2023年经济数学基础作业电大文档.pdf

经济数学基础作业2( 积分学部分第1 章不定积分一一第 2 章定积分)知识要点：1 .理解原函数与不定积分概念原函数的概念:若函数/( X ) 的导数等于/ ( X ) , 即 p ( x ) = f ( x ) , 则称函数F ( x ) 是/( x ) 的原函数注意： ( 1 )原函数不是唯一的若尸( x ) 是 7 ( x ) 的原函数， 则 F ( x ) + c 都是/( X ) 的原函数( 其中c 是任意常数) 2) 原函数的表达形式 若 F ( x ) 和 G( x ) 都是/( %) 的原函数， 则G( x ) = F(x) + c ( c是常数)不定积分的概念：原 函 数 的 全 体 /( x ) + c ( 其 中 c 是 任 意 常 数 ) 称 为 / ( x ) 的 不 定 积 分 ，记为J f(x)dx - F ( x ) + c 3 ) 知道不定积分与导数( 微分) 之间的关系不定积分与导数( 微分) 之间互为逆运算，即先积分， 再求导,等于它自身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数,即( J f ( x ) dx ) ' = /( x ) , J r( x ) dx = /( x ) + c2. 了解定积分的概念,定积分的几何意义，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果.奇偶函数在对称区间上的定积分有以下结果：若_ /( %) 是奇函数， 则 有 「 ' / 0 次 比 = 0若/( X ) 是偶函数，则有3 . 知道无穷限积分的收敛概念， 会求简朴的无穷限积分。

4 . 纯熟掌握积分的计算不定积分和定积分的关系:牛顿——莱布尼兹公式：J y ( x ) dx = F ( x ) | " = F(b)-F(a)常用的积分方法有：( 1 )运用积分基本公式直接进行积分；( 2)第一换元积分法( 凑微分法) ；( 3 )分部积分法,不定分部积分公式：J 〃( x ) i /( x ) #c = 〃( x ) y ( x ) -J 〃' ( x ) y ( x )公或 J vdu重要掌握被积函数是以下类型的不定积分：①基函数与指数函数相乘；,令“ ( X ) = x " , M( x ) = e*②幕函数与对数函数相乘；］ %" 1 1 1 3 ,(一1 ) ,令〃) =1 1 1匕 丫 ' ) = 了" ，③事函数与正( 余) 弦函数相乘；J /s i n cm" 或 卜" co s cn W x ,令〃 (x ) = x " ,作业2解答一.填空题1 . 若 J /( 无 )dx = 2* + 2x + c ,则 7 ( x ) =解：1 .由于若 J /( x ) dx = F ( x ) + c,则(F ( x ) + c)' = f(x)因此 /( x ) =( 2、+ 2x + c/= 2' I n 2 + 22. J ( s i n x ) ，dr —解:由不定积分和导数的关系： ］= /( x ) + c则「s i n x y dr = s i n x + c。

3 . f f(x)dx = F ( x ) + c,则 J e-xf(e-xy\x =解：由于J .f ( x ) dx = F ( x ) + c,则 J e-" ( e-' ) dx = -j f(e-x)d(e~x) = - W ) + c „i e4 . — j l n ( l + x2) 6 tr =解：由于定积分J l n ( l + x 2) a c是常数， 常数的导数为零,1 e因此 高 ! l n ( l + f )以= 00 ]5 .若 p ( x ) = f 「 一 力， 则 P ' ( x ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 J l + 产解:由于 J f(t)dt= F(x)- F(a)， 则 尸( x ) = /( x ) ,p ( x ) = f - 7 = = dt = -f , —— - dt,贝|J 产( x ) = --1 —— V l + r o V l + Z ' J l + x ~二 . 单项选择题1 .下列函数中， (1 2A. —C O S X2C . - 2 co s x2)是x s i n x ?的原函数。

B . 2co s f17D . —— co s x2解：原函数的概念:若F\x) = f(x),则称函数F ( x )是/( x )的原函数A是错误的由 于f -co s x2( 2 )— — s i n x1 -2x = — x s i n x22对的的选项是D .2 .下列等式成立是(A. s i n x 6 ( Y = ^ ( co s x )C . 2'公 = 」-1 ( 2*)l n 2B . I n xdx = d(— )xD .~^=dx = d>Jx)解：A 是错误的由于 d( co s x ) = ( co s x ) 7 Z x = -s i n x必 ;;B是错误的由 于 " 山 = ( 与比 = - 与 公 ；X X XC是对的的由于「一4 ( 2、 ) = — ( 2v) ' dr =」一• 2* • I n 2公 =2、 办;I n 2 I n 2 I n 2D是错误的由于= （ «） ' 〃 ¥ =」 = 〃¥2 J %对的的选项是C3 .下列不定积分中，常用分步积分法计算的是（ ）A. J co s ( 2x + l X rB . J x V l -x2^dxC . [xsmlxdx D . f ―±7 m xJJ 1 + x2解：常用分部积分法计算的积分有：\xneaxdx ， J %a ] n x ca ,( a w 7 ) ,j x " s i n axdx或 Jxn cosaxdx 。

