认知心理学视角下的数学教育.doc

认知心理学视角下的数学教育                             谢明初1，朱新明2  （1．南京大学 哲学系，江苏 南京 210093；2．中国科学院 心理研究所，北京 100102）摘要：自20 世纪60 年代以来，数学教育逐渐成为心理学特别是认知心理学关注的对象，由于认知心理学家采取了与数学家、数学教育专家不同的研究方法，因而得出关于数学教育的新的见解、新的结论，这就为我们从另一个视角审视当前数学课程改革提供了可能性．关键词：认知心理学；数学教育；建构主义；情境认知     大约三十年前，经过著名的数学家、数学教育学家弗赖登塔尔（Freudental）的努力，一个新的研究组织——国际数学教育心理研究小组（the International Group for thePsychology of Mathematics Education）终于成立了．当时，著名的心理学家菲希宾（Efrain Fishbein）发出这样的感叹：“似乎数学家和心理学家坐在一起后并没有什么共同话题．”    然而并非所有人都认同这种观点，这不仅因为在历史上一些有名的数学家如勒贝格，庞加莱，阿达玛，波利亚十分关心教育，并对数学创造发明的心理做出精辟分析，而且自20世纪60 年代心理学的认知革命以来，心理学越来越多地关注教育，特别是数学教育，不仅把数学教育当成是产生研究问题的源泉，而且也得到许多关于数学教育的新的见解、新的结论，这就为从心理学角度去审视数学教育提供了可能．   1 不同的研究视角    数学家、数学教育专家和心理学家感兴趣的问题似乎各不相同．一般说来，数学家们对数学创造的神秘过程感兴趣，他们经常思考：数学问题是怎样被提出来的又是怎样被解决的？如庞加莱（Poincare）就认为数学创造是一种洞察的过程，他强调在高度专注一段时间后会突然地出现顿悟的火花．阿达玛在1945 年曾对美国的一些数学家做了调查，向诸如伯科夫（George Birkhofs），维纳（Norbont Winner），波利亚（George Polya）和爱因斯坦（Albert Einstein）等数学家询问他们在研究数学时的心智表象．戴维斯（Davis）和赫什（Hersh）则用“数学的认知类型”一词去刻划阿达玛所说的问题解决途径上的差异，阿达玛在他的著作《数学领域中的发明心理学》中谈到了心理学研究中的主观法（内省法）和客观法，他提倡在数学创造的研究中使用主观法，认为在这种现象中，存在很多例外的情况，很难对这些情况做出观察和比较．阿达玛认为行为主义拒绝对思维过程的研究，因而是“一种非科学的态度”[1]．    随着数学教育作为一门研究领域的出现，也就形成专门的研究队伍，出现所谓“数学教育专家”．与数学家相比，数学教育专家则对数学学习过程更感兴趣，他们更关心的是中小学生的数学学习而不是数学创造发明过程中的思维活动．有人对数学学习活动与数学研究活动做了区分：数学学习是在教师诱导下的获取人类已知的数学成果的过程，而数学研究活动则是独立探索人类未知规律的过程[2]．尽管这两个过程并非绝然分开，但若是从教育学角度去分析，则是完全不同的过程．    尽管数学教育专家在研究过程中经常使用心理学的一些方法，运用心理学的术语和结论，但是他们与心理学家都有很大的不同：在数学教育专家那里，心理学只是当成一门工具学科而被应用．他们对一般的认知规律并不特别感兴趣，而只是借助心理学理论来说明数学教育中的问题．    心理学家对数学教育的研究分成两个阶段．在早期，心理学家只是借用数学个别题材去研究一般的认知活动，从而得出人的一般心理学规律．由于受实证主义的影响，心理学研究在很长一段时间坚持以方法为中心，以此来巩固其科学地位．但是过分强调方法，就不得不对所研究的问题进化简化，可以说，这个时期所选择的数学问题都是一些定义良好的语义贫乏的问题．