材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论).pdf

1 § 6–1 应力状态概述 § 6-2 平面应力状态分析 § 6-3 三向应力状态分析 § 6-4 广义胡克定律 § 6-5 工程中常用的四种强度理论 2 拉压 扭转 弯曲 FN y max s=s C y max t M T o M y max s 压 max s 拉 C s max t max s max 截面应力 危险点应力状态 3 1 stts90= F F S平面 1 n 1 s4 由前面的分析结果表明：在一般情况下杆件横截面上不同点的应力是不同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的因此， 当提及应力时 ，必须明确“哪一个面上哪一点”的应力或“哪一个点哪一个方向面上”的应力 本章研究 应力状态的基本理论、应力与应变间的一般关系以及材料在复杂应力状态下的强度计算问题 5 § 6-1 应力状态概述 一、应力状态的概念 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上 应力情况的集合 ，称为这点的应力状态 • 应力状态 • 单元体 构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体 平行面上，应力均布；应力相等；方向相反。

• 单元体的性质 x y z s x sz y tx ys6 tzx • 原始单元体 （已知单元体） [例 6-1] 画出下列图中的 A、 B、 C点的已知单元体 P P A A s x s x M P x y z B C s x s x B txz Ct xy t yx 用纵横六个面来截取单元体，称为原始单元体 sytyxtxyxyx-y坐标系 sxyxtsy'xy tsx'x'x'－ y'坐标系 y'sy''sx''ypxpxp-yp坐标系 ★ 同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式： 主应力单元体 8 二、主单元体、主平面、主应力、应力状态分类 主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体 主平面 切应力为零的截面 主应力 主平面上的正应力 321 sss s1 s2 s3 x y z sx sy sz 9 单向应力状态 一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态 一个主应力为零的应力状态 三向应力状态 三个主应力都不为零的应力状态 A s x s x tzx s x s x B txz 10 例如：轴向拉压杆中各点均处于单向应力状态。

薄壁长圆筒在均匀内压作用下，筒壁纵横截面同时受拉，微体 abcd的应力状态就是二向应力状态 11 导轨与滚轮接触处，导轨表层微体 A除在垂直方向直接受压外，由于横向变形受到周围材料的约束，其四周也同时受压，微体处于三向应力状态 纯剪切应力状态属于二向应力状态 12 [例 6-2] 如图所示为承受内压 p的圆筒形薄壁容器，容器的平均直径为 D，壁厚为 δ(δ<

图 1 设：斜截面面积为 dA=1， 由分离体平衡得  = F x 0一、斜截面上的应力 x y sx tx sy O yt⒈ 解析法 ts s i ndAc o sdAdAp yxx =st s i ndAc o sdAdAp yxy = = F y 0t y sx s t  xpypsy ts s i nc o sp yxx = st s i nc o sp yxy =16 图 1 x y sx tx sy O x y O 图 2 yts  s i npc o sp yx =tsssss  2222 s i nc o s xyxyx =t y sx xpypsy t y sx s t  xpypsy stts 22 s i nc o ss i nc o ss i nc o s yyyx =经简化 得 stts s i n)s i nc o s(c o s)s i nc o s( yyyx =17 图 1 x y sx tx sy O 图 2 tsst  222c o ss i n xyx =同理： t c o sps i np yx =x y O t y sx xpypsy t y sx s t  xpypsy     stts c o ss i nc o ss i ns i nc o s yyyx =经简化 得 18 由上式可知：轴向拉伸（压缩）杆横截面的应力公式就是其特殊情况。

