拼图课件制作中的数学思考与技术手段.pdf

拼图课件制作中的数学思考与技术手段430070湖北省实验幼儿师范学校刘欣古代数学， 不管是东方还是西方， 都擅长用几何图形来说明问题． 利用图形的拼摆， 去探索和认识图形的特点和相关性质， 在探索过程中结合观察操作， 归纳推理的方法， 提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力也是现代中学数学教学中常用的方法． 如果利用现代信息技术， 用几何画板做成动画形式， 则更加直观、 生动， 有助于学生观察和想象， 激发学习兴趣， 提高教学效果． 本文仅就拼图课件的制作， 说明如何利用几何画板软件中的 【移动】 命令， 制作【移动】 按钮来操作和控制拼图动画， 以及制作过程中的数学思考与技术手段．【移动】 在几何学中称为运动， 是一种初等几何变换， 它包括平移和旋转． 这种变换只改变图形的位置， 不改变图形的形状、 大小以及转向．图 1几何画板软件中的【移动】 命令在【编辑】 菜单下的【操作类按钮】 ( 如图 1) 中， 通过 【移动】 命令制作出具有【移动】 功能的按钮， 再通过这个按钮对移动对象进行操作和控制．例如， 当我们在工作区中依次选中移动点 A 和目标点 B 后， 再点击【编辑】 /【操作类按钮】 /【移动】 ， 打开【移动属性】 对话框， 根据需要选择适当的速度， 单击【确定】 后， 在工作区中生成一个 【移动按钮】 ( 如图 2) ． 单击该按钮时， 点 A 向点 B 移动． 当点 A 与点 B 重合时， 停止移动．例 1制作三角形内角和定理的拼图动画．图 2图 3分析本课件制作的意图就是将△ABC 划分为三个部分( 如图 3) 后， 将它们分别通过平移或旋转拼成如图 4 所示的图形， 并将这个移动过程展现出来．制作的关键就是确定平移的对象、 起点和终点， 旋转的中心、 角度以及移动的路径．( 1) 移动∠C— — —四边形 CDGE 到四边形 A( C') D'G'E'的位置易知这个移动是一个平移， 移动的对象是四边形CDGE． 由于平移变换下图形内的各个点所进行的平移是相同的， 则只须选择其中一个点作为主动点， 不妨选择点 C( 移动后的点记为 C') ， 那么点 C'移动路径就是△ABC 的边 CA， 移动的起点为点 C， 终点为点 A， 其它各点都是从动点， 均随着点 C'按照向量→ CC'移动．( 2) 移动∠B— — —四边形 BFGD 到四边形 AFG'D'的位置．26( 2011 年第 4 期·初中版)·教育技术·图 4这是一个复合移动， 它由一个平移加旋转复合而成． 在旋转过程中， 这个图形逆时针旋转了 180°． 于是确定移动路径、 对象的旋转中心作为将绕点 B 旋转 180°后， 再沿着 BA 平移到点 B( 或先平移后旋转) ．作法建立一个新的几何画板文件， 进行如下操作．1作一个△ABC， 并在其形内任取一点 G， 过点 G 将这三角形划分( 如图 3 所示)2移动∠C— — —四边形 CDGE 到四边形 A( C') D'G'E'的位置( 1) 段 CA 上任取一点 C'， 依次选择 C， C'， 点击【变换】 /【标记向量】 ， 选择点 D， G， E， 点击【变换】 /【平移】 ， 在 【平移】 窗口中， 选择【标记】 ， 点击【平移】 ， 即得到点 D， G， E 的对应点， 依次连接得移动对象— — —四边形 C'D'G'E'．( 2) 制作移动按钮． 依次选择移动点 C'， 目标位置点A， 点击 【编辑】 /【操作类按钮】 /【移动】 ， 在【操作类按钮移动】 窗口中， 选择适当的移动速度/【移动到目标位置】 ; 在 【操作类按钮移动】 窗口中， 点击【标签】 /输入你想要的按钮名称( 如果不输入， 软件会自动按照默认方式给出 【移动 C'→A】 /【确定】 ， 画布上出现了 【移动 C'→A】 的按钮， 点击此按钮， 四边形 CDGE 开始移动至目标位置停止．