第02章电路分析与定理.ppt

第02章电路分析与定理￿￿￿￿Still￿waters￿run￿deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深￿￿￿￿Where￿there￿is￿life,￿there￿is￿hope有生命必有希望有生命必有希望2.1 网络图论的概念网络图论的概念图的概念：对于一个由图的概念：对于一个由集中参数元件集中参数元件组成的电网络，组成的电网络，若用线段表示支路，用黑圆点表示节点，由此得到一若用线段表示支路，用黑圆点表示节点，由此得到一个由线条和点所组成的图形，称此图为原电网络的拓个由线条和点所组成的图形，称此图为原电网络的拓扑图，简称为图扑图，简称为图2.1.1 电路图与拓扑图电路图与拓扑图实际电路图实际电路图线图是由点（节点）和线段（支路）组成，线图是由点（节点）和线段（支路）组成，反映实际反映实际电路的结构电路的结构（支路与节点之间的连接关系）支路与节点之间的连接关系）对应的线图对应的线图有向图有向图 如果线图各支路规定了一个方向（用如果线图各支路规定了一个方向（用箭头表示，一般取与电路图中支路电流箭头表示，一般取与电路图中支路电流方向一致），则称为有向图方向一致），则称为有向图。

有向图有向图 b 表示支路数表示支路数 n 表示节点数表示节点数 表示网孔数表示网孔数回路：回路：由若干支路组成的通路由若干支路组成的通路网孔回路网孔回路：回路内无任何支路，则此：回路内无任何支路，则此回路称为网孔回路回路称为网孔回路2.1.2 树的概念树的概念 树树T是图是图G的一个子图，它包含所的一个子图，它包含所有节点与一些支路的集合有节点与一些支路的集合树树T满足下面三个条件：满足下面三个条件：§T是连通的；是连通的；§包含包含G的全部节点；的全部节点；§不包含回路不包含回路有向图有向图G树树T2 有向图树的选择有向图树的选择是不唯一的，一般是不唯一的，一般可选出多个树可选出多个树树树T1树支、连支、单连支回路树支、连支、单连支回路树树T所包含的支路称为所包含的支路称为树支树支；；（图中支路（图中支路1、、2、、3））图图G中其余的支路称为中其余的支路称为连支连支；；（图中支路（图中支路4、、5、、6））树支数树支数 = n －－1 (节点数减节点数减1））连支数连支数=支路数－支路数－ 树支数树支数 = b －－ n＋＋1 =（网孔数）（网孔数）单连支回路单连支回路回路回路1回路回路2回路回路3单连支回路：每一连支可与其两端之间的唯单连支回路：每一连支可与其两端之间的唯一树支路径构成一条唯一的回路。

此回路称一树支路径构成一条唯一的回路此回路称为单连支回路回路方向与连支一致为单连支回路回路方向与连支一致如选如选1、、2、、3为树支，则有连支为树支，则有连支4、、5、、6组组成的单连支回路如下成的单连支回路如下 选定了有向图的树，则单连支回路的路径与方向也唯一选定了有向图的树，则单连支回路的路径与方向也唯一确定了选选1、、4、、6为树的单连支回路为树的单连支回路选选1、、2、、3为树的单连支回路为树的单连支回路已知连支电流可解出电路各支路电流已知连支电流可解出电路各支路电流! 以以支支路路电电流流作作为为未未知知量量，，直直接接应应用用KCLKCL和和KVLKVL建建立立电电路路方方程程，，然然后后求求解解所所列列的的方方程程组组解解出出各各支支路路电电流流，，这这种种方方法法称称为为支路电流法支路电流法2.2 支路电流法支路电流法 电路节点数为电路节点数为n n，，支路数为支路数为b b. . 为求为求b b个支路电流，必须有个支路电流，必须有b b个独立方程个独立方程 如图所示电路，共有如图所示电路，共有4个节个节点，点，6条支路，设电源和电阻条支路，设电源和电阻的参数已知，用支路电流法的参数已知，用支路电流法求各支路电流。

求各支路电流下面介绍支路电流法求支路电流的步骤及方程的选取：下面介绍支路电流法求支路电流的步骤及方程的选取：1>. 对各支路、节点编号，并对各支路、节点编号，并标出支路电流的参考方向标出支路电流的参考方向2>. 根据基尔霍夫节点电流定根据基尔霍夫节点电流定律，列出节点电流方程：律，列出节点电流方程：节点节点1：：-I1-I2+I3=0节点节点2：：+I2+I4+I5=0节点节点3：： -I3-I4+I6=0节点节点4：： +I1-I5-I6=0注意：注意：节点节点4的电流方程为其余的电流方程为其余3个方程的线性组合，此方程个方程的线性组合，此方程 为非独立方程，在计算时应删除为非独立方程，在计算时应删除 在用支路法计算时，只需列出在用支路法计算时，只需列出 n-1 个独立的节点电流个独立的节点电流 方程建立节点电流方程建立节点电流方程3>. 根据基尔霍夫回路电压定律，列根据基尔霍夫回路电压定律，列出回路电压方程：出回路电压方程： 建立回路电压方程时，可选取建立回路电压方程时，可选取网孔网孔回路回路或或单连支回路单连支回路。

电路中无电流源电路中无电流源支路时，可选择网孔回路支路时，可选择网孔回路网孔回路电压方程必为独立方程网孔回路电压方程必为独立方程网孔回路电压方程数网孔回路电压方程数=b（支路数）－（支路数）－n（节点数）＋（节点数）＋1建立回路电压方程建立回路电压方程回路回路1：：I1×R1－－US1－－I2×R2＋＋I5×R5=0回路回路2：：I3×R3＋＋US3－－I4×R4＋＋I2×R2=0回路回路3：：I4×R4＋＋I6×R6－－I5×R5=0 图中设定三个网孔回路的绕行方向，图中设定三个网孔回路的绕行方向，列出回路电压方程：列出回路电压方程：解出支路电流解出支路电流4>. 由由n-1个节点电流方程和个节点电流方程和b-n+1个网孔电压方程（共个网孔电压方程（共b 个方程）可解出个方程）可解出b个支路电流变量个支路电流变量回路回路1：：I1×R1－－US1－－I2×R2＋＋I5×R5=0回路回路2：：I3×R3＋＋US3－－I4×R4＋＋I2×R2=0回路回路3：：I4×R4＋＋I6×R6－－I5×R5=0节点节点1：：-I1-I2+I3=0节点节点2：：+I2+I4+I5=0节点节点3：： -I3-I4+I6=0由上面的六个方程可解出六个支路电流变量。

