第2讲-2 圆内接四边形的性质与判定定理.docx

圆内接四边形的性质与判定定理靜谕自主导学理敎材自查自测固“基础自主学 习区I课标解读1. 了解圆内接四边形的概念.2.掌握圆内接四边形的性质、判定定理及其推 论，并能解决有关问题.1．圆内接四边形的性质定理⑴定理1：圆的内接四边形的对角互补.如图2-2-1：四边形ABCD内接于00,则有：ZA+ZC=180°,ZB+ZD=180°.(2)定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角如图2-2-2：ZCBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：ZCBE=4・2．圆内接四边形的判定定理及其推论⑴判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆1．“内接于圆的平行四边形、菱形、梯形分别是矩形、正方形、等腰梯形”这种说法正确吗？【提示】 正确.根据圆内接四边形的对角互补可证.2．圆内接四边形的性质定理和它的判定定理及推论有何关系？【提示】 性质定理1 和判定定理互为逆定理，性质定理2 和判定定理的推论互为逆定理靜壬互动探究破疑.难师生互动提“知能合作探 究区I也喻 ......_圆内接四边形的性质如图2-2-3, 在 Rt^ABC中，ZACB=90。

在AB上截取PA=AC，以PC为直径的圆分别交AB、BC、AC于D、E、F.求证:PA_DAPB=DP【思路探究】 先利用PC是圆的直径，得到PF〃BC，再利用圆内接四边形的性质，得到DF〃PC，最后利用平行线分线段成比例证明结论．【自主解答】 连接 DF、 PF.•・・pc是直径，・・・PF丄AC.•・・BC丄AC,・・・pf〃bc，・・・PB_FC.••四边形PCFD内接于00, .\ZADF_ZACP，• AP_ AC，AZAPC_ZACP.・・・ZADF=ZAPC. ・・・DF〃PC，DA FA PA DA• • ••DP_FC'・PB_DP.I规律方法I1．在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等．2．圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件 从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．如图2-2-4所示，已知四边形ABCD内接于©0,延长AB和DC相交于点E, EG平分ZAED，且与BC、AD分别交于F、G.BCD图 2-2-4求证：NCFG=NDGF.【证明】•・•四边形ABCD内接于©0, AZEBF=ZADE.又EF是ZAED的平分线，则 NBEF=NDEG,・・・AEBFsAEDG. ・・・ZEFB=ZDGF.又 VZEFB=ZCFG,・・・NCFG=NDGF.图 2-2-5逐 ■圆内接四边形的判定如图 2-2-5 所示，在AABC 中，AD=DB, DF丄AB 交 AC 于 F, AE=EC, EG丄AC 交 AB 于 G, 求证:(l)D、E、F、G四点共圆;(2)G、 B、 C、 F 四点共圆．【思路探究】 (1)要证 D、 E、 F、 G 四点共圆,只需找到过这四点的外接圆的圆心,证明圆心到四点的距离相等，可取GF的中点H,证点H即为圆心.(2)要证G、B、C、F四点共圆，只需证ZB=ZAFG(或ZC=ZAGF)，由D、E为中点，可知DE〃BC,NB=ZADE,故只需证ZADE=ZAFG，由D、E、F、G四点共圆可得.【自主解答】 ⑴如图，连接GF,取GF的中点H. TDF丄AB, EG丄AC, .•.△DGF, △EGF都是直角三角形.又••点H是GF的中点，.••点H到D、E、F、G的距离相等，.••点H是过D、E、F、G的外接圆的圆心，・ D、 E、 F、 G 四点共圆.(2)连接DE.由⑴知D、G、F、E四点共圆.由四点共圆的性质定理的推论，得 ZADE=ZAFG.•・・AD=DB, AE=EC,・・・D是AB的中点，E是AC的中点，・・・DE〃BC,・・・ZADE=ZB,・・・ZAFG=ZB,・・・G、B、C、F四点共圆.I规律方法I1．解答本题(1)是利用到定点的距离等于定长的点在同一圆上来证明的,本题(2)利用了圆内接四边形判定 定理的推论来证明的．2．判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆；(2)如果一个四边形的一 组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆；(4)与线段两端点连线夹角相等(或互补)的点连同该线段两端点在内共圆．4变武illl练图 2－2－6如图2-2-6，在AABC中，E, D, F分别为AB, BC, AC的中点，且AP丄BC于P,求证：E, D, P, F四 点共圆．【证明】 TAP丄BC, F为AC的中点,・・・PF是RtAAPC斜边上的中线,/.PF=FC,AZFPC=ZC,•・・E、F、D分别为AB、AC、BC的中点,・・・EF〃CD, ED〃FC,・•・四边形EDCF为平行四边形,AZFED=ZC,AZFPC=ZFED,・ E、 D、 P、 F 四点共圆.圆内接四边形的综合应用如图2-2-7，已知AABC中，AB=AC, D是AABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A, C重合)，延长 BD 至 E.EcB图 2-2-7⑴求证：AD的延长线DF平分ZCDE；⑵若NBAC=30°,AABC中BC边上的高为2+\：勺，求AABC外接圆的面积.【思路探究】 (1)利用同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形的性质定理求解．⑵外接圆的圆心在BC边的高上，设出外接圆的半径为r用r表示BC边上的高.【自主解答】 (1)证明：如图，TA、B、C、D四点共圆,.\ZCDF=ZABC.又 AB=AC,/.ZABC=ZACB,且 ZADB=ZACB,/.ZADB=ZCDF,又由对顶角相等得ZEDF=ZADB,故 ZEDF=ZCDF,即AD的延长线DF平分ZCDE.(2)设0为外接圆圆心，连接A0并延长交BC于H,则AH丄BC.连接0C,由题意ZOAC=ZOCA=15°,ZACB= 75°.・・・Z0CH=60°.设圆半径为r,则r+乎r=2+J3,得r=2,外接圆的面积为4n.I规律方法I1•解答本题⑵时关键是找出外接圆的圆心位置，然后用外接圆的半径表示出BC边上的高.2. 此类问题综合性较强,考查知识点较为丰富,往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用,最终 得到某些结论的成立.如图2-2-8所示，AB、CD都是圆的弦，且AB〃CD, F为圆上一点，延长FD、AB使它们交于点E.求证：AE ・AC=AF・DE.图 2-2-8【证明】如图，连接BD,•・・AB〃CD,・・・BD=AC. TA、B、D、F四点共圆, ・・・NEBD=NF.又 VZDEB=ZFEA, •••△EBDs&FA.・ DE_BD ・ DE_AC ••AE=AF. ・AE=AF， 即 AE・ AC_AF ・DE.真题链接赏析珍链接（教材第30页习题2.2第3题）如图2-2-9,已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E,EG平分ZE,且与BC、AD分别相交于F、G,求证：ZCFG_ZDGF.图 2-2-9诊赏析（2018 •广州调研）四边形ABCD内接于00, BC是直径，AB =40°，则ZD_ ,【解析】如图连接AC. I AB _40°/.ZACB_20°,ZBAC_90°・・・ZB_180°-ZBAC-ZACB_70°・・・ND_180°-NB_110°.答案】 110°随堂练生生互动达“双标”交流学 习区*1. 四边形ABCD内接于圆0,延长AB到E,ZADC_32°，则ZCBE等于（ ）A．32° B．58°C.122° D.148。