( 3) 制作还原按钮— — —反向移动点 C'至点 C． 按照上述方法即可得到还原按钮 — — —【移动 C'→C】 ， 点击此按钮， 四边形 C'D'G'E'即可回到原来的位置．3移动∠B— — —四边形 BFGD 到四边形 AF'G'D'的位置( 1) 将移动四边形 B'F'G'D'绕点 B'逆时针旋转180°．段 BA 上任取一点 B'， 依次选择 B， F， 点击【变换】 /【标记向量】 ， 选择点 B'， 点击【变换】 /【平移】 ， 在【平移】 窗口中， 选择【标记】 ， 点击【平移】 ， 即得到点 F的对应点 M( 旋转的起点) ． 将点 M 绕点 B'逆时针旋转180°: 双击点 B， 选择点 M， 点击【变换】 /【旋转】 ， 在【旋转】 窗口的【旋转参数】 中选定固定角度， 输入 180°， 点击 【旋转】 后， 得到点 N( 旋转的终点) ． 依次选择点 B， M，N， 点击 【构造】 /【圆上的弧】 ， 得到半圆弧)MN， 即旋转的路径．在这弧上任取一点 F'， 作射线 B'F'． 依次选取点 F，B， D， 点击 【变换】 /【标记角度】 ， 双击点 B'， 选取射线 B'F'， 点击 【变换】 /【旋转】 /【标记角度】 /【旋转】 ， 得到 BD的对应射线， 再在这射线上截取 B'D' = BD( 隐藏辅助线) ， 点 D'就是点 D 的对应点， 同理可以作出点 G 的对应点 G'， 得到移动的对象四边形 B'F'G'D'． 此时只须移动点 F'， 这个四边形就可以绕点 B'旋转了．( 2) 制作旋转按钮【移动 F'→N】 和复原按钮【移动F'→M】 的方法如同 2 － ( 2) 所述．( 3) 将上述四边形 B'F'G'D'沿着路径 BA 从点 B 移动至点 A( 方法同 2 － ( 2) ) ． 并制作移动按钮【移动 B'→A】 和复原按钮 【移动 B'→B】 ．( 4) 合并按钮， 选择旋转按钮【移动 F'→N】 和移动按钮【移动 B'→A】 ， 点击【编辑】 /【操作类按钮】 /【系列】 ， 选择 【同时进行】 /【末动作停止】 ， 并在【标签】 窗口中输入按钮的名称“拼图” ， 点击【确定】 ， 画布上出现【拼图】 按钮， 同样可以将两个复原按钮合并为一个【复原】 按钮， 将前面的四个按钮隐藏起来， 点击【拼图】 后，四边形 B'F'G'D'沿着 BA 从点 B 移动到点 A， 并且逆时针旋转了 180°， 点击 【复原】 按钮它就回到原处．上述将∠B— — —四边形 BFGD 到四边形 AF'G'D'的位置的制作中有些步骤略显重复， 考察图形在运动过程中， 平移与旋转同时进行， 并没有分开， 即当点 B'从点 B沿着路径 BA 移动到点 A 时， 图形还绕着点 B'旋转了180°， 如果认定在移动过程中图形的旋转是等速的， 则当点 B'移动到线段 BA 的某一点 B'时， 图形从初始位置绕点 B'旋转的旋转角为BB'BA·180°， 于是有了下述的简洁作法．36·教育技术·( 2011 年第 4 期·初中版)4另作移动∠B— — —四边形 BFGD 到四边形 AF'G'D'的位置( 1) 段 BA 上任取一点 B'， 按照 2 － ( 1) 的方法作出移动对象— — —四边形 B'MNL．( 2) 选择点 B， B'， 点击 【度量】 /【距离】 ， 得到 BB'的度量值， 同样可以得到 BA 的度量值． 再点击【数据】 /【计算】 ， 在 【计算】 窗口内， 点击【BB'的度量值】 /【÷ 】 /【BA 的度量值】 /【* 】 /【180】 /【单位】 /【度】 /【确定】 ，画布上出现计算结果—OB BC'·180° =24． 