高等数学考研知识点总结10.docx

@ 第十讲 常微分方程一、 考试要求1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法会解伯努力方程和全微分方程， 会用简单的变量代换解某些微分方程 会用降阶法解下列形式的微分方程： y(n)=f(x),y // =f(x,y / ) 和 y// =f(y,y / ).3、掌握 ( 会解 ) 二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程4、理解 ( 了解 ) 线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程 5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念6、掌握一阶常系数线性差分方程的解法7、会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题8、会解欧拉方程9、会用微分方程解决一些简单的应用问题二、内容提要（一）、一阶微分方程y f ( x, y), y x x0 y0 , y( x0 ) y01 可分离变量微分方程y f (x, y) f (x) g( y)或 f ( x)dx g( y)dy 0直接积分： f ( x)dx g( y)dy C2 齐次方程y f ( y ) , u yx x3 一阶线性微分方程yp( x) y q(x)或 xp( y) x q( y)yp( x) dx[p ( x) dxC ]eq( x)edx4贝努里方程yp( x) y q( x) yn, z y1 n5全微分方程M ( x, y)dxN ( x, y) dy0NMxyxyx0M (x, y0 )dxN ( x, y)dyCy06 可用简单变量代换求解的微分方程1（二）、可降阶的高阶微分方程1y( n )f ( x) ,连续积分 n 次2yf ( x, y ) ,yu3yf ( y, y ) ,yu, yduudy（三）、高阶线性微分方程1、 yp( x) yq( x) yf ( x)(1)yp(x) yq( x) y0(2)解的性质、结构2、常系数线性齐次方程(1) y py qy 0特征方程，特征根三种情况： 1 , 2(2) y ( n ) p1 y ( n 1) pn 1 y pn y 03、二阶常系数线性非齐次方程y py qy f ( x)(1)f ( x)Pn ( x) e x ,特解：(2)f ( x)e x [a cos x bsin x] , 特解：(3)f ( x)f 1 ( x) f 2 ( x) ,特解： y *( x) y1 ( x) y2 ( x)4、 欧拉方程x 2 yaxybyf (x)令 x et ,t ln xxydy , x 2 yd 2 y dydtdt 2dtd 2 ydydyt)()aby f (edt 2dtdt5、 微分方程组dxa11 xa12 y(t)dt，一般化为二阶常系数线性微分方程求解 .dya21 xa22 y(t )dt三、 典型题型与例题题型一、一阶微分方程的求解解题步骤： (1) 判断方程的类型； (2) 注意 x p( y) x q( y) ；(3) 若不能确定类型，考虑用适当的变量代换 .2例 1、 (98 1)已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量yyx, 且当x 21x0 时， 是 x 的高阶无穷小量， y(0), 则 y(1)=.例 2、求 dy2xy 的通解 。

dx例 3、求 ( x y cos y )dxx cos y dy 0 的通解xx例 4、（ 99）设有微分方程 y 2y2, 若x1( x) ，其中 (x),试求在 ( , )0,若 x1内连续的函数 y=y(x) ，使之在 (,1) 和 (1,) 内都满足所给方程且 y(0)=0.3例 5、 求微分方程 xdy (x 2 y)dx 0 的一个解 y=y(x) ，使得由曲线 y=y(x)与直线 x=1,x=2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体体积最小 .1例 6、解微分方程 y 2 x y2 ;例 7、 x dyx sin( x y) 0 ;dx例 8、 求 dy 4 y x 2 y 的通解 .dx x4例 9、求解(x2x3)dx(1)0.yx dy解 1、P1Q ,是全微分方程 .yxA 用曲线积分法 :u( x , y)( x, y)2x 3y)dx (1 x )dy( x(0 ,0)( 0, y)(0 , y)( x , y)( 0,0 )( x2x 3y)dxydyx3x4xy yx0034所求通解为x 3x 4xyyC .34B 用全微分运算 :( x2x 3y)dx(1x )dyx 2dxx 3dx( ydxxdy ) dyd (x3x 4) d( xy )dyd (x 3x 4xyy))d(3434通解为x 3x 4xyyC .34C 用偏积分法 :ux 2x 3y, u( x 2x 3y)dxx 3x4xy C ( y),x34ux C ( y), 又 u1 x ,x C ( y) 1 x , C ( y) y c,yy原方程的通解为 x3x4xy y C .34注：全微分方程的解法：若 P( x, y)dx Q( x , y)dy 0 是全微分方程，则存在 u( x , y) ，使 du( x , y) P( x , y)dx Q ( x, y)dy,则原方程可表为 du( x , y) 0 u( x , y) C .原函数 u( x , y) 的求法 :51、曲线积分法：u( x , y)( x, y)P( x, y)d x Q( x , y)dy.( x0 , y0 )2、全微分的运算。

3、偏积分法duPdx QdyuPdx C ( y)P ，则 uxuPdx C ( y) ， 又uQ ，C ( y) QPdxyyyyC ( y)(QPdx )dy ，u.y题型二、可降阶的高阶微分方程例 10、 (001) 微分方程 xy 3 y 0 的通解为 ____,例 11、 (99 1) 设函数 y(x)(x 0) 二阶可导且 y ( x) 0, y(0) 1. 过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x,y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1, 区间 [0,x] 上以 y=y(x) 为曲线的曲边梯形面积记为 S2. 并设 2S1 S2 1, 求此曲线的方程 .6例 12、 求 yy y 2 0 的通解 .题型三、 高阶常系数线性微分方程的求解1、二阶常系数齐次线性微分方程的解特征根的情况。