第五章多元函数微分学.doc

1第五章 多元函数微分学本章介绍多元函数的概念，极限、连续、导数、微分以及相关的应用，是历年考研中出题的重点知识点之一，在历年试卷中所占的分值也比较大5.1 学习要求与内容提要5.1.1 学习要求1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2、了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质　3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性 4、熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.5、了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.6、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题重点：理解多元函数连续的概念、可导与连续的关系、多元复合函数的求导、多元函数的最值与极值问题难点：微分形式的不变性、可导与连续的关系、复合函数与隐函数的求导5.1.2 内容提要 1. 二元函数二元函数的定义：设有三个变量 zyx,，如果对于变量 yx,的变化范围内每一对数值，按照一定的法则，变量 z总有一个确定的数值与之对应，则称变量 z是变量 yx,的函数记为),(yxfz。

和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只是与定义域和对应关系有关，而与用什么字母表示变量和因变量无关几何意义：一般讲，二元函数的定义域是平面上的一个区域，常用图形表示出来；二元函数 的图形是一张曲面),(yxfz2. 二元函数极限及连续性（1）二元函数的极限20,),(lim0 Ayxfy ， 当 2020)()(yx时，恒有 Ayxf),(二元函数的极限要求点 ),(Q以任何方式，任何方向，任何路径趋向 ),(0yxP时，均有 ,(),(00yxAyxf 如果沿两条不同的路径， ),(lim0xfyx不相等，则可断定 不存在，这是证),(lim0yxfyx明二元函数极限不存在的有效办法2）二元函数的连续：二元函数的连续：设 (),)fPfxy的定义域为 D, 0(,)Pxy为 的聚点，且0PD.若 0 0(,),)lim,xyy，则称 ()fy在点 0连续3. 二元函数偏导数、全导数及全微分（1）二元函数的偏导数设 (,)zfxy在点 0(,)的某一邻域内有定义，如果极限 xyfx),(lim00 存在， 则称此极限为函数 (,)zfxy在点0(,)xy处对 的偏导数，记作 0yz， 0yxf， 0yxz，或 ),(0yfx。

如果极限 fyxfy),(),(li0存在，则称此极限为函数 (,)zf在点0(,)x处对 的偏导数，记作 0yxz， 0yxf， 0yxz，或 0yf（2）全导数设 )(),(,),( tgwtvtuwvfz，且 gf,均可导，则(gt是关于 的一元函数，也可导，且有3dtwftvfdtuftz...称为 对 的全导数2） 全微分 如果函数 (,)zfxy在点 ),(的全增量 (,)(,)zfxyfxy可表示为22 )zABoxy， 则称函数 ,z在点 ,可微分，而称 yx为函数 (,)zf在点 的全微分， 记作 d， 即,( yBxAz关系：函数连续 可微，可微 函数连续，偏导存在 可微，函数连续 偏导存在3） 基本定理 （可微与偏导数存在的关系定理）若 ),(yxfz在 ),(P点处可微，则在改点处xz及 必存在，且有 dxdzy（偏导数存在与可微的关系定理）若 ),(yxfz的两个偏导数 ， 在xzy),(xP的某邻域内存在，并且在 点处连续，则 在 处连续),(yxP,f),(P（求偏导数与次序无关的定理）若 的两个混合偏导数 ),('yxf及()zxy在区域 D内连续，则有 。

),('yxf ,','ffyxxy4. 多元函数微分学在几何上的应用（1）空间曲线为参数方程的切线和法平面方程)( tzTytx0t曲线 上点 ),(0yxP，则曲线在该点的切线与法线平面方程分别为4)('')(' 000tztytx0)'')('0 zt2)空间曲线为一般式方程的切线和法平面方程设空间曲线 的一般式方程为0),(zyxGF则曲线在点 ),(0zyxP处切线和法平面方程分别为 PPPyxGFzzyzyF),(),(),( 000)(),),(),( 00  zyxxzyGPPP其中 ),(F， ， 为雅克比行列式),(),(yF（3）空间曲面为显式方程的切平面和法线方程则过 S上一点 ),(0zxM的切平面与法线方程分别为 0)()(00 zyzxPPP1000yzxpp其中 ),(0yxP为与 M),(0zy对应的 平面上的一点5. 多元函数的极值及应用（1）多元函数的极值定义：设函数 ),(yxfz在 点的某邻域内有定义，如果对于该邻域异于),(0P5点的任一点 ),(yxQ，恒有 ),(),(0yxff（或 ） ，则称),(0yxP ),(),(0yxfff为 的极小值（或极大值） ，极大值与极小值统称为极值，使函数,f取极值的自变量 yx,的值，称为 的极值点。