39° —角度值．选取这个角度值， 点击【变换】 /【标记角度】 ， 双击旋转中心点 B'， 选取旋转点 M， N， L， 点击【变换】 /【旋转】 /【标记角度】 /【旋转】 ， 得到点 M， N， L 的对应点 F'， G'，D'， 隐藏点 M， N， L， 顺次连接 B'， F'， G'， D'得到旋转中的图形． 移动点 B'， 这个四边形绕着点 B'旋转．图 5( 3) 制作移动按钮， 操作并控制四边形 B'F'G'D'的移动．5整理合并将两个四边形的移动按钮和复原按钮合并， 并隐藏合并前的按钮以及度量值等辅 助 元 素， 使 画 布 清 晰 整洁． 还可以将△ABC 的三个部分涂上不同的颜色， 便于观察， 分析．例2勾股定理的拼摆证法— — —赵爽弦图的拼图动画．这个拼图是把 4 个全等的直角三角形拼成如图 5所示的正方形．分析这 4 个三角形从初始位置移动到目标位置，其中△A1B1C1是平移， △A2B2C2， △A3B3C3， △A4B4C 4在移动过程中， 分 别 按 逆 时 针 方 向 旋 转 了 90°， 180°，－90°．作法选择三角形中最小角的顶点 A1， A2， A3， A4作为移动的主动点， 在画布上适当取一点 P 作为 Ai( i = 1，2， 3， 4) 的起始位置．( 1) 制作移动对象— — —4 个全等的直角三角形( 斜边处在水平位置) ， 并涂上相同的颜色．( 2) 确定目标位置． 以直角三角形的斜边为边作一个水平放置的正方形， 这个正方形的顶点 A， B， C， D 就是顶点 A1， A2， A3， A4移动的目标位置．( 3) 制作移动△A1B1C1到△ABC1的位置的移动按钮【移动 A1→A】 和还原按钮【移动 A1→P】 ( 方法同 2 －( 2) ) ．( 4) 制作移动△A2B2C2到△BCC2的位置的过程中的某个图形． 度量 PB， PA1的值， 在 【数据】 菜单中， 点击【计算】 /【PA1的距离】 /【÷ 】 /【PB 的距离】 /【* 】 /【90】 /【单位】 /【度】 /【确定】 ， 画布上出现计算结果— — —角度值． 选取这个角度值( 为旋转角) ， 点击【变换】 /【标记角度】 ， 双击旋转中心点 A2， 选取旋转点 B2， C2， 点击【变换】 /【旋转】 /【标记角度】 /【旋转】 ， 得到点 B2， C2的对应点， 隐藏点 B2， C2， 顺次连接这些对应点， 得到旋转中的三角形． 移动点 A2， 这个三角形绕着点 A2旋转．( 5) 制作移动△A2B2C2到△BCC2的位置的移动按钮【移动 A2→B】 和还原按钮 【移动 A2→P】 ．同理制作移动 △A3B3C3到 △CDC3， △A4B4C4到△DAC4移动按钮 【移动 A3→C 】 、 【移动 A 4→D】 和还原按钮 【移动 A3→P 】 、 【A4→P】 ．( 6) 简化按钮． 制作 【拼图】 按钮: 选择按钮【移动 A1→A】 /【移动 A2→B】 /【移动 A3→C】 /【移动 A4→D】 ， 点击 【编辑】 /【系列】 ， 并在【标签】 窗口中输入“拼图” ， 点击 【确定】 ，隐藏前 4 个按钮， 同理将 4 个还原按钮合并为【还原】 按钮．将画布上不必要的元素隐藏后， 点击按钮【拼图】 ， 4个直角三角形缓缓移动， 拼摆成漂亮的弦图． 再利用面积关系， 就有了 4 ×1 2ab = c2－ ( a － b)2， 化简即得 a2+b2= c2． 勾股定理就在这拼图过程中， 生动、 直观、 自然地给予印证．( 收稿日期: 20110206)46( 2011 年第 4 期·初中版)·教育技术·。