由上面的六个方程可解出六个支路电流变量支路电流法例题支路电流法例题1例例1. 图示电路，图示电路，US1=10V，，US3=13V，，R1=1   ，，R2=3   ，，R3=2 ，求各支路电流及电，求各支路电流及电压源的功率压源的功率用支路电流法解题，参考方向见图用支路电流法解题，参考方向见图－－I1＋＋I2－－I3=0I1 ×R1－－US1＋＋ I2 ×R2=0I2 ×R2＋＋I3×R3－－US3=0－－ I1 ＋＋ I2 －－ I3 =0I1 －－10＋＋3× I2 =03×I2 ＋＋2× I3 －－13=0解得：解得： I1 =1A，， I2 =3A，， I3 =2A 电压源电压源US1的功率：的功率：PUS1=US1× I1 =10×1=10W (发出）发出） 电压源电压源US3的功率：的功率：PUS3=US3× I3 =13×2=26W (发出）发出）支路电流法例题支路电流法例题2例例2. 图示电路，图示电路，US=7V，，R1=1   ，，R2=3   ，，IS=1A求各支路电求各支路电流及电流源的功率流及电流源的功率。

外围有电流源支路）（外围有电流源支路） 节点电流方程节点电流方程 I1－－I2＋＋IS=0 网孔网孔1电压方程电压方程 －－I1×R1－－I2×R2－－US=0解：解：取网孔回路方向如图，列节取网孔回路方向如图，列节点电流方程和网孔点电流方程和网孔1的电压方程的电压方程如下如下代入数据得代入数据得 I1－－I2＋＋1=0 解得解得 I1= －－2.5A －－I1－－3×I2－－7=0 I2= －－ 1.5A电流源功率为电流源功率为 PIS=(I2×R2) ×IS= －－4.5W (吸收功率吸收功率) 网孔网孔2因为存在电流源，无法列写因为存在电流源，无法列写电压方程实际上电压方程实际上由于电流源支路由于电流源支路的电流已知，支路电流变量数减少的电流已知，支路电流变量数减少一个，该网孔电压方程无需列写一个，该网孔电压方程无需列写I1－－I2＋＋IS=0－－I1×R1－－I2×R2－－US=0支路电流法例题支路电流法例题3例例3. 图示电路，图示电路，US1=1V，，US2=5V，，IS2=2A，，IS4=4A，，R1=1   ，，R3=3  ，，R4=4 ，，R5=5  ，求各支路电流及电，求各支路电流及电流源的功率。

流源的功率解：支路及节点见图，对节点解：支路及节点见图，对节点1，，2列电流方程列电流方程 －－I1－－IS2＋＋I3=0 －－I3－－IS4＋＋I5=0电路中存在两条电流源支路，电路中存在两条电流源支路，选取支路选取支路1，，3为树支为树支，则连支，则连支5的单连支回路电压方程为的单连支回路电压方程为:I5×R5＋＋I1×R1－－US1＋＋I3×R3=0 代入数据得：代入数据得： －－I1－－2＋＋I3 =0 －－I3－－4＋＋I5 =0 5×I5 ＋＋ I1 －－1＋＋3× I3 =0解得解得 I1 =－－3.89A I3 =－－1.89A I5 =2.11A电流源电流源IS2、、 IS4两端的电压两端的电压UIS2、、 UIS4为为UIS2=US1－－R1×I1－－US2=1－－1×(－－3.89)－－5=－－0.11VUIS4=R5×I5＋＋R4×IS4=5×2.11＋＋4×4= 26.55V电流源电流源IS2、、 IS4的功率为的功率为PIS2= UIS2×IS2=－－0.22W (吸收功率）吸收功率）PIS4= UIS4×IS4=106.2 W (发出功率）发出功率）支路电流法例题支路电流法例题4 （包含受控源支路分析）（包含受控源支路分析）例例4. 图示电路，图示电路，US1=1V，，，，R1=1   ，，R2=2   ，，R3=3 ，， =3，求各支路电流。

求各支路电流解：电路中存在一个电压控制电压源（解：电路中存在一个电压控制电压源（VCVS），对于存在受），对于存在受控源电路，用支路电流法解题时，控源电路，用支路电流法解题时，①①受控源先当作独立电源受控源先当作独立电源，，列节点和网孔方程列节点和网孔方程 I1＋＋I2＋＋I3=0 I1×R1－－I2×R2－－US1=0 I2×R2＋＋  U1－－I3×R3=0②②补充受控源控制变量关系式补充受控源控制变量关系式(控制变量表示为支路电流控制变量表示为支路电流) U1=－－R1×I1代入数据代入数据 I1＋＋I2＋＋I3=0 I1－－2×I2－－1=0 2×I2＋＋3×U1－－3×I3=0 U1=－－I1解得解得 I1=1A，，I2=0A，，I3=－－1A2.3 网孔电流法网孔电流法 支支路路电电流流法法直直接接应应用用KCL，，KVL解解电电路路，，很很直直观观，，其其电电路路方方程程个个数数为为支支路路数数b。

但但是是当当支支路路数数很很多多时时，，必必须须建建立立b个方程，求解工作量颇大个方程，求解工作量颇大 网孔电流法分析解决问题的出发点是：对于电路中实网孔电流法分析解决问题的出发点是：对于电路中实际流动的支路电流，用一组假设的网孔电流来替代际流动的支路电流，用一组假设的网孔电流来替代以网以网孔电流作为独立变量求解，然后求取支路电流，这种方法孔电流作为独立变量求解，然后求取支路电流，这种方法称为网孔电流法称为网孔电流法 1> 网孔电流与支路电流网孔电流与支路电流支路电流与网孔电流的关系：支路电流与网孔电流的关系： I1=IM2，， I2=IM1－－IM2，， I3=IM1 I4=IM3-IM1，， I5=IM2－－IM3，， I6=IM3 如图所示，实际流动的支路电流如图所示，实际流动的支路电流I1~I6，用一组假设的网孔，用一组假设的网孔电流电流Im1、、 Im2 、、 Im3来替代以网孔电流作为独立变量求解，以网孔电流作为独立变量求解，然后求取支路电流然后求取支路电流 2> 网孔回路电压方程的建立网孔回路电压方程的建立 如图所示电路如图所示电路,用网孔电流法求用网孔电流法求各支路电流。