例如，桑戴克在做迁移理论的研究时就是以算术为工具学科，而贾德甚至认为算术是思维的一般模式．威廉·布朗尼尔（Willam Brownell）对数学的研究也大都是限于算术学习[3]．由于没有涉及高级的数学思维活动，早期的心理学研究所获得的结论并不被认为对数学教育有很大的帮助．大约从20 世纪60 年代后，心理学开始摆脱行为主义的影响，提倡对大脑内部过程进行研究．心理学的认知革命则把计算机作为人的大脑的一个隐喻，并运用信息技术的术语来检验大脑的机制．    从研究对象来看，认知心理学抛弃了行为主义的一个重要的概念：只有可以直接观察到的东西才能成为科学研究的对象，认为心理学不仅应该而且可能用客观方法来研究人的内部的心理过程．    从研究方法来看，认知心理学主要采用了信息加工的观点，用计算机来模拟人的大脑，如果计算机运算的结果与人脑思维的结果相一致，这就证明了最初提出的计算机模型是正确的，即是说人的大脑的确是按照这样的模型来工作的．由于研究对象和研究方法的改变，使得心理学研究的内容极大丰富起来．与早期行为主义心理学相比，认知心理学不再局限于算术中的心理学问题，而且逐步涉及到像几何、代数乃至高等数学中的心理活动．这类研究具有典型的学科意义，对数学教育更具启发性和指导意义．不过与传统数学教育研究相比，认知心理学对数学教育的研究采用了更为特殊的视角．    首先，认知心理学强调对任务进行分解和精细分析，这就使得对数学教育的研究更加深入，更加具体．不仅研究数学知识的掌握，更加注重分析学生的认知风格和认知策略的应用水平．    其次，相对于数学家使用内省法研究数学思维过程．认知心理学家采用了较为特殊的方法，即使用客观的方法研究人的思维过程，这就使得它对数学教育的研究上升到一个更为科学的水平．按郑毓信教授的观点，认知心理学对学习过程的研究达到了探幽入微的程度[4]．    第三，一般地说，认知心理学的研究并不直接涉及到教的过程，也不直接涉及数学课程方面的讨论，而是专注于认知过程．这就构成了它与传统数学教育研究，特别是国内数学教育研究的一个重要差别．在国内数学教育研究长期以“教材教法”为主，在有关的刊物和书籍中经常看到的是“教案”而不是“学案”．在国外，经历的数学教育现代化运动也是关心如何用现代数学思想去指导初等数学改革，而忽略了对数学学习活动中学生的真实的思维活动的研究．然而，一切数学教育研究最终都要落实于学生的数学学习活动，从而，就只有对学生在学习数学过程中的思维活动有着较深入的了解，数学教育才能够得到健康的发展[4]．在谈到美国数学教育的发展趋向时，戴维斯曾写到“今天，数学教育研究正经历着研究方向的根本转变．美国最为活跃，最富有创造性的学者都转向了这样的问题：人类思维是如何产生数学思想的”；另外，在论及美国数学教育界亟待解决的一些问题时，戴维斯则把“更深入了解学生真实的思维活动”列为首要的问题，即是“数学教育研究和发展所面临的最为重要的挑战”[4]．   2 关于数学知识获得的共同观点    尽管采取以上不同的研究视角，认知心理学家和数学教育专家在知识获得的基本原则上也存在着一些共识．在数学教育的第七次国际会议的数学学习理论小组会上，著名认知心理学家哈塔罗（Hatano）列举知识获得的5 个特征，他认为多数认知心理学家和数学教育专家对此表示认同[5]．   （1）知识是通过认知主体的积极建构而获得的，而不仅仅是通过传递而实现的．有关“程序干扰”和“迷思概念（Misconcept）”的研究为此提供了强有力的证据——学生是按照他自己独有的方式来看待数学和理解数学概念的．例如，年幼的儿童经常犯一个系统的减法错误，他们总是从大的数字减去小的数字而不考虑这个数字的位置．许多小学实习教师相信“数越除越小”，尽管从没有人教他们这样的概念．   （2）知识的获得涉及到重新构造．这不仅仅是指个人知识的数量逐渐增加，而且也指知识的质量也发生了变化（知识得到了重组），不能把儿童视为“小”的成人．