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微专题之平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值基本定理】（一） 平面向量共线定理uuuruuuruuur1，则 A, B, C 三点共线；反之亦然已知 OAOBOC ，若（二） 等和线uuur uuuruuuruuuruuuruuurR) ，若点 P 在直线 AB 上或者在平面内一组基底OA,OB 及任一向量 OP ， OPOAOB( ,平行于 AB 的直线上，则k （定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线 1）当等和线恰为直线AB 时， k1 ；B1（ 2）当等和线在 O 点和直线 AB 之间时， k(0,1) ；BPlQ（ 3）当直线 AB 在点 O 和等和线之间时，k(1,) ；（ 4）当等和线过 O 点时， k 0 ；OAA 1（ 5）若两等和线关于 O 点对称，则定值k 互为相反数；【解题步骤及说明】1、 确定等值线为 1 的线； 22、 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。

典型例题】uuuruuurl例 1、 给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ，它们的夹角C1B为 1200?，如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上变动uuuruuuruuury 的最大值若 OCxOAyOB ，其中 x, y R ，则 x是 __________ OCA跟踪练习：已知O 为ABC 的外心，若1uuuruuuruuur的最大值为cos ABC， AOABAC ，则3_______2、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两定点uuur uuuruuur uuur例A,B满足 |OA| |OB|OA OB 2 ，则点集uuuruuuruuur| 1, ,R} 所表示的区域面积为 __________________.{P |OPOAOB,| | |例 3、如图，在扇形OAB 中，AOB600， C 为弧 AB 上不与 A, B 重合的一个动点，uuuruuuruuur(0)OCxOAyOB ，若 u xy存在最大值，则的取值范围为 __________.BCO A跟踪：在正方形ABCD 中， E 为 BC 中点， P 为以 AB 为直径的半圆弧上任意一点，uuuruuuruuury 的最小值为 _____________.设 AExADy AP ，则 2x【强化训练】1、在正六边形 ABCDEF 中， P 是三角形 CDE 内（包括边界）的动点，设uuuruuuruuuryAPxABy AF ，则 x的取值范围 __________.2、如图，在平行四边形ABCD 中， M , N 为 CD 边的三等份点， S 为 AM , BN 的交点， P 为边 AB 上的uuuruuuuruuury 的取值范围 __________.一动点， Q 为 SMN 内一点（含边界） ，若 PQx AMyBN ，则 xDNMCQSAPuuurB1AB，BEuuuruuur3、设 D , E 分别是 ABC 的边 AB ， BC 上的点， AD2BC，若 DE1 AB2 AC23（ 1, 2 为实数），则 12 的值为 _____________.4、梯形ABCD 中， ADAB， ADDC 1， AB3， P 为三角形BCD 内一点（包括边界），uuuruuuruuurAPxABy AD ，则 x y 的取值范围 __________.uuuruuuruuur uuur0 ，点 C 在 AOB内，且 AOC300uuuruuuruuur5、已知 |OA |1,| OB |3 ，OA OB，设 OCmOAnOB ，则 m 的值为 ____________.n6 、在正方形ABCD 中， E 为 AB 中点， P 为以 A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设uuuruuuruuurACxDEy AP ，则 x y 的最小值为 _____________.uuuuruuuruuuruuuuruuurPMN 为以 M 为直角顶点的直角三角7、已知 |OM | |ON | 1， OPxOMyON ( x, y 为实数）。

若形，则 xy取值的集合为 _______uuuruuur uuuruuur uuur0uuur uuur0uuur uuur、平面内有三个向量OA, OB, OC，其中OA,OB夹角为120，的夹角为30，且|OA| |OB| 1，8OA,OCuuur23uuuruuuruuurn 的值为 ____________________ OC |，若 OCmOAnOB ，则 m9、如图， A,B,C 是圆 O上的三点， CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O外的点 D ，若uuuruuuruuurOCmOAnOB ，则 m n 的取值范围为 ___________DBOuuur CA10、已知 O 为 ABC 的外心，若 A(0,0), B(2,0)2uuuruuur， AC1, BACABAC ，则，且 AO3=________.r rr rr r1 ，则对任意的正实数rr1 r11、已知 a, b是两个互相垂直的单位向量，且c ac bt ， | ctab | 的最小t值为 _______________.。