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2013年考研数学二纯试卷.doc

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    • 金程考研】经济学金融考研网 金程考研 http://www.51dx.org2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合~题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 设 ,其中 ,则当 时, 是 ( )cos1in()xx()2x0x()x(A) 比 高阶的无穷小 (B) 比 低阶的无穷小(C) 与 同阶但不等价的无穷小 (D) 与 等价的无穷小(2) 设函数 由方程 确定,则 ( )()yfxcos()ln1xy2lim[()1]nf(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2(3) 设函数 , ,则 ( sin,0()2xf0()()xFftd)(A) 是函数 的跳跃间断点 x()x(B) 是函数 的可去间断点 F(C) 在 处连续但不可导()x(D) 在 x= 处可导(4) 设函数 ,若反常积分 收敛,则 ( 11,()),lnxefx1()fxd)(A) (B) (C) (D)2202(5)设 ,其中函数 可微,则 ( ) ()yzfxfxzy【金程考研】经济学金融考研网 金程考研 http://www.51dx.org(A) (B) (C) (D) '2()yfx'2()yfx2()fxy2()fxy(6)设 是圆域 在第 象限的部分,记kD2(,)|1k则 ( ()34kIyxd)(A) (B) (C) (D) 10I20I30I40I(7) 设 A,B,C 均为 n 阶矩阵,若 ,且 可逆,则 ( ABC)(A) 矩阵 的行向量组与矩阵 的行向量等价(B) 矩阵 的列向量组与矩阵 的列向量等价 (C) 矩阵 的行向量组与矩阵 的行向量等价 (D) 矩阵 的列向量组与矩阵 的列向量等价(8) 矩阵 与 相似的充分必要条件为 ( )1ab20b(A) (B) 为任意实数 (C) (D) 为任意实数0,2a0,a2,0ab,a二、填空题:9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.:(9) ____________.10ln()lim2xx(10)设函数 ,则 的反函数 = 在 处的导数1()xtfed()yfx1()fy0=_______.0ydx(11) 设封闭曲线 L 的极坐标方程为 = ,则 所围平面图形的面积是  .rcos3()6L【金程考研】经济学金融考研网 金程考研 http://www.51dx.org(12) 曲线 上对应于 =1 的点处的法线方程为__________.2arctnl1xyt(13) 已知 , , 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3xe2xye23xye3 个解,则该方程满足条件 , 的解为 =____________.0x0'1x(14) 设 是3阶非零矩阵, 为 的行列式, 为 的代数余子式,若()ijAaAijAija,则 =__________.0,12,ijij三、解答题:15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)当 时, 与 为等价无穷小.求 与 的值.0xxx3cos2cos-1nana(16)(本题满分 10 分)设 是由曲线 ,直线 及 轴所围成的平面图形, 分别是 绕D31xy)0(axyxV,D轴, 轴旋转一周所得旋转体的体积,若 ,求 的值.x yV1a(17)(本题满分 10 分)设平面区域 由直线 及 围成.计算 .Dxyx3,8ydxyD2(18)(本题满分 10 分)设奇函数 在 上具有 2 阶导数,且 .证明:(xf1-, 1)(f(Ⅰ)存在 .使得),( 0;1)(f(Ⅱ)存在 使得 .(,)【金程考研】经济学金融考研网 金程考研 http://www.51dx.org(19) (本题满分 10 分)求曲线 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.)( 0,133yxyx(20) (本题满分 11 分)设函数 xf1ln(Ⅰ)求 的最小值;)((Ⅱ)设数列 满足 证明: 存在并求此极限.nx.1lnxlimnx(21)(本题满分 11 分)设曲线 的方程为 .Lxyln214)e((Ⅰ)求 的弧长;(Ⅱ)设 是由曲线 ,直线 , 及 轴所围成平面图形,求 的形心的横坐标.DD(22) (本题满分 11 分)设 , ,当 为何值时,存在矩阵 ,使得 ,并求01aAbB1a, CBA所有 矩阵 .C(23) (本题满分 11 分)设二次型 .记23212321321 )()(, xbxaxxf .32321,ba(Ⅰ)证明二次型 对应的矩阵为 ;f T2【金程考研】经济学金融考研网 金程考研 http://www.51dx.org(Ⅱ)若 正交且均为单位向量.证明 在正交变换下的标准型为 ., f 21y。

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