各支路电流网孔网孔1：：(R2＋＋R3＋＋R4) Im1－－R2×Im2－－R4×Im3=－－Us3 自回路电流压降自回路电流压降 互回路电流压降互回路电流压降 回路电压源电压升回路电压源电压升1）选定各网孔电流的参考方向，）选定各网孔电流的参考方向，一般参考方向可选为一致（全为顺一般参考方向可选为一致（全为顺时针或逆时针）时针或逆时针）2）根据）根据KVL，列写各网孔回路的，列写各网孔回路的电压方程电压方程网孔网孔1：：(R2＋＋R3＋＋R4) Im1－－R2×Im2－－R4×Im3=－－Us3 自回路电流压降自回路电流压降 互回路电流压降互回路电流压降 回路电压源电压升回路电压源电压升网孔回路电压方程可分为三部分网孔回路电压方程可分为三部分第一部分为本身网孔电流产生的压降第一部分为本身网孔电流产生的压降第二部分为相邻网孔电流在该回路上产生的压降，互回路电流第二部分为相邻网孔电流在该回路上产生的压降，互回路电流方向与网孔回路电流参考方向一致时为正，反之为负。

列写互方向与网孔回路电流参考方向一致时为正，反之为负列写互回路时注意不要漏写回路时注意不要漏写第三部分为回路电压源代数和，以电压升为正，反之为负第三部分为回路电压源代数和，以电压升为正，反之为负网孔网孔2：： －－R2×Im1＋＋ ( R1＋＋R2＋＋R5) Im2－－R5×Im3=Us1－－Us5 网孔网孔3：：－－R4×Im1－－R5×Im2＋＋ (R4＋＋R5＋＋R6) Im3 =Us5 以此规律可列写出以此规律可列写出另两个网孔的方程：另两个网孔的方程：3> 由网孔电流解出支路电流由网孔电流解出支路电流 由上面三个方程可解出三个网孔由上面三个方程可解出三个网孔回路电流变量回路电流变量 Im1，，Im2，，Im3 支路电流为：支路电流为： I1= Im2 I2= Im1 －－ Im2 ，，I3= Im1 I4= Im3 －－ Im1 ，，I5= Im2 －－ Im3 I6= Im3网孔法例网孔法例1例例1. 图示电路，图示电路，US1=10V，，US3=13V，，R1=1   ，，R2=3   ，，R3=2 ，试用网孔电流法求，试用网孔电流法求各支路电流。

各支路电流解：取网孔回路及参考方向如图，列写回路电压方程解：取网孔回路及参考方向如图，列写回路电压方程 (R1＋＋R2)Im1－－R2×Im2=Us1 (R2＋＋R3)Im2－－R2×Im1=－－Us3代入数据得代入数据得 4 × Im1－－3 × Im2=10 得得 Im1=1A 5 × Im2－－3 × Im1=－－13 Im2=－－2A 支路电流支路电流 I1= Im1=1A, I2= Im1－－Im2=3A, I3= －－ Im2=2A 网孔法例网孔法例2例例2. 图示电路，图示电路，US=27V，，Is=2A，，R1=1   ，，R2=2   ，，R3=3 ，， R4=4   ，，R5=5   ，，R6=6 ，， 求各支路电流求各支路电流解：解：电路中最外围支路存在一个电电路中最外围支路存在一个电流源流源，取网孔回路如图，对网孔，取网孔回路如图，对网孔1和和2列回路电压方程列回路电压方程（（R2＋＋R3＋＋R6)Im1－－R3×Im2－－R2×Im3=－－Us (R1＋＋R3＋＋R4)Im2－－R3×Im1－－R4×Im3=Us网孔回路网孔回路3的回路电流可直接写出的回路电流可直接写出 Im3=Is =2代入数据得代入数据得11Im1－－3Im2－－4=－－27 8Im2－－3Im1－－8=27解得解得 Im1=－－1A, Im2=4A, Im3=2A支路电流为支路电流为I1=－－Im2=－－4A, I2=Im3－－Im1=3A, I3=Im2－－Im1=5AI4=Im3－－Im2=－－2A, I5=Im3=2A, I6=Im1=－－1A注意：电路的最外围支路存在电流源时，仍旧可用网孔电流法注意：电路的最外围支路存在电流源时，仍旧可用网孔电流法求解支路电流。

求解支路电流网孔法例网孔法例3（包含受控源电路）（包含受控源电路）例例3. 图示电路，图示电路，US3=7V，，R1=R2=1   ，，R4=2 ，，R5=4 ，，a a =2=2，，求各支路电流求各支路电流解：取网孔回路参考方向为顺时针方向，解：取网孔回路参考方向为顺时针方向，对于受控电源，在对于受控电源，在列网孔回路电压方程时，先作为独立电源处理，然后再把受列网孔回路电压方程时，先作为独立电源处理，然后再把受控变量表示为网孔电流控变量表示为网孔电流1））列各回路电压方程列各回路电压方程 (R1＋＋R2)Im1－－R2×Im2 = a aU2 2 －－R2×Im1＋＋(R2＋＋R4)Im2－－R4×Im3 = Us3 －－R4×Im2＋＋(R4＋＋R5)Im3 =－－aU22）方程中受控源控制变量）方程中受控源控制变量U2表表示为网孔电流示为网孔电流 U2=R2(Im2－－Im1)解得解得 Im1=3A, Im2=4A, Im3=1A支路电流支路电流 I1=Im1=3A, I2=Im2—Im1=1A, I3=－－Im2=－－4A I4=Im2－－Im3=3A, I5=Im3=1A, I6=Im3－－Im1=—2A代入数据得代入数据得 2Im1－－Im2=2U2 －－Im1＋＋3 Im2 －－2Im3=7 －－2Im2＋＋6Im3=－－2U2 U2= Im2－－Im12.4 回路电流法回路电流法§ 回路电流法是以选定的回路电流作为变量来分析计回路电流法是以选定的回路电流作为变量来分析计算电路的一种方法；算电路的一种方法；§ 当电路存在电流源时（不全在外部周界上），用回当电路存在电流源时（不全在外部周界上），用回路电流法解题比网孔法方便；路电流法解题比网孔法方便；§ 回路电流法在选择独立回路时，一般选择单连支回回路电流法在选择独立回路时，一般选择单连支回路，通过选择特定的树可简化存在电流源电路的计算；路，通过选择特定的树可简化存在电流源电路的计算；§ 选择单连支回路电流作为求解变量，建立的回路电选择单连支回路电流作为求解变量，建立的回路电压方程必定是独立方程；压方程必定是独立方程；§ 网孔电流法是回路电流法的一种特殊情况。

