10直线与平面平行以及两平面相互平行的几何条件和作图方法.ppt

2.5 直线与平面及两平面的相对位置教学目的： 1.掌握直线与平面平行以及两平面相互平行的几何条件和作图法 2.熟练掌握直线与平面的交点和两平面交线的求法及其可见性的判 别方法 3.掌握直线与平面垂直的投影特性 教学重点： 1.直线与平面平行以及两平面相互平行的几何条件和作图方法 2.直线与平面的交点和两平面交线的求法及其可见性的判别方法 3.直线与平面垂直的投影特性及求点面距离的作图方法 教学难点： 1.直线与平面平行以及两平面相互平行的几何条件和作图方法 2.直线与平面的交点和两平面交线的求法及其可见性的判别方法 3.直线与平面垂直的投影特性及求点面距离的作图方法2.5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置，有平行和相交两种，相交中还有垂直这一特殊 情况2.5.1 直线与平面平行、两平面相互平行从立体几何知道:（1）若一平面外的一直线，平行于此平面内的一直线，则此直 线与平面平行2）若一平面内有两条相交直线平行于另一平面，则此两平面相互 平行1.当平面的投影有积聚性的情况根据上述几何定理，同时考虑到“平行两直线的同面投影彼此平行”以及“垂直 于投影面的平面在该投影面上的投影积聚成直线”这两个投影特性，就可得出特殊情 况下（至少有一个平面处于特殊位置）关于平行问题的投影特性。

1）当直线与垂直于投影面的平面平行时，则它们在该投影面上的投影一定平 行例如图2-36所示为直线AB与铅垂面P平行，则它们的水平投影也平行图2-36 直线与平面平行 2.5 直线与平面及两平面的相对位置（2）当两个互相平行的平面垂直于一个投影面时，则它们在该投影面上的投 影也一定互相平行，例如图2-37所示为互相平行的两个铅垂面P和Q的水平投影也 互相平行 图2-37 两平面相互平行2.当平面为一般位置的情况在一般情况下（没有一个平面处于特殊位置），直线与平面平行以及两 平面相互平行在投影图上不直接反映，它们的作图和判别问题必须根据有关 几何条件进行 2.5 直线与平面及两平面的相对位置【例2-11】 试过直线CD作一平面与直线AB平行（图2-38（a））解】 若在直线CD上任取一点，例如D点，过D点作直线DE平行于直线AB （图2-38（b）），则相交两直线CD，DE所决定的平面，一定平行于直线AB，即 所求平面图2-382.5 直线与平面及两平面的相对位置【例2-12】 试过D点作一平面平行于△ABC（图2-39（a）） 【解】 若一平面内有两条相交直线平行于另一平面，则此两平面相互平 行，故只要过D点作两直线分别平行于△ABC内任意相交两直线即可。

图2-39 （b）中，DE∥AB，DF∥BC，相交两直线DE，DF所决定的平面，即为所求平面 图2-392.5 直线与平面及两平面的相对位置2.5.2 直线与平面相交、两平面相交直线与平面相交的交点，是直线与平面的共有点作图时，除了要求出交点 的投影外，还要判别直线投影的可见性两平面的交线是直线，它是两平面的共有线求两平面交线的方法是:求出 两个共有点，或者一个共有点和交线的方向作图时，除了求出交线的投影外， 还要判别两平面投影的可见性求交点和交线问题，可分为两种情况一种是特殊位置情况，即当直线或平 面处于某些特殊位置时，利用它们投影的积聚性来求交点和交线;另一种是一般 位置情况，利用辅助面法求交点和交线 1.利用积聚性求交点和交线如图2-40所示为直线AB与铅垂面△CDE相交，由于△CDE的水平投影有积聚 性，因此，直线AB与△CDE的水平投影的交点k就是空间交点K的水平投影根据 这一投影特点，在投影图（图2-40（b））中首先得到交点的水平投影k，由k可 求得正面投影k′2.5 直线与平面及两平面的相对位置关于可见性，本图的水平投影不需要判别正面投影中直线AB与△CDE投 影重叠部分有可见性问题，它有两种可能:一种是右上方一段可见，左下方一段 不可见，如图2-41（a）;另一种是左下方一段可见，右上方一段不可见，如图 2-41（b）。

