1982年高考理科数学试题及答案.doc

高考试卷 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞1982 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一． （本题满分 6 分）填表：函 数 使函数有意义的 x 的实数范围1 2xy{0}2 )( R3 arcsinxy R4 )([-1,1]5 xylg10(0,+∞）6 l R解：见上表 奎 屯王 新 敞新 疆二． （本题满分 9 分）1．求（-1+i) 20展开式中第 15 项的数值;2．求 的导数 奎 屯王 新 敞新 疆3cos2xy解：1.第 15 项 T15= .38760)(162046420Ci2. 2sin1)(snco)(cs xxxy 三． （本题满分 9 分）在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形 奎 屯王 新 敞新 疆1． ;043621yx Y 1 X O Y 1 O X 高考试卷 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞2． .sin,co1yx解：1.得 2x-3y-6=0 图形是直线 奎 屯王 新 敞新 疆2.化为 图形是椭圆 奎 屯王 新 敞新 疆,14)(2yx四． （本题满分 12 分）已知圆锥体的底面半径为 R，高为 H 奎 屯王 新 敞新 疆求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高 h（如图） 奎 屯王 新 敞新 疆解：设圆柱体半径为 r 高为 h 奎 屯王 新 敞新 疆由△ACD∽△AOB 得.RrHh由此得 ),(hr圆柱体体积 .)()(222hHRhrV由题意，H＞h＞0，利用均值不等式，有 .)(,3,,2 .274424322 最 大时因 此 当时 上 式 取 等 号当原 式 hVHh Rh （注：原“解一”对 h 求导由驻点解得 奎 屯王 新 敞新 疆）五． （本题满分 15 分）（要写出比的 大 小与比 较设 |)1(log|)1(log|,0,10 xxax aa较过程） 奎 屯王 新 敞新 疆A D c H h B E O 2R 高考试卷 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞解一：当 >1 时，a .|)1(log|)1(log|,1,00.|)(log|)1(log| ,0l, , ).(|l|l| ),1(log|1l),()(,10.|log|log| ,0)(l,, ).1(log)]1(log[|)(l|)(l| ,|1l,12222 2xxaxxaxx xxa xxxxxaaaa aaaa aaaa 总 有时因 此 当 时当解二： |)1(log|)1(log|)1(log| xxxaa ,0,|)1(log|)1(log|,|)1(log|, 0l1 )(ll)(l 22 212111 xxxx xxaaa xx   即原 式原 式六． （本题满分 16 分）如图：已知锐角∠AOB=2α 内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形 PMON 的面积等于常数 c2 奎 屯王 新 敞新 疆今以 O 为极点，∠AOB 的角平分线 OX 为极轴，求动点 P 的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线 奎 屯王 新 敞新 疆A M P（ρ，θ） X O N B 高考试卷 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞解：设 P 的极点坐标为（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),四边形 PMON 的面积 .2sin.2sin)i(cosi,.2s2cosin)](i)([s4snco)in()[cos(2:, )]sin()co()si()[(22112222 2 cyxcyx cPNOMS即 为化 为 直 角 坐 标 方 程 上 式用即用 和 差 化 积 公 式 化 简 得用 倍 角 公 式 化 简 得的 轨 迹 的 极 坐 标 方 程 是动 点依 题 意这个方程表示双曲线 奎 屯王 新 敞新 疆由题意，动点 P 的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB 内的一部分 奎 屯王 新 敞新 疆七． （本题满分 16 分）已知空间四边形 ABCD 中 AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q 分别是边AB，BC，CD，DA 的中点（如图）求证 MNPQ 是一个矩形 奎 屯王 新 敞新 疆证：连结 AC，在△ABC 