网孔电流法是回路电流法的一种特殊情况2.4.1 回路电流选择回路电流选择 如图电路，用回路电流法求各如图电路，用回路电流法求各支路电流支路电流1））选择回路电流并标出方向选择回路电流并标出方向 回路的选择要保证能建立足够回路的选择要保证能建立足够数量的独立方程来解出电路变量数量的独立方程来解出电路变量 网孔回路和单连支回路都为独网孔回路和单连支回路都为独立回路选择单连支回路时，具有电流源选择单连支回路时，具有电流源的支路选为连支的支路选为连支 如图电路，选择如图电路，选择2，，4，，6支路支路为树支，则单连支回路的路径和为树支，则单连支回路的路径和方向如图所示方向如图所示2.4.2 建立回路电压方程建立回路电压方程 确定回路电流和参考方向以确定回路电流和参考方向以后，根据后，根据KVL，可建立各回路的，可建立各回路的回路电压方程回路电压方程回路回路1 的电压方程为的电压方程为（（R2＋＋R3＋＋R4））IL1－－（（R2＋＋R4））IL2－－R4×IL3 = －－US3 自回路压降自回路压降   互回路压降代数和互回路压降代数和 = 回路电压源代数和回路电压源代数和上式上式 1>. 第一部分是自回路电流产生的压降。

第一部分是自回路电流产生的压降 2>. 第二部分是其余回路电流在该回路上产生的电第二部分是其余回路电流在该回路上产生的电 压降方向与主回路电流一致时为正，反之为负方向与主回路电流一致时为正，反之为负 3>.等式右边是回路中所有电压源的等式右边是回路中所有电压源的电压升电压升代数和 同理可写出回路同理可写出回路2 的回路电压方程的回路电压方程 （（R1＋＋R2＋＋R4＋＋R6））IL2－－（（R2＋＋R4））IL1＋（＋（R4＋＋R6））IL3 = US1列写回路电压方程时应注意：列写回路电压方程时应注意：1>. 选选 b－－(n－－1) 个独立回路电流；个独立回路电流；2>. 列写互回路压降时注意不要漏列写互回路压降时注意不要漏写；写；回路回路3中有电流源存在，由于选择支路中有电流源存在，由于选择支路5为单连支回路，因此回为单连支回路，因此回路电流即为该连支电流路电流即为该连支电流 IL3 = IS53>. 方程右边电压源是以电压升为正方程右边电压源是以电压升为正4>. 电流源支路的回路电压方程无需电流源支路的回路电压方程无需列写，可直接写出回路电流值。

列写，可直接写出回路电流值 由上面三个方程即可解出三由上面三个方程即可解出三个回路电流个回路电流 IL1，，IL2，，IL3求解回路和支路电流求解回路和支路电流由回路电流可写出各支路电由回路电流可写出各支路电流为流为: I1 = IL2 I2 = －－IL1＋＋IL2 I3 = IL1 I4 = －－ IL1 ＋＋ IL2 ＋＋IL3 I5 = IL3 = IS5 I6 = IL2 ＋＋IL3回路电流法例回路电流法例1例例1 已知已知R1=1   ，，R2=2 ，，R3=3   ，，R4=4   ，，R5=5  ，，R6=6   ，，US=27V，，IS=2A，用回路电流法求电压源和电，用回路电流法求电压源和电流源发出的功率流源发出的功率解：支路解：支路5为电流源支路，因此为电流源支路，因此选选1、、4、、6支路为树支，得三条支路为树支，得三条单连支回路如图所示单连支回路如图所示 根据选定的单连支回路，可列出回路电压方程根据选定的单连支回路，可列出回路电压方程:代入数据得代入数据得: IL1 = 2 8IL2 ＋＋2＋＋5 IL3 =27 13 IL3 ＋＋2×7＋＋5IL2=0IL1=IS（（R1＋＋R3＋＋R4））IL2＋＋R1×IL1＋（＋（R1＋＋R4））IL3=US (R1＋＋R2＋＋R4＋＋R6)IL3＋＋(R1＋＋R6)IL1＋＋(R1＋＋R4)IL2=0解得解得: IL1 = 2A IL2 = 5A IL3 = －－3A电流源两端的电压降为电流源两端的电压降为:UI = R6 (IL1＋＋ IL3) ＋＋R1 (IL1＋＋ IL2＋＋ IL3) ＋＋R5×IL1 = 6×(－－1) ＋＋1×4＋＋5×2=8V电压源发出的功率为电压源发出的功率为:PUS = I3×US=IL2×US =5×27=135W (发出功率发出功率)电流源发出的功率为电流源发出的功率为: PIS = UI×IS = 16W回路电流法例回路电流法例2例例2 已知已知R1=1   ，，R2=2 ，，R3=3   ，，R4=4   ，，IS5=6A，，IS6=6A，用回路电流法求各支，用回路电流法求各支路电流。

