次课(随机变量的独立性).ppt

§3 .2 随机变量的独立性,随机变量独立性的概念,离散型随机变量的独立性,连续型随机变量的独立性,一.随机变量的独立性,定义：,设 ( X ,Y ) 是二维随机变量，其联合分布函数为,F ( X ,Y )，,随机变量X与Y的边缘分布函数分别为FX(x),如果对于任意的x,y，均有,则称 X ,Y 相互独立的随机变量和FY(y),,说明,结论 在独立的条件下有,x,y，随机事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立.,随机变量X ,Y 相互独立是指:如果对于任意,即:二维随机变量(X ,Y) 的联合分布函数F(x,y) 可以由边缘分布函数FX(x) 与FY(y) 惟一确定.,例1：设二维随机变量( X ,Y ) 的联合分布函数为,试判断随机变量 X 与Y 是否相互独立.,解,X的边缘分布函数为FX(x)= F(x,+∞),,Y的边缘分布函数为FY(y)= F(+ ∞,y),所以对于任意的x,y，有,故随机变量 X 与Y 相互独立.,二.离散型随机变量的独立性,设 ( X ,Y ) 是二维随机变量，其联合分布率为,随机变量X与Y的边缘分布率分别为,如果对于任意的i, j，均有,则称 X ,Y 相互独立的随机变量.,例2 设二维随机变量( X ,Y ) 的联合分布律为,试确定常数a,b使得随机变量X与Y相互独立.,解,X与Y的边缘分布律为,,若随机变量X与Y相互独立,则有,由此得,又由于,所以,当常数a=2/9,b=1/9使得随机变量X与Y相互独立.,三.连续型随机变量的独立性,设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，其联合密度函,数为f (x ,y )，随机变量X与Y的边缘概率密度函数分别,如果对于几乎所有的x,y，有,则称 X ,Y 相互独立的随机变量。

fX(x), fY(y),,说明: 上式对f(x,y)的所有连续点(x,y)必须成立.,例3：设二维随机变量( X ,Y ) 的联合概率密度函数为,试判断随机变量X与Y是否相互独立.,解,当0≤x≤1时,,所以随机变量X的边缘密度函数为,当0≤y≤2时,,所以随机变量Y的边缘密度函数为,当0≤x≤1 ,0≤y≤2时,,f(x,y)≠fX(x)∙ fY(y),所以随机变量X与Y不是相互独立的.,例4：甲、乙两人约定在某地相会，假定每人的到达时间是相互独立的，且均服从中午12时到下午1时的均匀分布试求先到者需等待10分钟以内的概率解,设甲于12时X分到达,乙于12时Y分到达,,由题意知,随机变量(X,Y)的联合密度函数为,X与Y均服从区间[0,60]上均匀分布,且相互独立.,设A表示“先到者等待时间不超过10分钟”的事件,于是有,例5 把长为 l 的木棒，任意折成3段，求它们能构成一个三角形的概率.,分析 1) 可设第一段的长度为 X , 第二段的长度为Y,上服从均匀分布.,,,,,,,,3) 能构成三角形的充要条件为：,解 设第一段的长度为 X , 第二段的长度为Y，,,,,3) 能构成三角形的充要条件为：,,,,,x+y=l,l,l,o,,,,,l /2,l /2,,所求概率为,上服从均匀分布.,,,,思考题：,1）填空。

已知 X, Y 独立，联合分布率与边缘分布率如下,求：(1)X ,Y 的联合分布率；(2) X 与 Y 是否独立2）已知 X,Y 的分布率如下,。