不管是哪种情况，交点本身总可见，而且是可见和不可见的分界 点 图2-40 直线与平面相交图图2-41 直线与平面相交时的可见性2.5 直线与平面及两平面的相对位置判别可见性，有两种方法: （1）观察法 例如现在是判别正面投影的可见性，是从前向后看，看直线AB 与△CDE的前后位置关系，从水平投影可以看出，直线KB段在△CDE之前，故 k′b′段都可见，画成粗实线;而KA段在△CDE之后，故a′k′与△c′d′e′重 合的一段不可见，画成细虚线这种观察法比较省事，但当直线和平面处于一般 位置，特别是图形较复杂时，观察法可能有困难2）交叉两直线上的重影点法 例如图2-42中AB和DE是交叉两直线，我们可 利用AB和DE上对V面的重影点Ⅰ和Ⅱ，设点Ⅰ在AB上，点Ⅱ在DE上，由于 YⅠ>YⅡ，表示KB段在△CDE之前，故其正面投影可见判别结果，与观察法所得 结果相符 图2-42 利用重影点判别可见性2.5 直线与平面及两平面的相对位置图2-43所示为铅垂线AB与一般位置△CDE相交，由于铅垂线AB的水平投影ab 具有积聚性，故交点K的水平投影k一定重合在ab上又因K点在△CDE平面内，故 其正面投影k′可利用辅助线求得。

图中所作辅助线为在△CDE内且过交点K的直 线CF在图2-43中，水平投影的可见性不需要判别，正面投影的可见性利用交叉两 直线AB和CD上的重影点Ⅰ，Ⅱ判别，如图所示如图2-44所示为铅垂面□DEFG与 一般位置△ABC相交由于□DEFG的水平投影有积聚性，故在水平投影上首先求 得AC和BC对□DEFG的交点K和L的水平投影k和l，再求得正面投影k′和l′KL即 为交线 图2-43 一般位置平面与投影面垂直线相交2.5 直线与平面及两平面的相对位置两平面相交可见性的判别方法和直线与平面相交可见性的判别方法相似在 图2-43中，水平投影不需判别，正面投影中两平面形投影重叠部分有可见性问 题这里可用观察法进行判别从水平投影可以看出，△ABC的KLC部分在□DEFG 之前，故k′l′c′可见两平面的交线KL总可见，而且是可见和不可见的分界 线，如图2-44（b）所示 图2-44 一般位置平面与有积聚性的平面相交2.5 直线与平面及两平面的相对位置如图2-45所示两铅垂面△ABC与矩形P相交两个铅垂面的交线是铅垂线此 两平面交线ⅠⅡ的水平投影为1、2，由1、2可得正面投影1′、2′水平投影的 可见性不需要判别，正面投影的可见性可用观察法判别。

从水平投影可以看出， △ABC的ⅠⅡCB部分在矩形P之前，故1′2′c′b′可见，如图2-45（b）所示 图2-45 两铅垂面相交2.5 直线与平面及两平面的相对位置2.5.3 直线与平面垂直、两平面相互垂直由立体几何:（1）若一直线垂直于一平面，则此直线垂直于此平面内的所有 直线2）若一直线垂直于一平面，则包含此直线的所有平面，都垂直于该平 面根据上述几何定理，可得出下列两特殊情况下关于垂直问题的投影特性1.当平面的投影有积聚性的情况 （1）直线与投影面垂直面垂直的投影特性如图2-46（a）所示，直线AK垂直于平面P，P为铅垂面，故AK为一水平线 由于水平线AK垂直于平面P内的所有直线，因此它的水平投影ak与平面P的水平投 影也应相互垂直图2-46（b）为投影图由此得出如下投影特性:当直线垂直于 投影面垂直面时，此直线平行该投影面，而此直线与平面在该投影面上的投影也 互相垂直图2-46 直线与铅垂面垂直2.5 直线与平面及两平面的相对位置（2）互相垂直的两平面垂直于同一投影面时的投影特性图2-47（a）所示，Q为一铅垂面，水平线AK垂直于平面Q，则包含AK的铅 垂面P一定垂直于平面Q，因此这两个铅垂面的水平投影也互相垂直。

图2-47 （b）为投影图由此得出如下投影特性:互相垂直的两平面垂直于同一投影面 时，它们在该投影面上有积聚性的投影也互相垂直图2-47 两铅垂面互相垂直2.5 直线与平面及两平面的相对位置【例2-13】 试求A点与正垂面△BCD的距离（图2-48（a））解】 （1）分析点与平面的距离，即点与平面间垂线的实长2）作图自A点向△BCD作垂线（图2-48（b）），求垂足K由于△BCD为正垂面，垂 线AK一定是一条正平线，故a′k′反映实长，即所求A点与△BCD的距离图2-48 求A 点与正垂面△BCD 的距离2.当平面为一般位置的情况当平面为一般位置时，投影图上不直接反映直线与平面以及两平面相互垂 直的情况（此问题见第2.6节换面法） 2.5 直线与平面及两平面的相对位置。