一字母降幂排列后，与中间项等距离的项的绝对值相等，其解法是，用除各项，构造，使原方程变为一元二次方程得解.【难度】较难类型四常数换元【例题8】解方程【答案】，，【解析】试题分析：这是三次方程，且系数中含无理数，不易求解，假设反过来看，把设看作数，把设为设，则方程就变成关于的一元二次方程.试题解析：解：设则原方程变形为即整理得或解得，，【难度】困难三、实战演练类型一局部换元〔高次方程〕1.，则的值为〔〕【答案】1【解析】试题分析：解题时把当成一个整体考虑，再求解就比较简单.试题解析：解：设，，则原方程变形为，整理得，解得，，∵∴∴的值是1【难度】较易2.解方程：【答案】，，，【解析】试题分析：观察可知，方程整理后，可用换元法降次.试题解析：解：方程整理后设，则原方程变为解得，由，得，解得，由，得，解得，∴原方程的解是，，，【难度】较易3.方程，如果设，则原方程可变形为〔〕A． B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析:注意到与互为相反数，只有符号要变化，可利用换元法变形.试题解析：解：设，则用表示后代入方程得应选D.【难度】较易4.解方程：【答案】，【解析】试题分析：1.以为一个整体换元，因此要对方程进展变形使其含有.2.把方程展开成标准的双次方程，再对进展换元.试题解析：解法一：原方程可化为，设，得，解得，由，解得，由，无实根∴方程的解是，解法二：由方程得，设得，解得，〔舍去〕由，解得，∴方程的解是，点评：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式一样的局部作为换元对象.在解方程的过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能到达将次目的的换元方法都可以应用.【难度】较易〔分式方程〕5.解方程【答案】，【解析】试题分析：方程左边分式分母为，可将右边看成一个整体，然后用换元法解.试题解析：解：设，则原方程变形为解得，当时，，△＜0，此方程无实根当时，，解得，经检验，，都是原方程的根.【难度】较易6.解方程：【答案】，【解析】试题分析：整理后发现，故，就可换元解题了试题解析：解：方程整理后变为，两边加1得设，则原方程变为整理得解得，〔舍去〕由得，解得，经检验，是原方程的解∴方程的解是，【难度】较易7.解方程【答案】，，【解析】试题分析：观察到，设，原方程可化为，由繁变简，可解.试题解析：解：原方程变形得，即设，则原方程变为整理得解得，由得，解得由得，解得，经检验，，都是原方程的解.∴原方程的解是，，【难度】一般8.解方程：【答案】，，，【解析】试题分析：观察可发现，而，故可设为辅助元，可得解.试题解析：解：将原方程转化为设，则原方程转化为解得，当时，，解得，当时，，解得，经检验，，，都是原方程的解所以，原方程的解是，，，【难度】一般9.解方程:【答案】，【解析】试题分析：这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设试题解析：解：设，则原方程可化为，即∴，解得由，得解得：，经检验，都是原方程的根点评：解有倒数关系的分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整体进展换元，换元时要注意分子、分母互换时分式可以用一个新元和它的倒数来表示，即形如的方程，可设【难度】较易10.解方程：【答案】，【解析】试题分析：观察方程的分母，发现各分母均是关于的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可设试题解析：解：设，原方程可化为，即，即，解得：，由，解得，由，△＜0，方程无解经检验，，都是原方程的解.∴方程的解是，【难度】较难11.解方程：【答案】，，，【解析】试题分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于的二次三项式，仅一次项不同，抓住这一特点，可设试题解析：解：设，则原方程可化为整理得：解得：，由，解得，由，解得，经检验知，它们都是原方程的解.点评：以上三个例子可以看出，换元时必须对原方程仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，花繁为简，到达解方程的目的.【难度】较难〔双元换元〕12.解方程：【答案】，，，【解析】试题分析：此题整理后，发现，设，，可得，，利用韦达定理可求解.试题解析：解：设，可得，由韦达定理，知，是方程的两根解得，即或即或经检验，，，都是原方程的根.所以方程的解是，，，【难度】较难13【答案】，，【解析】试题分析：观察发现，故可设，，原方程变为，方程由繁变简，可得解试题解析：解：∵设，原方程变为∵∴，即或即或解得，，，∴方程的解是，，点评：对于此题这样繁冗的方程，直接展开求解不可取，可通过观察，找到代数式间的联系，不妨设两个辅助元，将方程变形，目的是使方程有繁变简，可解.【难度】较难〔无理方程〕14.解方程：【答案】【解析】试题分析：解无理方程的根本思想是将其转化为有理方程，通常是设根式为元，此题的两根式存在的关系，故设一个辅助元即可.试题解析：解：设，则，即原方程可化为变形为两边平方，并整理得由，解得经检验是原方程的解点评：解无理方程时，常把方程中的一个含有未知数的根式作为整体换元，到达化去根号转化为可解的方程的目的.【难度】一般15.解方程组：【答案】【解析】试题分析：此题是整式方程与无理方程合并的方程组，解题时应从无理方程出发，将其化为有理方程求解.试题解析：解：设，，则原方程组可化为：由〔2〕得，，〔3〕将〔3〕代入〔1〕，得，解得，，〔不能为负〕∴得，解得经检验，知是原方程组的解∴原方程组的解为点评：妙用换元法，将无理方程组化为有理方程组，从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而熟悉的问题.【难度】一般16.解方程：【答案】，【解析】试题分析：由于根号里面与根号外面，对应系数成比例，故可以将其变形，不难找到辅助元.试题解析：解：设，则原方程可以化为解得〔舍去〕，即，解得，经检验，是原方程的解.点评：以前学过的取平方去根号法解无理方程，是种普遍方法.现在的换元法必须构造出根号外两个一样的式子才行.【难度】较难类型二均值换元17.解方程：【答案】，，，【解析】试题分析：方程的左边是四个二项式乘积，故展开求解不可取，应通过观察找突破口，左边重组后，，可设元求解.试题解析：解：原方程变形后整理后得设方程可变为，即解得，由得，解得，由得，解得，∴方程的解是，，，点评：此题也可设为辅助元，但没有均值法计算快捷，恰当的重组变形得到是解此题的关键.【难度】一般18.解方程：【答案】，【解析】试题分析：方程左边四个二次项的乘积，显然展开求解不可取，可尝试变形后，取均值，将其由繁变简.试题解析：解：方程变形为设原方程变成整理得解得或〔舍去〕∴，即或解。