路电流解：电路包含两个电流源，解：电路包含两个电流源，选支路选支路1、、3、、4为树支为树支，回路电流及，回路电流及方向如图，此时只需列一个回路方程方向如图，此时只需列一个回路方程 IL1=IS2，， IL2 = IS6 (R1＋＋R2＋＋R3) IL3－－R1×IL1 ＋＋R3×IL2 = 0 代入数据解得代入数据解得 IL3 = －－2A各支路电流为各支路电流为 I1 = IL1－－IL3 =8A I2 =IL2 = －－2A I3 = IL2 ＋＋IL3 = 4A I4 = IL1＋＋IL2 =12A 从该例题可看出，当电路包含较多的电流源支路从该例题可看出，当电路包含较多的电流源支路时，用回路电流法解题较方便时，用回路电流法解题较方便2.5 2.5 节点电压法节点电压法 以以节节点点电电压压作作为为独独立立变变量量，，建建立立节节点点电电压压方方程程，，求求解解节节点点电电压压再再确确定定支支路路电电流流，，称称为为节节点电压法点电压法电压电压: 两点之间电位差两点之间电位差.电位电位: 相对于参考点间的相对于参考点间的 电势能电势能.1））设设电电路路有有n个个节节点点，，以以其其中中任任一一节节点点作作为为参参考考节节点点，，令令参参考考节节点点的的电电位位为为零零，，则则其其余余各各节节点点相相对对于于该该参参考考点点的的电电位位就就是是节节点点电电压。

压节点电压法概述节点电压法概述如图，节点如图，节点1的电压的电压 U①① = U1，， 节点节点2的电压的电压 U②② = U52 2））如果各节点电压已经求出，则各支路电流便可确定如果各节点电压已经求出，则各支路电流便可确定 如对于电流如对于电流 I5，，有有 I5 =U②②R53 3））以节点电压作为独立变量，建立节点电压方以节点电压作为独立变量，建立节点电压方程，求解节点电压后再确定支路电流，这种方程，求解节点电压后再确定支路电流，这种方法称为节点电压法法称为节点电压法4 4）在用节点电压法解题时，对于）在用节点电压法解题时，对于n n个节点，因个节点，因为已选定一个节点为参考点，则有为已选定一个节点为参考点，则有n n -1-1个独立个独立节点电压变量，必须建立节点电压变量，必须建立n n -1-1个独立方程才可个独立方程才可求解 节点电压与支路电流关系节点电压与支路电流关系如图电路，取节点如图电路，取节点4为参考节点为参考节点则节点电压与支路电流关系为：则节点电压与支路电流关系为： U①①=Us1+I1×R1 U②②=I5×R5 U③③=I6×R6 U①①－－ U③③ =I3×R3＋＋ Us3如节点电压已知，则可计算支路电流，对于如节点电压已知，则可计算支路电流，对于 I1该支路电压为：该支路电压为： U①①－－U④④ = US1＋＋R1×I1 得得 I1= (U①①－－ Us1)/R1= G1(U①①－－ Us1) 同理，可写出其余各支路电流同理，可写出其余各支路电流 I2= G2（（U②② －－U①①）） I3= G3 (U①①－－ U③③ －－ Us3) I4= G4（（U②② －－ U③③ ）） I5= U②②/R5=G5 U②② I6= U③③/R6=G6 U③③支路电流支路电流 = 支路电导支路电导×（电流流出节点电压－电流流入节点电压（电流流出节点电压－电流流入节点电压   支路电压源）支路电压源）支路电流方向与电压源压降方向一致时取负号支路电流方向与电压源压降方向一致时取负号,反之取正号反之取正号.节点电压方程的建立节点电压方程的建立 节点电压方程的形式可由节点电压方程的形式可由KCL方程方程导出，对于节点导出，对于节点①①列写列写KCL方程方程 I1－－I2＋＋I3=0(节点电压方程的实质是节点电压方程的实质是KCL表示式表示式)!!G1(U①①－－ Us1) －－Is2＋＋ G3 (U①①－－ U③③ －－ Us3)=0代入用节点电压表示的各支路电流代入用节点电压表示的各支路电流表达式：表达式：整理后得：整理后得：U①①(G1＋＋G3) －－ U③③ G3=G1 Us1＋＋G3 Us3＋＋ Is2此式即为节点此式即为节点①①的节点电压方程的节点电压方程.主节点电压项主节点电压项1 1））方方程程第第一一项项为为主主节节点点电电压压 U U① ① 与与主主节节点点相相连连的的各各支支路路电电导导之之和和的的乘乘积积。

由由于于支支路路2 2中中电电流流源源IsIs2 2为为理理想想电电流流源源，，内内阻阻为为∞,∞,，，故故支支路路2 2电电导导为为零零，，所所以以U U①①的的系系数数中中只只有有支支路路1,31,3电电导导G1,G3G1,G3之和 与主节点相连的各支路电导之和称与主节点相连的各支路电导之和称为自电导，对于主节点为自电导，对于主节点①①记为记为G G1111自电导永远为正自电导永远为正上式是从节点电流方程出发推导出的节点电压方程，由此方上式是从节点电流方程出发推导出的节点电压方程，由此方程式可总结如下程式可总结如下节点电压方程列写规律节点电压方程列写规律：：U①①(G1＋＋G3) －－ U③③ G3=G1 Us1＋＋G3 Us3＋＋ Is2U①①(G1＋＋G3) －－ U③③ G3 = G1 Us1＋＋G3 Us3＋＋ Is2 2 2）节点电压方程中第二项为相邻）节点电压方程中第二项为相邻节点电压节点电压U③U③与互电导乘积的负值与互电导乘积的负值节点节点③③通过支路通过支路3 3与主节点相邻，与主节点相邻，主主节点与相邻节点之间相联接的各支路节点与相邻节点之间相联接的各支路电导之和称为互电导电导之和称为互电导。

节点节点①①和和③③之之间只有支路间只有支路3 3相连，因此相邻节点相连，因此相邻节点③③的互电导为的互电导为G3G3互节点电压项互节点电压项注意：节点注意：节点②②也与主节点也与主节点①①相邻，但由于其互电导为零（电相邻，但由于其互电导为零（电流源支路），因此式中未出现该项流源支路），因此式中未出现该项 节点电压方程中应包含所有与主节点相邻的节点电压与节点电压方程中应包含所有与主节点相邻的节点电压与互电导的乘积项（其值恒为负）互电导的乘积项（其值恒为负）U①①(G1＋＋G3) －－ U③③ G3 = G1 Us1＋＋G3 Us3＋＋ Is2 3 3）节点电压方程中右边第一项）节点电压方程中右边第一项为与主节点为与主节点①①相连的各支路上的相连的各支路上的独独立电压源与该支路电导的乘积之代立电压源与该支路电导的乘积之代数和数和，电源正极性指向主节点时为，电源正极性指向主节点时为正，反之为负正，反之为负支路电压源支路电压源支路电流源支路电流源U①①(G1＋＋G3) －－ U③③ G3 = G1 Us1＋＋G3 Us3＋＋ Is2 4 4）节点电压方程中右边第二项）节点电压方程中右边第二项为与主节点为与主节点①①相连的各支路上的相连的各支路上的独独立电流源代数和立电流源代数和，电流源的电流流，电流源的电流流入主节点时为正，反之为负。