解析】根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角知，NCBE_32°.【答案】 A2．下列说法正确的有( )① 圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角；② 圆内接四边形的对角相等；③ 圆内接四边形不能是梯形； ④在圆的内部的四边形叫圆内接四边形．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【解析】①是圆内接四边形的性质定理2,正确.由于圆内接四边形的对角互补，不一定相等，②不正确.圆 内接四边形可以是梯形，③不正确；顶点在同一个圆上的四边形叫圆内接四边形.④不正确.【答案】 B3. 如图2-2-10,两圆相交于A, B,过A的直线交两圆于点C, D,过B的直线交两圆于点E, F,连CE, DF,若ZC=115°，则ZD= .图 2-2-10【解析】如图，连接AB,VZC=115°,・・・ZABE=65°,AZD=ZABE=65°.【答案】 65°4. 四边形 ABCD 内接于圆 O,ZA ：ZB ：ZC=2 ： 3 ： 7，则ZD= .【解析】•・•圆内接四边形的对角互补，・・・ZA+ZC=180°.又 VZA : ZB : ZC=2 ： 3 ： 7, ・・・ZA=40°,ZB=60°,ZC=14O°.又 ZB+ZD=180°,・・・ZD=180°-60°=120°.答案】120°彳早方知能检测课下测 自我评估提“考欽”演练提 升区I一、选择题1.如图2-2-11, ABCD是。

0的内接四边形，延长BC到E,已知ZBCD : ZECD=3 : 2,那么ZBOD等于（图2－2－11A.120° B.136° C.144° D.150°【解析】设 ZBCD=3x,ZECD=2x,・・・5x=180°,・・・x=36°,即 ZBCD=108°,ZECD=72°. ・・・ZBAD=72°,・・・ZB0D=2ZBAD=144°.【答案】 C2. 如图2-2-12，在00中，弦AB的长等于半径，ZDAE=80°，则ZACD的度数为（ ）A.30° B.45°C.50° D.60°【解析】连接OA, 0B,VZBCD=ZDAE=80°,ZA0B=60° ,/.ZBCA=|zA0B=30°,AZACD=ZBCD-ZBCA=80°-30°=50°.答案】 C图2-2-133. 如图2-2-13所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点P,对角线AC和BD相交 于点Q,则图中共有相似三角形的对数为（）A.4 B.3C.2 D.1【解析】 利用圆周角和圆内接四边形的性质定理，可得△ pcdsapab,aqcdsaqba,aaqdsabqc, △PACs^pbd.因此共4对.【答案】 A图 2－2－144. 如图2-2-14, AB是00的弦，过A、O两点的圆交BA的延长线于C,交OO于D,若CD=5 cm,则CB等于（)A.25 cm B. 15 cmC.55 cm D. 2 cm解析】 连接 OA， OB， 。