D102对坐标曲线积分28339实用教案.ppt

1)￿“大化(dà￿huà)小”.2) “常代变”把L分成(fēn chénɡ) n 个小弧段,有向小弧段近似(jìn sì)代替, 则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在第1页/共26页第一页，共27页3)￿“近似近似(jìn￿sì)和和”4) “取极限(jíxiàn)”(其中(qízhōng) 为 n 个小弧段的 最大长度)第2页/共26页第二页，共27页2.￿定义(dìngyì).设 L 为xoy 平面(píngmiàn)内从 A 到B 的一条有向光滑弧,若对 L 的任意(rènyì)分割和在局部弧段上任意(rènyì)取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .称为被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数极限记作第3页/共26页第三页，共27页若 为空间(kōngjiān)曲线弧 , 记称为(chēnɡ wéi)对 x 的曲线积分;称为(chēnɡ wéi)对 y 的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作类似地, 第4页/共26页第四页，共27页3.￿性质性质(xìngzhì)(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑(guāng huá)曲线弧(2) 用L－ 表示(biǎoshì) L 的反向弧 , 则则• 定积分是第二类曲线积分的特例.说明:• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !第5页/共26页第五页，共27页。

二、对坐标的曲线积分( jīfēn)的计算法定理(dìnglǐ):在有向光滑(guāng huá)弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,证明: 下面先证存在, 且有第6页/共26页第六页，共27页对应(duìyìng)参数设分点根据(gēnjù)定义由于(yóuyú)对应参数因为L 为光滑弧 ,同理可证第7页/共26页第七页，共27页特别(tèbié)是, 如果 L 的方程为则对空间光滑(guāng huá)曲线弧 :类似(lèi sì)有第8页/共26页第八页，共27页例例1.￿计算计算(jì￿suàn)其中(qízhōng)L 为沿抛物线解法(jiě fǎ)1 取 x 为参数, 则解法2 取 y 为参数, 则从点的一段. 第9页/共26页第九页，共27页例例2.￿计算计算(jì￿suàn)其中(qízhōng) L 为(1) 半径(bànjìng)为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为(2) 取 L 的方程为则则第10页/共26页第十页，共27页。

例例3.￿计算计算(jì￿suàn)其中(qízhōng)L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线(zhéxiàn) 解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式第11页/共26页第十一页，共27页例例4.￿设在力场作用(zuòyòng)下, 质点由沿移动(yídòng)到解: (1)(2)  的参数(cānshù)方程为试求力场对质点所作的功.其中为第12页/共26页第十二页，共27页例例5.￿求其中(qízhōng)从 z 轴正向(zhènɡ xiànɡ)看为顺时针方向.解: 取  的参数(cānshù)方程第13页/共26页第十三页，共27页三、两类曲线积分( jīfēn)之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数(cānshù) 的参数(cānshù)方程为已知L切向量(xiàngliàng)的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系第14页/共26页第十四页，共27页类似地,￿在空间曲线(qūxiàn)￿上的两类曲线(qūxiàn)积分的联系是令记 A 在 t 上的投影为第15页/共26页第十五页，共27页二者夹角(jiā jiǎo)为 例例6.￿￿设曲线(qūxiàn)段 L 的长度为s, 证明续,证:设说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线(qūxiàn)积分.在L上连 第16页/共26页第十六页，共27页。

例例7. .将积分(jīfēn)化为对弧长的积分,解：其中(qízhōng)L 沿上半圆周第17页/共26页第十七页，共27页1. 定义(dìngyì)2. 性质(xìngzhì)(1) L可分成(fēn chénɡ) k 条有向光滑曲线弧(2) L－ 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结内容小结第18页/共26页第十八页，共27页3.￿计算( jì￿suàn)• 对有向光滑(guāng huá)弧• 对有向光滑(guāng huá)弧第19页/共26页第十九页，共27页4. 两类曲线(qūxiàn)积分的联系• 对空间(kōngjiān)有向光滑弧 :第20页/共26页第二十页，共27页原点 O 的距离(jùlí)成正比,思考思考(sīkǎo)与与练习练习1. 设一个(yī ɡè)质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见 P139 例5)F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. 思考: 若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 第21页/共26页第二十一页，共27页2.￿已知为折线(zhéxiàn) ABCOA(如图), 计算提示(tíshì):第22页/共26页第二十二页，共27页。

备用备用(bèiyòng)题题￿￿1.解:线移动(yídòng)到向坐标(zuòbiāo)原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点第23页/共26页第二十三页，共27页2.￿设曲线(qūxiàn)C为曲面与曲面(qūmiàn)从 ox 轴正向(zhènɡ xiànɡ)看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分解: (1)第24页/共26页第二十四页，共27页(2) 原式 =令利用(lìyòng)“偶倍奇零”第25页/共26页第二十五页，共27页感谢您的欣赏(xīnshǎng)！第26页/共26页第二十六页，共27页内容(nèiróng)总结1) “大化小”.把L分成 n 个小弧段,若对 L 的任意分割和在局部(júbù)弧段上任意取点,在有向曲线弧 L 上解: (1) 取L的参数方程为解: (1) 原式2)  的参数方程为从 z 轴正向看为顺时针方向.说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.• 对空间有向光滑弧 :思考: 若题中F 的方向改为与OM 垂直且与。

为折线 ABCOA(如图), 计算从 ox 轴正向看去为逆时针方向,第二十七页，共27页。