入主节点时为正，反之为负可见每个可见每个节点电压方程包含四个部节点电压方程包含四个部分分，据此可分别写出节点，据此可分别写出节点2和和3的电的电压方程为：压方程为：节点节点2 ：： （（G4＋＋G5)U②②－－G4× U③③ = －－ Is2节点节点3：： （（G3＋＋G4＋＋G6) U③③－－G3× U①①－－G4× U②② = －－G3×US3U①①(G1＋＋G3) －－U③③ G3=G1 Us1＋＋G3 Us3＋＋ Is2（（G3＋＋G4＋＋G6) U③③－－G3× U①①－－G4× U②② =－－G3×US3（（G4＋＋G5)U②②－－G4× U③③ = 0 由三个节点电压方程，即可解由三个节点电压方程，即可解出三个节点电压，然后根据节点出三个节点电压，然后根据节点电压和支路电流的关系求出支路电压和支路电流的关系求出支路电流节点节点1:节点节点2:节点节点3:节点法例节点法例1例例1: 已知已知R11=R12=0.5 ，，R2=R3=R4=R5=1  ，，US1=1V，，US3=3V，，IS2=2A，，IS6=6A，，用节点电压法求各支路的电流。

用节点电压法求各支路的电流解：取节点解：取节点3为参考节点，列出节点为参考节点，列出节点1和和2的电压方程的电压方程 注意：节点注意：节点1 的自电导中没有包含的自电导中没有包含 项，尽管该支路有电项，尽管该支路有电阻阻R2，但电流源内阻为无穷大，该支路的总电导为零但电流源内阻为无穷大，该支路的总电导为零电流电流源支路串联电阻在列节点方程时不起作用源支路串联电阻在列节点方程时不起作用代入数据整理得代入数据整理得3U1－－2U2 = －－43U2－－2U1 = 9解得节点电压为解得节点电压为U1 = 1.2V, U2 = 3.8V各支路电流分别为各支路电流分别为 I1=（（US1－－U1））/ (R11＋＋R12) = (1-1.2)/(0.5+0.5)=－－0.2A I3=（（U1－－U2 ＋＋US3 ））/ R3 = 0.4A I4=（（U1－－U2 ））/ R4 = －－2.6A I5=U2/ R5 = 3.8A齐尔曼定理齐尔曼定理 当电路只包含两个节点时，当电路只包含两个节点时，若设节点若设节点2为参考节点，则节点为参考节点，则节点1的电压表达式可由节点法直接的电压表达式可由节点法直接列写为：列写为：一般表达式一般表达式:节点法例节点法例3例例3 已知已知R3=R4=4 ，， =3，，g=1S，，IS2=0.5A，用节点电压，用节点电压法求法求I4的电流。

的电流包含受控源支路）（包含受控源支路）1）对于受控源，在用节点法计算时，先把受控源当作独立电）对于受控源，在用节点法计算时，先把受控源当作独立电源来处理，按一般方法列节点电压方程源来处理，按一般方法列节点电压方程应用齐尔曼定理，令节点应用齐尔曼定理，令节点2为参考节点，则节点为参考节点，则节点1的电压为的电压为R42)把受控源的控制变量转化为把受控源的控制变量转化为节点电压表达式节点电压表达式I4=U1/R4U3=U1－－  I4 = (1－－  /R4)U1把上面三式代入数据，得把上面三式代入数据，得:I4=U1/R4 = U1/4U3= U1/4解得解得 U1=－－8V，， I4 = U1/R4 = －－2AR4节点法例节点法例4例例4 已知已知R3=2 ，，R4=4  ，，R5=1  ，，R6=6   ，，US1=8V，，US2=4V，用，用节点电压法求支路电流节点电压法求支路电流I1和和I2 解：取节点解：取节点4为参考节点，则有为参考节点，则有 U①① = US1，， U③③ = US1＋＋US2U②②－－U①①－－U③③ = 0节点节点2：：U①① = 8V，，U③③ = 12VU②② = 4VI5 = U②② / R5 = 4AI6 = U③③ / R6 = 2AI4 = （（ U②② －－ U③③ ））/ R4 = －－2AI1 = I5＋＋I6 = 6AI2 = I6 －－I4 = 4A代入数据解得代入数据解得: 主要内容：主要内容： 迭加定理和线性定理迭加定理和线性定理 替代定理替代定理 戴维南定理和诺顿定理戴维南定理和诺顿定理 特勒根定理特勒根定理 互易定理互易定理第二章第二章(2)(2) 电路定理电路定理2-82-8、迭加定理、迭加定理 线性线性电路中电路中任一支路电流（电压）等于各个任一支路电流（电压）等于各个独立独立源分别源分别单独作用情况下所产生电流（电压）之代数和。

