【创新设计】2011届高三数学一轮复习 第7单元 7.5 直线与平面垂直随堂训练 理 新人教A版.doc

7.5 直线与平面垂直一、选择题1．设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是(　　)①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④答案：A2．二面角α－l－β的大小为锐角，P∈l，PA⊂α，PB⊂β且PA⊥l，则(　　)A．∠APB的最大值等于二面角的平面角B．∠APB的最小值等于二面角的平面角C．二面角的平面角既不是∠APB的最大值，也不是∠APB的最小值D．∠APB就是二面角的平面角解析：如右图，在平面β内作PC⊥l，则∠APC为二面角的平面角，cos∠APB＝cos∠BPC·cos∠APC≤cos∠APC，即∠APB≥∠APC，故选B.答案： B3．二面角α－AB－β的平面角是锐角，C∈α，CD⊥β，垂足为D，E∈AB，且∠CEB是锐角，则∠CEB与∠DEB的大小关系为(　　)A．∠CEB＞∠DEB B．∠CEB＜∠DEBC．∠CEB≤∠DEB D．∠CEB与∠DEB的大小关系不确定解析：如下图：作DF⊥AB垂足为F，连结CF由三垂线定理知∠CFD为二面角的平面角，可知∠CED，∠DEB均为锐角，cos∠CEB＝cos∠DEB·cos∠CED＜cos∠DEB，即∠CEB＞∠DEB.答案： A4．矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为(　　)A.π B.π C.π D.π答案： C二、填空题5．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________．答案：可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个6．一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内，则这条线段与这两个平面所成的角的和的范围是________．解析：作AC⊥l垂足为C，作BD⊥l垂足为D，连结BC、AD，则∠BAD和∠ABC分别为直线AB和平面α和β所成角．由cos∠ABD＝cos∠ABC·cos∠DBC≤cos∠ABC，即∠ABD≥∠ABC，∠ABC＋∠BAD≤∠ABD＋∠BAD＝90°.答案：(0°，90°]7．已知P是△ABC所在平面α外一点，O是点P在平面α内的射影(1)若P到△ABC的三个顶点的距离相等，则O是△ABC的__________；(2)若PA、PB、PC与平面α所成的角相等，则O是△ABC的__________；(3)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的__________；(4)若平面PAB、PBC、PCA与平面α所成的角相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的__________；(5)若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC的________．答案：(1)外心　(2)外心　(3)内心　(4)内心　(5)垂心三、解答题8．若P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.证明：∵平面PAC⊥平面PBC，作AD⊥PC垂足为D，根据平面与平面垂直的性质定理知：AD⊥平面PBC，则BC⊥AD，又PA⊥平面ABC，则BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC.因此BC⊥AC.9．如右图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD，(1)证明AB⊥平面VAD；(2)求面VAD与面VBD所成的二面角的正切值．解答：(1)证明：∵平面VAD⊥底面ABCD，又AB⊥AD，则AB⊥平面VAD.(2)取VD中点E，连结AE、BE，∵△VAD是正三角形，则AE⊥VD，由三垂线定理知BE⊥VD.∴∠AEB为面VAD与面VBD所成二面角的平面角．设AB＝1，在Rt△AED中，AE＝ADsin 60°＝，∴tan∠AEB＝＝.10．如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱AD的中点，求二面角A－BD1－P的大小．解答：∵AB⊥平面AD1P，∴平面AD1P⊥平面AD1B.过P作PE⊥AD1垂足为E，则PE⊥平面AD1B，作EF⊥BD1，连结PF，则由三垂线定理知PF⊥BD1，则∠PFE为二面角A－BD1－P的平面角，设AB＝1，∵Rt△AEP∽Rt△ADD1，＝∴PE＝＝，在等腰△PBD1中，BP＝，BF＝BD1＝，∴PF＝＝，在Rt△PEF中，sin∠PFE＝＝，∴∠PFE＝30°.1．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，SA＝SB＝.(1)证明SA⊥BC；(2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．解答：(1)证明：作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD.因为SA＝SB，所以AO＝BO.又∠ABC＝45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC.(2)由(1)知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由AD＝BC＝2，SA＝，AO＝，得SO＝1，SD＝.△SAB的面积：S1＝AB·＝.连结DB，得△DAB的面积S2＝AB·ADsin 135°＝2.设D到平面SAB的距离为h，由VD—SAB＝VS—ABD，得h·S1＝SO·S2，解得h＝.设SD与平面SAB所成角为α，则sin α＝＝＝.所以，直线SD与平面SAB所成的角正弦值为.2．如下图，已知四棱锥P－ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.(1)求点P到平面ABCD的距离；(2)求面APB与面CPB所成二面角的余弦值．解答：(1)如下图，作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于E，连结PE，∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，∵PA＝PD，∴OA＝OD，于是OB平分AD，点E为AD的中点，∴PE⊥AD.由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，∴∠PEB＝120°，∠PEO＝60°.由已知可求得PE＝，∴PO＝PE·sin 60°＝×＝，即点P到平面ABCD的距离为. 。