),(yxz ),(yxf（2）驻点定义：方程组 0),('yxf的解，称为函数 的驻点),(fz（3）极值点与驻点的关系为函数 的驻点  为函数 的极值点),(0yxP),(f ),(0yxP),(yxf（4) 无条件极值问题 函数中的自变量只受定义域约束的极值问题5）条件极值问题函数中的自变量除受定义域约束外，还受其他条件限制的极值问题6）基本定理 （取极值的必要条件）设 在点 的一阶偏导数存在，且),(yxfz),(0yxP是 的极值点则：),(0yxP),(yxfz0),('yxf （函数取极值的充分条件）设 在点 的某邻域内有连续的二阶偏z),(0yxP导数，且 0),(',0),(' yxfyxf， 0),('),(')],('[ 02022 yxfffxxy则 是 的一个极值点P,z01若 ),('),(' 0022 yxfyxf或 ，则 为极小值点),(0yxP若 ，则 为极大值点'' 22 yx或 设函数 在闭区域 D上连续，则 在 上有最大值与最小值),(fz),(yxfD65.1.3 方法与疑难解析1. 方法解析1、求二元函数的表达式或定义域：求二元函数的定义域基本同一元函数一样，先写出构成各部分的各简单函数的定义域，再解联立得不等式组即得所求的定义域；2、二元函数的极限、连续、可微性和全微分有关的命题：主要根据定义；3、求简单多元显函数 ),(zyxfu的偏导：求简单多元函数的方法很简单，在求),('zyxf时，将 z,当作常数，利用一元函数的求导公式和导数的运算法则可求得，求， 类似。

符号 ),('2zyxfyxu，表示先对 x求偏导， （ zy,暂,'fy ),('yxfz时当作常数） ，然后再对 求偏导（此时 z,当常数） ，符号 类似；,,23zu4、无条件极值的求法：（1）利用二阶偏导数之间的关系和符号判断取不取极值及极值的类型；（2）利用全微分来判断，即假设有一元函数 ),(yxfu在点 ),(0处，如果0),(,0),(2yxfdyxdf ，则 ),(0yxf为极大值，，则 为极小值5、条件极值的求法：（1）化为无条件极值问题求解；（2）更一般的是利用拉格朗日乘数法求解，值得注意的是：“乘数法”所得到的点只是“可能”的极值点，到底是否是极值点及其类型要依据拉格朗日函数 ),(zyxF的二阶微分 Fd2的符号来判断；6、最值的求法：（1）求出 在 内“可疑”的极值点的函数；（2）求出fD在 上可能的边界上的最值；（ 3）将上面所得之函数值进行比较，最大（小）者),(yxfD为最大（小）值如果是实际应用题，知道 在 内只有一个驻点，则函数在该点的值就是所求),(yxf的最大（小）值，不必再求 在的边界上的最值，也无须判别函数值是极大（或极小）值。

77、函数最值的求法：（1）求出求空间曲线的其上的切线、法线、切平面和法平面：根据知识解析公式计算2.疑难解析题型 1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1、二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算注意：在二元函数 存在的定义中， 方式任意，正是由于这一点致0lim()PfA0P使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同①证明二元函数的极限不存在：若 的极0以 两 种 不 同 的 方 式 趋 于 时 ， ()fP限不同，则 一定不存在0li()Pf②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等2、全微分几个概念之间的关系关系：偏导连续 可微 偏导存在；可微 连续；但偏导存在 可微；连续 偏导存在注意：① 一元函数微分学的有些结论不能搬到多元函数微分学中②讨论分段函数在分段点的偏导数及全微分必须利用偏导数和全微分的定义。

③利用偏导数和全微分的定义讨论函数偏导数的存在性和可微性，既是重点也是难点，需掌握题型 2 多元函数的偏导数的计算①利用变量替换，借助求解多元复合函数的偏导数使方程变形，是常见题型，这里注意把握好 与中间变量 及自变量 的树形关系： ,zxy,uv,xy②隐函数求导问题，可以直接利用隐函数的求导公式： ，也可以zxFzy方程 两边分别对 ， 求偏导数0),(zyxFxy8③若利用 ， 求隐函数的二阶偏导数时，应注意到 仍然是 的函zxFzy z,xy数，需进一步利用复合函数的求导法则去求题型 3 多元函数微分学在几何中的应用①一般地，若： ，则在 处， ；()xtyzt0t00(),()Ttt若： ，则在 处，切向量 ；()yxz0x0(1,),(yxz若： ，则在 点， （注意条件）(,)FGxy00(,)Myz0(,),(Tx②两平面平行，则它们的法向量成比例，但并不一定相等③一般地，若曲面方程为 ，则在 点，切平面的法向量(,)0Fxyz00(,)xyz000(,),(,,xyznFz题型 4 与函数的全微分、方向导数和梯度有关的题①一般地，若 则 ；,zfx001,2(,)(,)dxyxyzzd若 则 。

,ufxy00 00(,)(,) (,)(,)uxyzxyz xyzxyzuud②求由隐函数所确定的函数的全微分时，既可以先利用隐函数的求导方法求出偏导数，再利用全微分的计算公式得 ，也可以利用全微分形式不变性得dd③一般地， ，000(,)(,)cos(,)cosxyxyfffxl，其中0 00(,),(,)(,)cosxyzxyzffzfzfxyl 是向量 的方向余弦coscse9④一般地， ；000(,)(,)(,)xygradfyffx0 0(, ,)xrfxzzzfyz⑤方向导数沿梯度的方向达到最大值，且其最大值为梯度的模题型 5 与多元函数极值有关的题①极值的充分条件：设函数 (,)zfxy在点 的某邻域内连续且有一阶及二阶连0(,)续偏导数 又 ， 令00(,),xyff，则0, 。