该题对的的选项是C4 .下列定积分计算对的的是()I16A. j 2xdx=2 B . J公= 1 5-I -1兀2 点C . j | s i n x | J x = O D . J s i n x公= 0-n~2I解:A是错误的由于J 2 mX = = 2 — ( ― 2) = 4-116B是错误的由于J必;= 1 6 — ( -1 ) = 1 7-1C是错误的由于函数卜i n乂是偶函数，因此7 1 n n2 2 2 兀j | s i nx\dx- 2j | s i n = 2j s i nxdx = - 2co s x | 2 = 0 + 2 = 2£00~2nD是对的的由于函数s i n x是奇函数，因此J s i n x a ¥ = 05.下列无穷积分中收敛的是（）解:+ 0 0 ]A. | ― dx+ 3 0C . j exdx0D .+ 0 0j s i n J OZVo+ o o j b ।5 .解：A 是错误的由于 \— dx= l i m f —dr = l i m I n = l i m ( I n b -ln 1 )是发散的。

•J X Z> — > + 00 J X 〃 f4 < O 1 1 bT+4 «o ] b i ] " iB 是对的的由于 \— dx^ lim \— dx= lim (—— )=lim (— + 1 ) = 1J X / ? -> + x J b f m x ] Z? -> + a o b+ oo bc是错误的由 于fe'dx= lim |>公 =lim ( e 〃 —I)是发散的J b-> + 00 J b-> + 0000+ oobD是错误的由 于［ s in尤dx= lim f s in x必: =lim （ -cos 1 ）是发散的J + a o J bs0 0对的的选项是B三.解答题1计算下列不定积分,1 ) jf _31 d」A- 0解：(1 ) R c k=n » d x(3)x ( %=e 勺 + c = - -—— + cln(? ) 31er(l + x)2 .(2 ) — - ) = - dr」y/X「(1 + X)~ i r 1 + 2 x + .Mlog『 = l o g " b g ：f a' dx =< 一 + cJ Ina-----F c, (a w - 1 )a + 1(3)3= j ( x ， + 2/ + q)dx； 4 ° 2 ,=2x + — % 2 + 一/ + c3 54d xx + 2解点dx = J (x + 2 )dv1 2 c=—x + 2 x + c2(4 ) f」 一drJ l-2 x解:f」 一dr」]」 一J l-2 x 2J l-2 x= -^ ln| l-2 x|d(l-2 x)+ c(5 ) J xjz + x d解：j x H 7d x = g ( 2 + x2 "d(2 + x2 )设 J fi (ie)du = F(w ) + c,则"(9 (x)”(x)dx = J / (9 (x))d9 (x)= F(^ (x)) + c1 2 / c= ---(2 + x 尸 + c2 3x]+a——+ c, ( a ~ l )1 + a(6)i2= — (2 + / ) 2 +C3s in ,—— ^ - a x1 2xdx = — d[2 + x )解:jSinV% 2 s inVxd-/ xj s inx6t r = -C OS X + c- 7= - dx — 2d y/~xyjx= -2cos Vx + c、 r • X 」(7) J xs in —dr广 x c x解：xsin—dx = -2 A Z/cos—J 2 J 2c x ci* x ,= -2xcos—+ 2 cos—dx2 J 2=-2xcos—+ 4sin —+ c2 2(8 ) j /n(x + l)dx解：j/n(x + l)dr = J/n(x + l)d(l + x)=(1 + x) ln(l + x) - J， ， 公=(1 + x) ln(l + x )-x + c2 . 计算下列定积分2(i) -乂心-1212解： [ 卜 出 …j "/ "/" 叱 ^-1 -1 11 2= |(1 - x)dx + J (尤 - 1心-1 1J uvdx = wv-j uvdxIn xdx, (a 0 -1)令〃 =In xb c bJ f(.x)dx = J f(x)dx + J f (x)dxaac। , [1-X,X< 11 1 2 [x-l,x> lI 1 / I 1、4 r / 八 5=1------(- 1-- ) H -------2 — (— 1)=一2 2 2 2 21(2 )12 I= - ex = -e2 + e= 2 jl + ln, f 1 ,(3) I ,---------dx। " 1 + In xj j 1{xadx = -^ — x'+a +cJ1 + a解： [— dx= f (1 + In x) ”d(l + ln x),J x jl + lnx j— dx = d(l + ]n x)X= 2jl + lne3_2ji + ]ni =2(4)n2J xcos2xtZx0解:xcos2xJx= -j2 0xd sin 2x=—xsin 2x ——sin2xav2 2J乙 0 4 0= -x-sin^---x-!-<-cos2x)|j2 2 2 2 lo= —cos 万 ——cosO = ——4 4 2(5)Jxlnx公ixln xdxj uvdx = 〃 u - J uvdxJ/ 1n xdx,(a w -1 ),令〃 =In %Yxax = a —2e2 1 2 1------e H —2 444 44(6) j( l + xe-')t/xo4 4 4解:J (1 + x/ ")出二 J 1八 + J xe~xdx0 0 0= ^ - \ x d e -x0=4- (此-］ ： - J e~xdx)oe-' dx = -de-x= 4 _(4 e-4 + e］： )=4_ 4/_ ，_ 1 ) = 5 - 5/。