单独作用情况下所产生电流（电压）之代数和v概念概念 这里这里分别单独作用分别单独作用是指：是指： 电路中电路中其余电压源其余电压源短路短路，，其余电流源其余电流源开路开路＋＋I2=I21＋＋I22U2=U21＋＋U22支路电压和支路电流的迭加支路电压和支路电流的迭加v讨论：讨论：1 1、迭加定理中，不起作用的电压源元件短路，不起作用的、迭加定理中，不起作用的电压源元件短路，不起作用的电流源元件开路：电流源元件开路：2、、迭加定理计算时，独立电源可分成一个一个源分别作用，迭加定理计算时，独立电源可分成一个一个源分别作用， 也可把电源分为一组一组源分别作用也可把电源分为一组一组源分别作用3、迭加定理只适合于线性电路，非线性电路的电压电流不可、迭加定理只适合于线性电路，非线性电路的电压电流不可 迭加迭加 4、无论线性、非线性电路，功率、无论线性、非线性电路，功率 P 均不可迭加均不可迭加设设:显然显然:例1电路如图所示，已知电路如图所示，已知R1=2  R2=R3=4  ，，R4=8  ，，Is6=1A，，为使为使U1=0V，，Us5应为多少？应为多少？解：应用迭加定理，当解：应用迭加定理，当Is6起作用时，起作用时，R1上电压为上电压为当当Us5起作用时，起作用时，R1上电压为上电压为由题意，由题意，得得: Us5 = 4 V例例2电路如图，电路如图，R1=20  ，，R2=5  ，，R3=2  ，， =10，，Us=10V,Is=1A,试用迭加定理求试用迭加定理求I3=？？解：当电压源单独作用时，电路如解：当电压源单独作用时，电路如下图，下图，当电流源单独作用时，电路如图，当电流源单独作用时，电路如图， 得得: :§2-92-9、线性定理、线性定理v内容内容1）线性电路中，当只有一个独立电压源或一个独立电流源作用）线性电路中，当只有一个独立电压源或一个独立电流源作用 时，输出响应（支路电压或电流）与电源成正比。

时，输出响应（支路电压或电流）与电源成正比当当电压源电压源激励时，支路、电压电流可描述为激励时，支路、电压电流可描述为：当当电流源电流源激励时，支路、电压电流可描述为激励时，支路、电压电流可描述为：2）如故有多个电压源和电流源激励）如故有多个电压源和电流源激励, 根据迭加定理和线性定根据迭加定理和线性定理，支路电压、电流可表示为理，支路电压、电流可表示为：上式为线性定理的一般表达式上式为线性定理的一般表达式例例1 1如图电路，如图电路，P P为无源电阻络，当为无源电阻络，当Us=10V, Is=2AUs=10V, Is=2A时时,I=4A,I=4A；； 当当Us=5VUs=5V，， Is=2A Is=2A时时,I=3A,I=3A；； 求当求当Us=15VUs=15V，，Is=1AIs=1A时时,I,I为多少？为多少？解：由线性定理，解：由线性定理，I I可表示为可表示为 由已知条件由已知条件: :解得解得例例2如图电路，如图电路，A A 为有源电路，为有源电路， 当当Us=4VUs=4V时，时，I I3 3=4A=4A；； 当当Us=6VUs=6V时，时，I I3 3=5A=5A；； 求当求当Us=2VUs=2V时，时，I I3 3为多少？为多少？解：由线性定理，解：由线性定理，I I3 3可表示为可表示为 由于由于A A内电源不变，上式又可写为内电源不变，上式又可写为 I I3 3 = G = G×Us+IUs+I0 0 式中式中I I0 0 为为A A内所有电源产生的分量，内所有电源产生的分量， 由给出的条件由给出的条件, , 得得: :4=4G+I4=4G+I0 05=6G+I5=6G+I0 0解得解得: G=0.5 , I: G=0.5 , I0 0=2=2 即即 I I3 3=0.5Us+2=0.5Us+2 当当Us=2VUs=2V时，时，I I3 3=3A=3A。

§2-11戴维南定理戴维南定理戴维南定理戴维南定理: 任一线性有源一端口网络，任一线性有源一端口网络，对其余部分而言对其余部分而言，可，可以等效为一个以等效为一个电压源电压源Uo和和电阻电阻Ro 相串联的电路相串联的电路, 其中：其中：Uo :等于该一端口网络的开路电压，且电源的正极和开路端口等于该一端口网络的开路电压，且电源的正极和开路端口高电位点对应；高电位点对应；Ro :等于令该有源一端口网络内所有等于令该有源一端口网络内所有独立源独立源均为零时所构成的均为零时所构成的无源一端口网络的等效电阻无源一端口网络的等效电阻证明证明: （迭加定理证明）（迭加定理证明）I = I‘ + I”=+I = I’ + I” = I” 证毕等效电路的开路电压等效电路的开路电压Uo和入端电阻和入端电阻Ro的求解：的求解：1、开路电压、开路电压Uo ：： 输出端开路，求开路电压；输出端开路，求开路电压；1））加压法：电路中独立电源拿掉，即电压源短路，加压法：电路中独立电源拿掉，即电压源短路，电流源开路，外加电压电流源开路，外加电压U求输入电流求输入电流I，，2、入端电阻的求法、入端电阻的求法：：也可对电路加一个电流源也可对电路加一个电流源I，求输，求输入端电压入端电压U，来求入端电阻！，来求入端电阻！入端电阻为入端电阻为2）开路短路法）开路短路法 先求开路电压和短路电流，得先求开路电压和短路电流，得例例1 1：已知：已知R1=R2=10R1=R2=10 ，，R3=5R3=5 ，，U US1S1=20V=20V，，U US2S2=5V=5V，，I IS S=1A=1A，，R R可调可调, ,问问R R为多大时可获最大功率，此为多大时可获最大功率，此功率为多少？功率为多少？解：求解：求R R左面电路的戴维南等效电路，左面电路的戴维南等效电路，用网孔电流法求用网孔电流法求I I1 1（（R1+R2+R3R1+R2+R3））I I1 1－－R1R1×I IS S = U = US1S1－－U US2S2 25 25×I I1 1－－10=1510=15得得 I I1 1=1 A=1 A开路电压为开路电压为 Uo=UUo=US2S2+R3+R3×I I1 1=10 V=10 V求入端电阻，电路如图求入端电阻，电路如图Ro=(R1+R2)//R3Ro=(R1+R2)//R3 =20//5=4 =20//5=4  由最大功率传输原理，当由最大功率传输原理，当 R= R=Ro=4 Ro=4   时时电阻电阻R R上可得最大功率上可得最大功率例例2 2已知已知 U US S=10V=10V，，I IS S=1A=1A，， =0.5,=0.5,g=0.0375, R1=R2=R3=20g=0.0375, R1=R2=R3=20 , ,求戴维南等效电路。