在把未知性质看成是动态的目标时，哈塔罗发现年龄小的儿童依赖基于相似性（similarity-based）推理，而年龄较大的儿童和成人则使用基于分类（category-Based）的推理，他还发现不论是在科学史上还是认知发展过程中对观念变化的研究都是尤其值得关注的，这也许是因为基本观念的变化可能是最激进的智力重构．  （3）知识获得的过程既是一个内部的过程也是一个外部过程（受到诸如语言、符号之类的文化产品的影响）这就部分解释了为什么不同的个体获得相似但又绝非等同的知识．  （4）知识具有学科特殊性．这体现认知的“经济”原则——在问题解决过程中，一个人只需要掌握与专业相关的知识．不过，这里所需要的是个体能否将一个学科的知识从一个场景迁移到另一个场景．  （5）知识的获得是置于情境的．即，它反应知识最初是怎样获得的，后来又是怎样被应用的．它不仅仅由抽象法则、定律、公式组成，而且也包含了认知主体的经历．成为某一学科领域的专家（如数学家和物理学家），可能是个人知识的一个“去情境化（decontextualization）”过程，它要求知识变得较少依赖具体情景，较少联系表面特征．尽管有上面的一些共识，但是在对待具体的数学教育问题（教材编写、教学设计、教学评估），认知心理学的观点与流行的观点有很大的不同．  3 认知心理学对当前某些数学教育论点的辨析   自20 世纪90 年代开始，世界各国相继掀起了新一轮数学课程改革的热潮．影响改革的主要理论一是建构主义，二是情境认知理论．建构主义坚持知识的个人私有，反对重复操作的学习和评估，情境认知强调知识存在于外部环境，提倡在特定的、具体的学习任务中训练．由于建构主义和情境认知理论并未涉及到具体心理机制，而是对人的一般学习活动的性质的一个分析，因此从总体上来说，这两种理论应被看成是一种认识论或教育思想而不应看成是认知心理学的分支理论．由于数学教育表现出自己的特殊性，而建构主义和情境认知理论对数学教育起着特别重要的影响，我们通常把这两者看成两种重要的数学教育理论．当前课程改革中出现这样的一种倾向：这两种理论被当成一个标签在数学教育实践中到处使用．由于现代认知心理学的信息加工理论主张对教学任务做精细分析，对教学方法的有效性做彻底的实验研究，这就为正确把握这两种理论提供了一个特殊视角，从而就可能使新一轮课程改革建立在较为可靠的理论基础之上．以下从认知心理学的角度对当前数学课程改革的某些观点进行辨析．  （1）知识不能由教师传递，它只能由学习者自己建构．“学习必须是一个积极主动的过程”，认知心理学对这一点并无异议，问题是由此是否可以进一步走向一个极端，即认为学习完全是一个个人行为，教师的教学不起任何作用．皮亚杰的认识发生理论提到了两个概念，一是同化，二是顺应．同化是将新的经验纳入学生已有认知结构之中，顺应则是学生调整自己的思想以适应新的任务．对皮亚杰的理论进行认真仔细的思考就表明，同化和顺应是密切联系不可分割的一个整体，特别是可以认为同化在促进知识的顺应过程中起到了关键的作用，没有同化，顺应就不能进行．安德森在ACT-R 模型进一步指出，教师的教学旨在确定例子的表征，正是从这个例子的表征中，学习者建构自己的理解[6]．在教育理论界，曾经有一段时间，讲授法一直被当成教学失败的方法而加以批判，将发现式教学当成是一种先进的方法而被广泛宣传．然而根据意义学习的前提条件，接受学习不等于机械学习，发现学习并不等于意义学习．正如奥苏伯尔所做的研究报告所指出的，“认为发现学习优于接受学习的有效证据并不存在．似乎热衷发现学习的人是在相互取证——通过引用彼此的观点作为证据，通过分析概括一些模棱两可甚至负面的发现而做出判断”[7]．  （2）数学知识不能分解，必须在一个复杂的情境中进行学习．     持建构主义立场的学者莱希（Lesh ）和佐捷斯基（Zawojeski）甚至断言，儿童所有的数学学习几乎都要在一个复杂情境中进行[8]，如果这种观点成立，就将是对“双。