高等数学 极限.doc

摘要在数学分析与微积分学中，极限的概念占有主要地位并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好的计算方法是学习数学分析和微积分的关键一环本文就极限的计算方法和技巧做一个系统的概括和总结极限概念是数学分析中最基本最重要的概念，是学习其他一切数学课程的基础，由于数学分析的许多重要概念如连续、导数微分和积分等有要用到极限概念来表达，有些计算方法也是建立在极限概念的基础上，因此掌握极限概念的理论和求极限的方法，对学习数学分析甚至整个大学数学都至关重要极限计算不仅是数学分析中的一个重点部分，而且也是一个难点部分因此用必要探讨极限计算的技巧，只有掌握极限的计算技巧，才能对大学数学专业知识真正的消化吸收关键词：极限、数列、一元函数、多元函数、夹逼准则、单调有界定理、洛必达法则、泰勒展开式AbstractAbstract ：In the mathematical analysis and the calculus, the concept of limit occupy a major position and appears in various forms and through all of the content, so master the calculation method is the study of mathematical analysis and calculus is a key ring. This paper discusses the limit calculation method and skill to do a systematic summary.The concept of limit in mathematical analysis is the most fundamental and most important concept, is the study of all other mathematical courses, due to the mathematical analysis of the many important concepts such as continuous, derivative, differential and integral is to use the concept of limit to express, some calculations are based on the concept of limit based on the concept of limit, so to master the theory and the limit of the method, for the study of mathematical analysis and even the whole university mathematics are essential.Mathematical analysis of the limit calculation is not only a important part, but also a difficult part. Therefore necessary to explore the limits of computing skills, master only limit calculation skills, ability of university mathematics professional knowledge really digestion and absorption.Key words: limit, sequence, a unary function, multiple functions, the squeeze theorem, monotone bounded theorem, L'Hospital Rule, Taylor expansion目录一、 绪论……………………………………………………………………………5二、 数列极限的求法………………………………………………………………52.1 迫敛性求极限………………………………………………………………52.2 四则运算法则求极限………………………………………………………52.3 单调有界法则求极限………………………………………………………62.4 利用子数列的性质求极限…………………………………………………7三、 一元函数极限的求法…………………………………………………………73.1 利用两个准则求极限………………………………………………………73.2 利用极限四则运算性质求极限……………………………………………83.3 利用两个重要的极限公式求极限 ……………………………………103.4 利用函数的连续性求极限………………………………………………103.5 利用函数的导数求极限…………………………………………………123.6 利用洛必达法则求极限…………………………………………………123.7 利用泰勒展开式求极限…………………………………………………143.8 利用定积分定义求和式极限……………………………………………153.9 利用无穷小量的性质求极限……………………………………………153.10 利用等价无穷小量的性质求极限………………………………………163.11 利用中值定理求极限……………………………………………………163.12 其它方法求极限…………………………………………………………17四、 多元函数极限的求法………………………………………………………184.1 重极限的计算方法………………………………………………………184.2 累次极限的计算方法……………………………………………………20结论…………………………………………………………………………………21参考文献……………………………………………………………………………21致谢…………………………………………………………………………………22极限的计算技巧1 绪论极限是数学分析中最根本的概念之一，在我国古代很早就有有关极限的例子。

例如：古代哲学家庄周所著《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰，日去其半，万世不竭其含义是：一根为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限地进行下去不难看出，随着截取的次数增加，剩下的木棒不断减少，直到最后无限地接近于 0.随着微积分的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出但最初提出的这一概念是模糊不清的，因此在数学界引起很大争议甚至怀疑直到 19 世纪，由 A-L 柯西、魏而斯特拉斯的工作，才将其置与严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认数学分析中的基本概念的表述，都可以用极限来描述极限是研究数学分析的基本工具，极限是贯穿数学分析的一条主线学好极限要从以下两方面着手1：考察所给函数是否存在极限；2：如何求出所给函数的极限值本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下如何求的极限值2 数列极限的求法2.1 迫敛性求极限数列极限的迫敛性：设收敛数列｛an｝,{bn}都以 a 为极限，数列｛cn｝满an≤cn≤ bn,则 limcn=a.例[1] 求极限 lim[1/(n^2+n+1)+2/(n^2+n+2)+……+n/(n^2+n+n)]解： 利用数列迫敛性解答该题的极限问题记 G=1/(n^2+n+1)+2/(n^2+n+2)+……+n/(n^2+n+n),则1+2+……+n/(n^2+n+n)N 时，有 nxynz且 limli,nnxxza则有 limnxya . 利用夹逼准则求极限关键在于从 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列 ny和 nz，使得 nnyxz。

例[1] 22211.nx求 n的极限解：因为 x单调递减，所以存在最大项和最小项222211.n nn222211.n nxn则 221nx又因为 22limlixxnli1nx3.1.2 单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限例：[1] 证明下列数列的极限存在，并求极限 123,,,nyaayayaa  证明：从这个数列构造来看 n 显然是单调增加的用归纳法可证 又因为 21321,,nnyayya 所以得 nn. 因为前面证明 是单调增加的两端除以 ny得1n因为 1,na则 n, 从而1nayy即 n 是有界的根据定理 ny有极限，而且极限唯一令 limyl 则 21lilim()na则 2la. 因为 0,ny 解方程得42l所以 14li2nal3.2 利用四则运算法则求函数极限极限的四则运算法则叙述如下：若 Axf)(lim0 Bxg)(li0(1) 0x 0fxBAxg)(lim0(2) f x)(li)(li 000(3)若 B≠0 则：BAxgfxf)(li)(lim00（4） （c 为常数）fcfxxli00上述性质对于 时 也 同 样 成 立,,总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。

通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算首先对函数施行各种恒等变形例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项例；求极限(1)21limx(2) 3lix(3) 31li()x(4) 已知 11,2()n n 求 limnx解：(1) 21limx＝ 1()lix＝ 1li2x＝ 3 (2) 3lix＝ 3()()lix＝3li()12)x＝ 4(3) 31limx＝231lix＝ 21()li1xx＝ 21limx＝-1 (4) 因为 ,23()n n 1114  nn所以 1limli()x3.3 利用两个重要极限求函数的极限两个极限公式 1sinlm)(0xAexBx)1(lim)但我们经常使用的是它们的变形： )(,)(1li)(,(sin('' xexB3.3.1 利用 来求极限sin0x的扩展形为：1silm0x令 ，当 或 时，则有g0x或1sinl0x 1sinlgx例： xi解：令 t= .则 sinx=sin( t)=sint, 且当 时 x0t故 1sinsilml0txtx例：求 i21x解：原式= 21sin1sin2121lili xxxx3.3.2 利用 来求极限ex)(的另一种形式为 .事实上，令x)1(lime10)(lim.1x所以.0xxe)1(li10)(例: 求 的极限x10)2(li解：原式= 21210)()(limexxx 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。

一般常用的方法是换元法和配指数法3.4 利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括：如函数 在 点连续，则)(xf0及若)(0lim0xff。