新教材2022学年湘教版数学必修第一册学案-4.1.1有理数指数幂.doc

41 实数指数幂和幂函数 41.1 有理数指数幂 新课程标准解读 核心素养 理解 n 次方根、n 次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值 数学抽象、数学运算 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一名成员希帕索斯考虑了一个问题： 边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 2的诞生 问题 若 x23， 这样的 x 有几个？它们叫做 3 的什么？怎样表示？ 知识点一 根式 1n 次方根 定义 若一个(实)数 x 的 n 次方(nN N，n2)等于 a，即 xna，则称 x 是a的 n 次方根 性 质 n 为 奇数 a 的 n 次方根记作 na (1)当 a0 时，na0； (2)当 a0 时，na0； (3)当 a0 时，na0 时，xna 规定 n00；负数没有偶次方根 2根式 (1)定义：式子na叫作根式(nN N，n2)，其中 n 叫作根指数，a 叫作被开方数； (2)性质：(n1，且 nN N) (na)na； nana，n为奇数，|a|，n为偶数. 注意nan与(na)n的区别 (1)nan是实数 an的 n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受 n 的奇偶限制，但这个式子的值受 n 的奇偶限制其算法是对 a 先乘方，再开方(都是 n 次)，结果不一定等于 a，当n 为奇数时，nana；当 n 为偶数时，nan|a|a，a0，a，a0，m，nN N且 n2) 负分数指数幂 规定：1nam1amnamn(a0，m，nN N且 n2) 0 的分数指数幂 0 的正分数指数幂为0，0 的负分数指数幂没有意义 2指数幂的运算性质 (1)asatast(a0，s，tQ Q)； (2)(as)tast(a0，s，tQ Q)； (3)(ab)tatbt(a0，b0，tQ Q) 1为什么分数指数幂的底数规定 a0? 提示：当 a0)( ) (2)分数指数幂 amn可以理解为mn个 a 相乘( ) (3)0 的任何指数幂都等于 0.( ) (4)化简式子( 3)212的结果是 3.( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 根式的概念 例 1 (1)16 的平方根为_，27 的 5 次方根为_； (2)已知 x76，则 x_ 解析 (1)( 4)216， 16 的平方根为 4.27 的 5 次方根为527. (2)x76，x76. 答案 (1) 4 527 (2)76 判断关于 n 次方根的结论应关注两点 (1)n 的奇偶性决定了 n 次方根的个数； (2)n 为奇数时，a 的正负决定着 n 次方根的符号 跟踪训练 1(多选)下列说法正确的是( ) A16 的 4 次方根是 2 B.416的运算结果是 2 C当 n 为大于 1 的奇数时，na对任意 aR R 都有意义 D当 n 为大于 1 的偶数时，na只有当 a0 时才有意义 解析：选 CD 16 的 4 次方根应是 2；4162，所以正确的应为 C、D. 2已知 m102，则 m 等于( ) A.102 B102 C. 210 D102 解析：选 D m102，m 是 2 的 10 次方根又10 是偶数，2 的 10 次方根有两个，且互为相反数m102. 利用根式的性质化简与求值 例 2 (链接教科书第 94 页例 1)化简与求值： (1) 3（5）3； (2) 4（9）2； (3) 64a24a1a12； (4) x22xyy25（yx）5. 解 (1) 3（5）35. (2) 4（9）24814343. (3)a12，12a0， 64a24a16（2a1）26（12a）2312a. (4)原式 （xy）2yx|xy|yx. 当 xy 时，原式xyyx0； 当 xy 时，原式yxyx2(yx) x22xyy25（yx）50，xy，2（yx），x0)，3a6，1a3(a0), a a(a0) 解 a155a；a34(a0)4a3；3a6a63a2； 1a3(a0)1a32a32； a a(a0) aa12 a32a34. 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子； (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题 跟踪训练 1(多选)下列结论中正确的有( ) A(2)64(2)32 B(2)(3)12(2)12(3)12 C当 a0 时，(ar)s(as)r D.42( 2)12 解析： 选 CD 对于 A 选项， (2)640， 而(2)32无意义， 错误； 对于 B 选项， 左侧 6，右侧无意义，错误C、D 均正确 2用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： (1)13a2；(2)a33a2；(3) 3ba2. 解：(1)13a21a23a.23 (2)a33a2a3a23a323a113. (3) 3ba2ba213b131a213b13(a2)13b13a23. 有理数指数幂的运算 例 4 (链接教科书第 95 页例 4)计算下列各式： (1)33823(0.002) 1210( 52)1( 2 3)0； (2)(a2b3) (4a1b) (12a4b2c) 解 (1)原式(1)233382315001210521278235001210( 52)14910 510 52011679. (2)原式4a21b31(12a4b2c)13a3(4)b2(2)c113ac1a3c. 指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数； (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答； (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一 跟踪训练 计算下列各式(式子中字母都是正数)： (1)0.0272327125132790.5； (2)()2a23b12()6a12b13()3a16b56. 解：(1)0.0272327125132790.5(30.027)23125272590.0953530.09. (2)原式2(6) (3)a231216b1213564ab04a. 1若 xy0，则使 4x2y22xy 成立的条件可能是( ) Ax0，y0 Bx0，y0 Cx0，y0 Dx0，y0 解析：选 B 4x2y22|xy|2xy，xy0.又xy0，xy0，故选 B. 2(多选)下列运算结果中，一定正确的是( ) Aa3a4a7 B(a2)3a6 C.8a8a D5（）5 解析：选 AD a3a4a34a7，故 A 正确；当 a1 时，(12)31，显然不成立，故B 不正确；8a8|a|，故 C 不正确； 5（）5，故 D 正确故选 A、D. 3若 2a3，则 （2a）2 4（3a）4的化简结果是( ) A52a B2a5 C1 D1 解析：选 C 原式|2a|3a|，2a0，y0)： (1)x23_；(2)x35_；(3)x12y47_ 答案：(1)3x2 (2)15x3 (3)7y4x 5计算：(0.008 1)143560810.25278131210(0.027)13_ 解析：原式1033132312383. 答案：83 。