衡水中学2024届高三第四次联考数学试题文试卷.doc

衡水中学2024届高三第四次联考数学试题文试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集，集合，.则集合等于（ ）A． B． C． D．2．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（ ）A．P1•P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P23．若直线与曲线相切，则（ ）A．3 B． C．2 D．4．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）A． B． C． D．5．已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为（ ）A． B． C． D．6．设函数，当时，，则（ ）A． B． C．1 D．7．已知全集，集合，则=（ ）A． B．C． D．8．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱中，点是平面内一点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A．2 B．3 C．4 D．59．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）A． B． C． D．10．已知实数、满足不等式组，则的最大值为（　　）A． B． C． D．11．二项式展开式中，项的系数为（ ）A． B． C． D．12．的展开式中有理项有（ ）A．项 B．项 C．项 D．项二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．正四面体的一个顶点是圆柱上底面的圆心，另外三个顶点圆柱下底面的圆周上，记正四面体的体积为，圆柱的体积为，则的值是______.14．若变量，满足约束条件则的最大值为________.15．点到直线的距离为________16．某校初三年级共有名女生，为了了解初三女生分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生有_____________个．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数是自然对数的底数.（1）若，讨论的单调性；（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明:.18．（12分）已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若“，”为假命题，求的取值范围.19．（12分）已知函数.（1）若在上为单调函数，求实数a的取值范围：（2）若，记的两个极值点为，，记的最大值与最小值分别为M，m，求的值.20．（12分）已知函数，记不等式的解集为.（1）求；（2）设，证明：.21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点的直角坐标为，过的直线与曲线相交于，两点.（1）若的斜率为2，求的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）求的值.22．（10分）设数列的前n项和满足，，，（1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式﹔（2）设，求证：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】先算出集合，再与集合B求交集即可.【题目详解】因为或.所以，又因为.所以.故选：A.【题目点拨】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.2、C【解题分析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.【题目详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故选C.【题目点拨】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.3、A【解题分析】设切点为，对求导，得到，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.【题目详解】设切点为，∵，∴由①得，代入②得，则，，故选A.【题目点拨】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.4、D【解题分析】根据等差数列公式直接计算得到答案.【题目详解】依题意，，故，故，故，故选：D．【题目点拨】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.5、A【解题分析】设出A，B的坐标，利用导数求出过A，B的切线的斜率，结合，可得x1x2＝﹣1．再写出OA，OB所在直线的斜率，作积得答案．【题目详解】解：设A（），B（），由抛物线C：x2＝1y，得，则y′．∴，，由，可得，即x1x2＝﹣1．又，，∴．故选：A．点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A,B,,再求切线PA,PB方程，求点P坐标，再根据得到最后求直线与的斜率之积.如果先设点P的坐标，计算量就大一些.6、A【解题分析】由降幂公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值．【题目详解】，时，，，∴，由题意，∴．故选：A．【题目点拨】本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键．7、D【解题分析】先计算集合，再计算，最后计算．【题目详解】解：，，．故选：．【题目点拨】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题．8、A【解题分析】根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果.【题目详解】由三视图的性质和定义知，三棱锥的正视图与侧视图都是底边长为高为的三角形，其面积都是，正视图与侧视图的面积之和为，故选：A.【题目点拨】本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.9、A【解题分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案.【题目详解】解：，在复平面内对应的点的坐标是.故选：A.【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．10、A【解题分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【题目详解】画出不等式组所表示平面区域，如图所示，由目标函数，化为直线，当直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选A．【题目点拨】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．11、D【解题分析】写出二项式的通项公式,再分析的系数求解即可.【题目详解】二项式展开式的通项为,令,得,故项的系数为.故选：D【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.12、B【解题分析】由二项展开式定理求出通项，求出的指数为整数时的个数，即可求解.【题目详解】，，当，，，时，为有理项，共项.故选:B.【题目点拨】本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、【解题分析】设正四面体的棱长为，求出底面外接圆的半径与高，代入体积公式求解．【题目详解】解：设正四面体的棱长为，则底面积为，底面外接圆的半径为，高为．∴正四面体的体积，圆柱的体积．则．故答案为：．【题目点拨】本题主要考查多面体与旋转体体积的求法，考查计算能力，属于中档题．14、7【解题分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可容易求得目标函数的最大值.【题目详解】作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.观察可知，当直线过点时，有最大值，.故答案为：.【题目点拨】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想，属基础题.15、2【解题分析】直接根据点到直线的距离公式即可求出题目详解】依据点到直线的距离公式，点到直线的距离为题目点拨】本题主要考查点到直线的距离公式的应用16、【解题分析】根据数据先求出，再求出分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数即可.【题目详解】解：，.则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数为.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（1）减区间是，增区间是；（2），证明见解析.【解题分析】（1）当时，求得函数的导函数以及二阶导函数，由此求得的单调区间.（2）令求得，构造函数，利用导数求得的单调区间、极值和最值，结合有两个极值点，求得的取值范围.将代入列方程组，由证得.【题目详解】（1），，又，所以在单增， 从而当时，递减，当时，递增.（2）.令，令，则故在递增，在递减，所以.注意到当时，所以当时，有一个极值点，当时，有两个极值点，当时，没有极值点，综上因为是的两个极值点，所以不妨设，得，因为在递减，且，所以又所以【题目点拨】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.18、（1）（2）【解题分析】（1））当时，将函数写成分段函数，即可求得不等式的解集.（2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“，”为真命题，只需满足即可.【题目详解】解：（1）当时，由，得.故不等式的解集为.（2）因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以.因为，所以，则，所以，即，解得，即的取值范围为.【题目点拨】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.19、（1）；（2）【解题分析】（1）求导.根据单调，转化为对恒成立求解（2）由（1）知，是的两个根，不妨设，令. 根据，确定，将转化为. 令，用导数。