分式函数值域解法汇编.doc

分式函数值域解法汇编 甘肃省定西工贸中专文峰分校　张占荣函数既是中学数学各骨干知识的交汇点，是数学思想，数学方法应用的载体，是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图象而对函数值域的考查或是单题形式出现，但更多的是以解题的一个环节形式出现，其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一为此，如何提高学生求分式函数值域的能力，是函数教学和复习中较为重要的一环，值得探讨下面就本人对分式函数值域的教学作如下探究，不馁之处、敬请同仁指教一、相关概念函数值是指在函数 y＝f( x)中，与自变量 x 的值对应的 y 值函数的值域是函数值的集合，是指图象在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定分式函数是指函数解析式为分式形式的函数二、分式函数的类型及值域解法类型一：一次分式型一次分式型是指分子与分母都是关于自变量 x（或参数）的一次函数的分式函数1.y= (a 0)型例１　求函数 y= 的值域。

解法一：常数分离法将 y= 转化为 y= （k 1,k2 为常数），则 y k1解：∵y= = ，∴y 解法二：反函数法利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域解：反解 y= 得 x= ， 对调 y= (x )，∴函数 y= 的值域为 y 2.y= (a 0)型分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出 x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名可以考虑借助三角函数值域解题，其实质跟 y=（t=sin x）在 t 的指定区间上求值域类似即：将 y= 反解得 sinx=f(y),而-1≤sinx ≤1,即- 1≤f (y)≤1，解之即可例２　求函数 y= 的值域解：由 y= 得，sin x= ，∵ -1≤sinx≤1，∴-1≤ ≤1，解之得 ≤y≤33.y= 或 y= (a 0)型分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例 2 解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法即：去分母以后，利用叠加公式和|sinx|≤1 解题例３　求函数 y= 的值域解：∵2cosx+10 0，∴3sinx-2 ycosx=10y+3。

∴ , 其中 ， 由 和 得 ，∴ ,整理得 8y2+5y≤0∴ ≤ y≤0 即原函数的值域为[ ，0]总结：求一次分式函数的值域，首先要看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上；其次用反函数法解题；再次还要注意含三角函数的分式函数，其实质是在指定区间上求分式函数的值域类型二：二次分式型二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于 x 的二次函数由于出现了x2 项，直接反解 x 的方法行不通但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题１.y= (a、 d 不同时为 0)，x∈R 型分析：去分母后，可将方程看作是含参数 y 的二次方程 f(x)=0由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解， ≥0(f(y)≥0),解该不等式便可求出原函数的值域即：用判别式法先去分母，得到含参数 y 的二次方程 f(x)=0,根据判别式≥0（ =f(y)）,即可求出值域例４　求函数 y= 的值域解：由 y＝ 得 yx2－3x＋4y ＝0当 y＝0 时，x＝0，当 y≠0 时，由 △≥0 得- ≤y ≤ ∵函数定义域为 R，∴函数 y＝ 的值域为[- ， ] 。

说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域2.y= (a、 d 不同时为 0)，指定的区间上求值域型例５　求 （x0, >0∴ =1-4x+=[(5-4x)+ ]-4≥2 -4=-2，∴原函数的值域为 例６　求 的值域错解： = ≥2分析：在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法中 和 不能相等，“相等”条件不能成立所以不能使用均值定理但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域解：用单调性法= ，令 =t，显然 t≥2，则 y=t+ (t≥2)，任取 2≤t 1≤t 2,则 f(t1)= t1+ , f(t2)= t2+ ，f(t1)- f(t2)=( t1+ )-( t2+ )=( t1- t2)( 1- )，∵2≤t 1≤t 2 ∴t 1- t20，∴f(t 1)- f(t2)=( t1- t2)( 1- )<0 ∴f(t 1)< f(t2)，即函数 y=t+ 在 t≥2 上单调递增∴当 t=2、即 =2、x =0 时，y min= ，∴原函数的值域为 。

总结：不管是求一次分式函数，还是求二次分式函数的值域，都必须注意自变量的取值范围虽然我们提倡通解通法的培养，但一定要看到只有对一类题才可以用通解通法若失去同一类前提，只强调通解通法，便是空中楼阁 故要因题而论，就事论事，防止一概而论的错误，用辩证和发展的眼光看待问题，这样才会起到事半功倍的效果三、提炼知识，总结分式函数值域解法求函数的值域是高中数学的难点之一，它没有固定的方法和模式但我们可以针对不同的题型进行归类总结，尽最大可能地寻找不同类型分式函数求值域的通解通法常用的方法有：1.反函数法反函数法是求一次分式函数的基本方法，是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域但要注意看清楚是在整个定义域内，还是在指定区间上求值域2.判别式法判别式法是求二次分式函数的基本方法之一，即先去分母，把函数转化成关于 x 的二次方程 f(x，y)＝ 0，因为方程有实根，所以判别式△≥0，通过解不等式求得原函数的值域需注意的是判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内3.不等式法不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2 (a、b∈R ＋ )，是在指定区间上求二次分式函数的基本方法之一，当二次分式函数在指定区间上求值域时可考虑用不等式法。

用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用条件：“一正、二定、三相等”4.换元法换元法是求复合型分式函数值域的常用方法当分式函数的分子或分母出现子函数（如三角函数）时，可考虑用换元法，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域要注意换元后自变量的取值范围5.单调性法单调性法是通过确定函数在定义域(或某个定义域的子集) 上的单调性求出函数的值域的方法另外，还可以根据函数的特点，利用数形结合或求导数的方法求分式函数的值域由于这些方法不是很常用，在此就不多做说明。