)c o s( ss  212 =另外，在平面应力状态下，两相互垂直的正应力之和是一个不变量 yx ssss  =  90st  22s i n=tsst  222 c o ss i n xyx =tsssss  2222 s i nc o s xyxyx =19 [例 6-3] 如图所示单元体，求 a 斜面的应力 （单位： MPa） 300 40 50 60 解 ： tsssss  2222 s i nc o s xyxyx =tsst  222 c o ss i n xyx =)M P a(.)s i n ()()c o s (358605060260402604000==)M P a(.)c o s ()()s i n (31860506026040 00==,M P a,M P a yx 6040 == ssst3050 == t ,M P ax20 xyxyx )()( 222222 tsstsss =这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为 应力圆 ==tssttsssss2222222c o ss i ns i nc o sxyxxyxyx对上述方程消参数（ 2），得： ⒉ 应力 圆 法 ),( yx 02 ss 圆心： 半径 ： 222 xyx )(R tss =xyoxsysxsysxtytst21 xyxyx )()( 222222 tsstsss =应力圆（莫尔圆） stR C xyx )(R 222 tss =2yx ss  2 yxss 22 建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺） ⑴ 应力圆的画法 在 坐标系内画出点 A(s x， tx)和 B(sy， ty) AB与 s 轴的交点 C便是圆心 。

以 C为圆心，以 AC为半径画圆 ——应力圆； sx tx sy x y O n s t  O s t C A(sx ,tx) B(sy ,ty) x 2 n D( s , t yt23 sx tx sy x y O n s t  O s t C A(sx ,tx) B(sy ,ty) x 2 n D( s , t ⑵ 单元体与应力圆的对应关系 面上的 应力 (s ， t ) 应力圆上一点 (s ， t ) 面的法线 应力圆的半径 两面夹角  两半径夹角 2 ；且转向一致 yt24 A(sx ,tx) B(sy ,ty) )](s i n [DCD t 221 8 0 0 = )s i nc o sc o ss i n(DC  2222 00 = 22 s i nCEc o sAE =sst 222 s i nc o s yxx =t=)](c o s [CDOCD 0221 8 0 s = )s i ns i nc o s( c o sCDOC  2222 00 = 22 s i nAEc o sCEOC =tssss 2222 s i nc o s xyxyx =s=n s t  sx tx sy x y O O s t C x 2 n D( s , t ytE02F25 2222xyxyxROCtssssss==）（半径⑶ 应力圆上极值应力 2222xyxm i nm a xm i nm a xRtsssstt==）（半径O C s t A(sx ,tx) B(sy ,ty) x 21 mintmaxt20 s1 s2 s3 yxxt a nsst=2200=s),,m a x ( ssss =1 ),,m i n ( ssss =326 [例 6-4]求 ⑴ 图示单元体 α =300 斜截面上的应力 ⑵ 主应力、主平面（单位： MPa）。

.M P a,M P a 22102 030030 == ts⑵ 量出所求的物理量 ..D C A.M P a;;M P a52226501050321=====sss解： ⑴ 按比例画此单元体对应的应力圆 DEABCF60° 02O σ τ 408060MPa2027 [例 6-5] 分析受扭构件的破坏规律 解：⑴ 确定危险点并画其原 始单元体 ⑵ 求极值应力 0== yx ssPx WM== ttt C t M C t t tstssts === 321 0 ;;450 =28 ⑶ 破坏分析 01 0=M P a200M P a240 == ss ;: ts低碳钢M P a300198M P a960640M P a28098~;~~bcbtb:===tss灰口铸铁低碳钢 铸铁 t t 1s3stt =maxts29 圆截面铸铁试件受扭时表层 σtmax所在的主平面连成倾角为 45° 的螺旋面如图所示 sytyxtxyxyx-y坐标系 sxyxtsy'xy tsx'x'x'－ y'坐标系 y'sy''sx''ypxpxp-yp坐标系 ★ 同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式： 主应力单元体 A(sx ,tx) B(sy ,ty) sstt  222 s i nc o s yxx =tsssss  2222 s i nc o s xyxyx =n s t  sx tx sy x y O O s t C x 2 n D( s , t ytE02FC xyxyx )()( 222222 tsstsss =yx ssss  =  9。