求戴维南等效电路解解: : 电路局部简化，电路局部简化， Uo Uo‘=Us+Is=Us+Is×R1=30VR1=30V列回路方程列回路方程UoUo‘=(R1+R2)I=(R1+R2)I2 2+(+(gR2gR2××I I2 2+I+I2 2)R3)R3开路电压为开路电压为 Uo= Uo=－－ I I2 2×R2R2－－(R1+R2)I(R1+R2)I2 2+ +UoUo‘=10 V=10 V解得解得 I I2 2=0.4 A=0.4 A求开路电压求开路电压: :30=4030=40××I I2 2+20+20××( (0.03750.0375××2020××I I2 2+I+I2 2) )代入数据代入数据: :移去独立电源，在端部加电移去独立电源，在端部加电流源流源I IS S=1 A=1 A，求端部电压，求端部电压U U求入端电阻求入端电阻:端电压为端电压为: : U= U=－－ R2R2×I I3 3-(-(R1+R2)R1+R2)×I I3 3=40/3 V=40/3 V入端电阻入端电阻: : Ro=U/Is=40/3 Ro=U/Is=40/3   (R1+R2+R3)I (R1+R2+R3)I3 3+R3+R3×I IS S+R3+R3×gR2gR2×I I3 3=0=0代入数据，解得代入数据，解得 I I3 3= =－－4/15 A4/15 A，，取回路如图所示，列回路取回路如图所示，列回路3 3的电压方程的电压方程: :§2-12 §2-12 诺顿定理诺顿定理诺顿定理诺顿定理: 任一线性有源一端口网络任一线性有源一端口网络A,对其余部分而言，对其余部分而言，可以等效为一个可以等效为一个电流源电流源Id 和一个和一个电阻电阻 Ro(电导电导GO)相并联相并联的电路的电路,其中：其中：Ro 等于将所有等于将所有独立源独立源移去后所构成的无源一端口移去后所构成的无源一端口 网络的等效电阻。

网络的等效电阻Id等于该一端口网络的短路电流等于该一端口网络的短路电流;例例1:利用诺顿定理求电流利用诺顿定理求电流I？？=Id=0.6 A1)求短路电流，求短路电流，求求a-b左侧的诺顿左侧的诺顿等效电路等效电路2）开路短路法求入端电阻：）开路短路法求入端电阻：开路电压开路电压3）加压法求入端电阻：）加压法求入端电阻：=I=I=（（U U－－U/2U/2））/10=U/20 A/10=U/20 ARd=U/I=20 Rd=U/I=20  最后解得电流为最后解得电流为例例2: 2: 求求a-ba-b端的端的诺顿等效电路诺顿等效电路. .解解: 开路电压开路电压入端电阻入端电阻短路电流：短路电流：若采用外加电压方法若采用外加电压方法,令令U’’=1V,等效电路等效电路:2-13 特勒根定理特勒根定理特勒根定理特勒根定理设有电路设有电路A,B，满足：，满足： (1)两者的拓扑图完全相同，均有两者的拓扑图完全相同，均有n个节点个节点b条支路条支路 ；； (2)对应支路节点均采用相同的编号，对应支路节点均采用相同的编号，(其中其中 B电路的电路的 电流、电流、电压加电压加“^”号号)；； (3)各支路电流、电压参考方向均取为一致各支路电流、电压参考方向均取为一致; 则有：则有：AB功率守恒定理功率守恒定理1））似功率守恒定理似功率守恒定理2））U U1 1×I I1 1’+ +U U2 2×I I2 2’+ +U U3 3×I I3 3’+ +U U4 4×I I4 4’+ +U U5 5×I I5 5’+ +U U6 6×I I6 6’ = =证明：证明：为简化问题，用上面的具体电路来证明为简化问题，用上面的具体电路来证明似功率定理，其有向图如右，似功率定理，其有向图如右，B电路电电路电压电流加压电流加‘ 来区分。

来区分似功率守恒定理似功率守恒定理I I1 1’(U(U③③－－U U①①)+I)+I2 2’(U(U②②－－U U①①)+I)+I3 3’(U(U①①－－U U④④)+I)+I4 4’(U(U②②－－U U③③)+I)+I5 5’(U(U④④－－U U②②)+I)+I6 6’(U(U③③－－U U④④) =) =U U①①(I(I3 3’ －－I I1 1’ －－I I2 2’)+U)+U②②(I(I4 4’ +I +I5 5’ －－I I6 6’ )+U )+U③③(I(I1 1’ －－I I4 4’+I+I6 6’) +U) +U④④(I(I5 5’ －－I I3 3’ －－I I6 6’) =0) =0证毕证毕讨论：特勒根定理讨论：特勒根定理（（1））适应各种电路，直流、交流；线性、非线性；适应各种电路，直流、交流；线性、非线性； 被称为基尔霍夫第三定律被称为基尔霍夫第三定律2）各支路电压电流参考方向应取为一致）各支路电压电流参考方向应取为一致(关联参考方向关联参考方向) 例例1：：（（1）若在）若在2-2’端接端接2 电阻，则电阻，则 （（2））若若2-2’端开路，则端开路，则 。

试求试求2-2’以左电路的以左电路的 诺顿等效电路其中诺顿等效电路其中N为纯电阻电路为纯电阻电路解：解：AB2-14 2-14 互易定理互易定理一、互易定理的一般形式一、互易定理的一般形式: N为线性纯电阻电路（既无独立源，也无受控源）为线性纯电阻电路（既无独立源，也无受控源），两个，两个端口连接不同的外部条件，则有：端口连接不同的外部条件，则有：证明证明:由特勒根定理得由特勒根定理得（（1））（（2））N内为纯电阻支路，易知内为纯电阻支路，易知（（1）式减（）式减（2）式得：）式得：例例1 N为纯电阻网络为纯电阻网络,当当时时, ,当当 时时,,求求 等于多少等于多少?解解:二、互易定理的特殊形式二、互易定理的特殊形式:1、、 当电压源当电压源ES接在支路接在支路1时，在支路时，在支路2产生的短路电流等于产生的短路电流等于将电压源将电压源ES移至支路移至支路2时，在支路时，在支路1产生的短路电流，这就是产生的短路电流，这就是互易定理的互易定理的第一种形式第一种形式。

例例2 2 图示电路图示电路, ,已知已知I I2 2=0.5A, =0.5A, 求电压求电压U U1 1. .解解: :图图2 2可转化为图可转化为图3, 3, 对对1 1和和3 3应用互易定理应用互易定理1, 1, 有有。