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[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]陕西省专升本考试高等数学模拟6[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]陕西省专升本考试高等数学模拟6陕西省专升本考试高等数学模拟6第一部分 选择题一、单项选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．问题:1. 下列说法正确的是______A.无穷小的和为无穷小B.无穷小的商为无穷小C.两个无穷大的差为无穷小D.无限个无穷大的积为无穷大答案:D[解析] 无限多个(或有限多个)无穷大量的乘积仍是无穷大量．问题:2. 设，则f(27)(π)=______ A．0 B． C． D．227 答案:A[解析] 因为 所以 问题:3. 设f(x)=arctanx2，则______A.xf(x2)B.-xf(x2)C.2xf(x2)D.-2xf(x2)答案:A[解析]问题:4. 级数的收敛域是______A.x＜-1B.x＞0C.0＜x＜1D.-1＜x＜0答案:B[解析] 即x＞0时，级数收敛．问题:5. 设f(x，y)连续，且，其中D是由y=0、y=x2、x=1围成的区域，则f(x，y)=______ A．xy B．2xy C． D．xy+1 答案:C[解析] 记 从而，选项C正确 第二部分 非选择题二、填空题问题:1. 定积分答案:[解析]问题:2. 极限答案:1[解析] 令，所以y→1，x→+∞，即问题:3. 已知矢量a={3，2，-2}与垂直，则m=______．答案:4[解析] 根据向量垂直的充要条件得3+5-2m=0所以m=4．问题:4. 微分方程y"+y+y=0的通解为______．答案:[解析] y"+y+y=0对应的特征方程为r2+r+1=0，其特征根为，故微分方程通解为．问题:5. 设函数z=xe2y，则其在点P(1，0)处沿从点P(1，0)到点Q(2，-1)的方向的方向导数为______．答案:[解析] 方向l即为 所以 故 三、计算题本大题共10小题，每小题8分，共80分．计算题要有计算过程．问题:1. 已知函数在(-∞，+∞)内连续，求a的取值．答案:由初等函数连续性的性质知，一切初等函数在其定义区间内皆连续．当x≠0时，函数，所以函数f(x)在x≠0时是处处连续的，要使函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，只需使其在x=0处连续即可．由已知题设必有 即 因 而f(0)=a，于是，2+2a=a，得a=-2． 问题:2. 设函数y=y(x)由方程y=(lnx)xxlnx确定，求y．答案:问题:3. 求曲线的凹凸区间及拐点．答案:函数的定义域是(-∞，+∞)，且 当时，y"=0；当x2=0时，y"不存在，故以和x2=0将定义域分成三个部分区间，列表讨论如下： x 0 (0，+∞) y" - 0 + 不存在 + y=f(x) 凸 有拐点 凹 无拐点 凹 所以，在内曲线是凸的，在内曲线是凹的，曲线的拐点为，而在x=0处曲线无拐点． 问题:4. 计算定积分答案:方法一 凑微分法 方法二 第二换元法 问题:5. 设，其中f(u)，g(v)分别为可微函数，求答案:问题:6. 求，其中D是由直线y=x，y=1及y轴围成的区域．答案:积分区域D如图所示，由于被积函数f(x，y)=e-y2，因此该二重积分适宜于化为“先对x积分，后对y积分”的二次积分进行计算． 又区域D可表示为：于是， 问题:7. 将函数展开成(x-1)的幂级数．答案:因为又所以问题:8. 设，求答案:因为，于是故 故 问题:9. 计算曲线积分，其中L为圆周(x-a)2+y2=a2(a＞0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)．答案:如图，L1的参数方程为 L2的方程为 问题:10. 求微分方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0满足y|x=e=1的特解．答案:原方程可化为于是，方程有通解为将初始条件y|x=e=1代入，有，故满足条件的特解为四、应用题与证明题本大题共2小题，每小题10分，共20分．应用题的计算要有计算过程，证明题要有证明过程．问题:1. (1)求曲线y=x2，y=2-x2所围图形的面积； (2)求(1)中图形绕y轴旋转一周所生成的旋转体体积． 答案:(1)联立方程得交点(1，1)，由对称性所求面积为 (2)所求体积 问题:2. 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上二阶可导，且g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证： (1)在(a，b)内，g(x)≠0； (2)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得 答案:[证明] (1)若存在x0∈(a，b)，使g(x0)=0，则由罗尔定理得，必存在x1∈(a，x0)和x2∈(x0，b)，使得 g(x1)=g(x2)． 再由罗尔定理得，存在ξ∈(x1，x2)(a，b)，使得g"(ξ)=0，这与g"(x)≠0，x∈[a，b]矛盾，所以在(a，b)内g(x)≠0； (2)令F(x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)． 由已知条件得，函数F(x)在[a，b]上满足罗尔定理的条件，故必存在ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0，即 f(ξ)g(ξ)+f(ξ)g"(ξ)-f"(ξ)g(ξ)-f(ξ)g(ξ)=0， 即 9 / 9。