中，∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC 奎 屯王 新 敞新 疆在△ADC 中，∵AQ=QD，CP=PD，B M R A N Q D K S P C 高考试卷 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞∴QP∥AC 奎 屯王 新 敞新 疆∴MN∥QP 奎 屯王 新 敞新 疆同理，连结 BD 可证 MQ∥NP 奎 屯王 新 敞新 疆∴MNPQ 是平行四边形 奎 屯王 新 敞新 疆取 AC 的中点 K，连 BK，DK 奎 屯王 新 敞新 疆∵AB=BC，∴BK⊥AC，∵AD=DC，∴DK⊥AC 奎 屯王 新 敞新 疆因此平面 BKD 与 AC 垂直 奎 屯王 新 敞新 疆∵BD 在平面 BKD 内，∴BD⊥AC 奎 屯王 新 敞新 疆∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP 为直角 奎 屯王 新 敞新 疆故 MNPQ 是矩形 奎 屯王 新 敞新 疆八． （本题满分 18 分）抛物线 y2=2px 的内接三角形有两边与抛物线 x2=2qy 相切，证明这个三角形的第三边也与x2=2qy 相切 奎 屯王 新 敞新 疆解：不失一般性，设 p>0,q>0.又设 y2=2px 的内接三角形顶点为A1（x 1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)因此 y12=2px1，y 22=2px2 ，y 32=2px3 奎 屯王 新 敞新 疆其中 y1≠y 2 , y2≠y 3 , y3≠y 1 .依题意，设 A1A2，A 2A3与抛物线 x2=2qy 相切，要证 A3A1也与抛物线x2=2qy 相切 奎 屯王 新 敞新 疆因为 x2=2qy 在原点 O 处的切线是 y2=2px 的对称轴，所以原点 O 不能是所设内接三角形的顶点 奎 屯王 新 敞新 疆即（x 1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，都不能是Y x2=2qy y2=2px A1 O A2 A3 X 高考试卷 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞（0，0）;又因 A1A2与 x2=2qy 相切，所以 A1A2不能与 Y 轴平行，即x1≠x 2 , y1≠-y 2,直线 A1A2的方程是),(12x).(2112xpyy(1) 0)(2.24)( ,0.212121212 212121 yqpyqxAypqxxA化 简 得 上 面 二 次 方 程 的 判 别 式相 切与 抛 物 线由 于 交 点 的 横 坐 标 满 足与 抛 物 线方 程 是同理由于 A2A3与抛物线 x2=2qy 相切，A 2A3也不能与 Y 轴平行，即x2≠x 3, y2≠-y 3,同样得到 () 0)(p 2yq由（1） （2）两方程及 y2≠0,y 1≠y 3,得 y1+y2+y3=0.由上式及 y2≠0,得 y3≠-y 1，也就是 A3A1也不能与 Y 轴平行 奎 屯王 新 敞新 疆今将y2=-y1-y3代入（1）式得： () 0)(p 132yq(3)式说明 A3A1与抛物线 x2=2qy 的两个交点重合，即 A3A1与抛物线x2=2qy 相切 奎 屯王 新 敞新 疆所以只要 A1A2，A 2A3与抛物线 x2=2qy 相切，则 A3A1也与抛物线 x2=2qy 相切 奎 屯王 新 敞新 疆九． （附加题，本题满分 20 分，计入总分）已知数列 和数列 其中 ,21,na,,21 nb11,,npaqbpa高考试卷 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞).0,,,()21  rpqrqpnrbqabn 且是 已 知 常 数1．用 p,q,r,n 表示 bn，并用数学归纳法加以证明;2．求 .lim2nna解：1.∵ 1=p, n=p n-1,∴ n=pn.a又 b1=q,b2=q 1+rb1=q(p+r),ab3=q 2+rb2=q(p2+pq+r2),…设想 .)()(11 rpqrpqnnnn 用数学归纳法证明：当 n=2 时， 等式成立; ,)()(22rpqrb设当 n=k 时，等式成立，即 ,)(bkk则 bk+1=q k+rbk=a ,)()(1rpqrpqk即 n=k+1 时等式也成立 奎 屯王 新 敞新 疆所以对于一切自然数 n≥2， 都成立 奎 屯王 新 敞新 疆rpqbnn)(高考试卷 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞.)(lim,0)(,,10,]1[)((li, ,)()(lim,0,)(lili.22222 222222qrpbarnprpqrprpqrrprpqbann nnnn nnnnnnnn时故 当原 式分 子 分 母 同 除 以原 式。