小学数学奥数习题讲义《等量代换》.pdf

1第十二讲 等量代换小朋友们一定都知道曹冲（曹操的儿子）称大象的故事吧.曹冲用一条船,让大象先上船,看船被河水水面淹到什么位置,然后刻上记号.把大象赶上岸,再把这条船装上石块,当船被水面淹没到记号的位置时,就可以判断：船上的石块共有多重,大象就有多重.为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢?因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样.只有当大象与一船石头一样重（重量相等）时,船才会被淹没得一样深.“曹冲称象”不是瞎称的,而是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量,可以互相代换.解决数学题,经常会用到这种思考方法.典型例题例[1] ◎＋◎＋□=25 ……（1）□=◎＋◎＋◎ ……（2）◎=? □=?分析 把两个算式编号为（1）式、 （2）式.把（1）式中的□用（2）式中的三个◎代换,可得◎＋◎＋◎＋◎＋◎=25 也就是 ◎×5=252解 ◎=25÷（2＋3）=5□=5＋5＋5=15例[2] 根据下图,求最大的球的克数.分析 先比较上图（1）中天平两端,容易看出：1 个小黑求的重量恰好等于砝码的重量 48 克.由图（2）可知,3 =2 .这样可求出小白球的重量.算出小白球的重量后,由图（3）又可以算出最大球的重量.解 由于 =48 和 3 =2 ,可算出 =48×3÷2=32（克）.答：最大球的重量为：32×4=128（克）例[3] 百货店运来 300 双球鞋,分别装在 2 个木箱、6 个纸箱里.如果 2 个纸箱同 1 个木箱装的球鞋一样多,想一想：每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋?分析 根据“2 个纸箱同 1 个木箱装的球鞋一样多”,把木箱48克克（（1））（（2））（（3））3换成纸箱,也就是说,把 300 双球鞋全部用纸箱装,不用木箱装.根据已知条件,2 个木箱里的球鞋刚好装满 4 个纸箱,再加上原来已装好的 6个纸箱,一共是 10 个纸箱.这样,题目就变为“把 300 双球鞋平均装在10 个纸箱里,平均每个纸箱装多少双球鞋?”可以求出每个纸箱装多少双鞋,也就能求出一个木箱能装多少双鞋.解 300÷（2×2＋6）=300÷10=30（双）30×2=60（双）答：每个纸箱里装 30 双球鞋,每个木箱里装 60 双球鞋.例[4] 如下图,淡黄色部分是正方形,求出最大的长方形的周长.ACBDGFHE5厘米7厘米4分析 因为图的中间是正方形,正方形的 4 边相等,所以DF=FE=BE=BD……（1）长方形 ABCD 的周长为 7×2=14（厘米）,长方形 EHGF 的周长为5×2=10（厘米）,又因为最大的长方形 AHGC 的周长等于：AB＋AC＋CD＋DF＋FG＋GH＋EH＋BE……（2）根据（1）对（2）式进行等量代换,就得到所求最大长方形的周长正好等于长方形 ABCD 的周长加上长方形 EHGF 的周长.解 7×2＋5×2=24（厘米）答：图中最大长方形的周长是 24 厘米.例[5] 如果鱼尾重 4 千克,鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量,而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量.问这条鱼有多少千克?分析 依题意列出下列等式：尾=4 ……（1）头=尾＋身÷2 ……（2）身=头＋尾 ……（3）由于等式左右两边同乘以一个数,结果仍相等,所以把（2）式两边同乘以 2 得：2 头=2 尾＋身 ……（4）把（3）式代入（4）式得：52 头=2 尾+头+尾解 头=3 尾=3×4=12（千克）身=头＋尾=12＋4=16（千克） 、全鱼=头＋身＋尾=12＋16＋4=32（千克）答：这条鱼有 32 千克.小结 在进行等量代换时,我们通常要把题目中的等量关系或图中的相等关系（天平平衡就是一种等量关系）转化为等式,并把这些等式按顺序编号,再互相代换.。