2022考研数学证明题常见题型及解法一览表.docx

2022考研数学证明题常见题型及解法一览表 证明题常见题型及解法一览表 一、定积分等式的证明（常用方法有：换元法，分部积分法，构造函数法，泰勒公式法等） Ⅰ 换元法—适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件的命题 思路提示：(1)依据定积分与积分变量无关的性质，改写等式一端的积分变量为u ； (2)作变量代换．(i)若等式一端的被积函数或其主要部分为f(x)，而另一端为 f[φ(u)]，则作代换：x=φ(u)； (ii)若等式一端为f(x)，另一端为f(u)，则所作代换依据等式 两端的积分限； (3)利用所作代换，由等式一端推导出另一端 Ⅱ 分部积分法—适用于被积函数中含有f’(x)或变上限积分的命题 Ⅲ 构造辅助函数法—适用于证明在积分限中至少存在一点ξ或x 0，使等式成立的命题 思路提示：(1)将ξ或x 0改成x ， 移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数F(x)或F’(x)； (2)验证F(x)满足介值定理或微分中值定理的条件； (3)由介值或微分中值定理，即可证得命题． Ⅳ 泰勒公式法—适用于被积函数f(x)具有二阶或二阶以上连续导数的命题 思路提示：(1)作辅助函数； x a F(x)=f(t)dt ∫（2）将F(x)在所需点处进行泰勒展开（一般是根据右边表达式确定展开点） ； （3）对泰勒余项作适用处理（一般是利用介值定理）。

二、定积分不等式的证明 下面根据被积函数的连续性、可导性、二阶和二阶以上可导性，分别给出证题的思路 Ⅰ 仅告知被积函数连续的命题的证法 思路提示：(1)作辅助函数F(x)； (2)求F(x)的导数F’(x)，并判别F(x)的单调性； (3)求F(x)在积分区间[a ，b]的端点值F(a)，F(b)，其中必有一个为“0”， 由第2条思路可推出F(b)>F(a)(或F(b)F(a)(或F(b)