高等数学-李心灿-第二章极限与连续.ppt

一、数列的概念一、数列的概念二、数列的极限二、数列的极限第一节第一节 数列的极限数列的极限一、数列的概念定义2.1 按一定顺序排列起来的无穷多个数称为数列,简记为 .数列中的每个数称为数列的项. 第n项 称为数列通项或一般项. 中的n称为数列的下标.例1 数列例2例3 数列例4 数列数列 可以理解为正整数n的函数，因此，又可以称数列为整标函数，其定义域是正整数集.单调增加的；单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.单调减少的.若有定义2.2 对于数列 ，若存在正数M，使得对于一切的n都有成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的.容易验证例1、例2、例3数列是有界的，的和例4中数列是无界的.在几何上，通常用数轴上的点列 来表示数列 .这种表示法可以显示数列的某些性态.如单调增加的数列 是自左向右依次排列的点列.表示有界数列的点列全部落在某一区间[－M，M]之内，表示无界数列的点列，无论区间[－M，M]多么长，总有落在该区间之外的点.二、数列的极限我国古代著名的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的论断，就是数列极限思想的体现.数列的变化趋势，也可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.例如对于　　　　 　 来说，当n越来越大时，没有确定的变化趋势.当n“充分大”时， “无限接近于1”;的图形当n“充分大时”， 　“无限接近于0”.定义2.3 设有数列 和常数a，如果对于任意给定的正数ε (不论它多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，有那么就称数列 以a为极限，或者称数列 收敛于a，记作 或如果这样的常数a不存在，就说数列 没有极限，可表示为 或者说数列 是发散的. 数列收敛于a的几何意义如下：　　当我们把 看成是数轴上的点列时，数列 收敛于a，就是对点a 的任何一个邻域 ，都存在一个序号N，使得点列 的第N个点 以后的所有点 都在这个邻域之内，即点列中最多除去前N个点外，都聚集在点a的这个邻域之内，或者说至多有N个点 落在区间之外. 当我们把数列 看成是n的整标函数，即 其图形是在平面直角坐标系中的二维点列： 数列 收敛于a，就是对于任意给定的正数 (无论其多么小)，总存在正整数N，当n>N时，二维点 都在直线 与直线 形成的带状域之内，一般来说， 越小( 带宽小)，N越大.例5 用定义验证证 对于任意给定的ε>0,欲使只需因此取正整数则当n>N时,都有从而知,当 时, 以0为极限,即证 当q=0时，等式显然成立.当0<|q|<1时，对任意给定的正数 (不妨设 <1).例6证 对于任意给定的正数 (不妨设0< <1)，由于例7定理2.1 (收敛数列的有界性) 收敛数列必有界,即如果证 设数列 收敛，并且以a为极限. 根据数列极限的定义，对于 ，存在着正整数N，使得当n>N时，都有 ,则存在M>0,使得对于一切n,都有取则对于一切n,都有由定理2.1知，无界数列一定是发散的.注意: 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.例如，数列 是有界的，而 却是发散数列.第二节第二节 函数的极限函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质三、函数极限的性质一、一、自变量趋于无穷大时函数的极限有下面三种方式： 表示x无限地增大时,沿x轴的正向无限远离坐标原点.对照数列极限的定义，给出下面的定义. 表示x无限地减少时,沿x轴的负向无限远离坐标原点. 表示x的绝对值 无限地增大,即x既沿着x轴的正象,又沿x轴的负向,无限远离坐标原点.定义2.4 设函数f(x)在 上有定义，A为一个常数.如果对于任意给定的正数 ，总存在正数X>b，使得当|x|>X时，都有成立，上述的定义的几何意义是:对无论多么小的正数 总能找到正数Ｘ，当x满足条件x>X或x<–X时，曲线y=f(x)介于两条水平直线　　　　　　　 之间. 从 及其几何意义可以看出,ε是任意给定的,X是随ε的给定而给定的.在 的定义中，将|x|>X，换成x>X可以得到　 的定义；若将|x|>X换成x<–X就可以得到　　　　　　的定义.水平渐近线.例1证例2 用定义验证 (c为常数).证 对于任意给定的正数ε,欲使可取任一正数X,当 时,便有从而例3证二、自变量趋向有限值时函数的极限表示x从x0的右侧无限趋近于x0.表示x从x0的左侧无限趋近于x0.表示x从x0的左、右侧无限趋近于x0.由前面两个例题可知，当 时，f(x)以A为极限与f(x)在 处有无定义无关.但当 时，f(x)可以无限地接近于A.也就是说，只要x充分接近 ，|f(x)–A|可以小于任意给定的正数 .而x充分接近 可以用“存在正数 ”描述.下面给出当 时，f(x)以A 为极限的精确定义.定义2.5 设函数f(x)在x0的某去心邻域 内有定义，A为一个常数.如果对于任意给定的正数 (无论它多么小)，总存在正数 ，使得当 时，有则称函数f(x)当 时以A为极限.记作 或 如果这样的常数不存在,则称函数f(x)当 时极限不存在,可表示为 不存在或称函数f(x) 当 时是发散的.注意： 定义中不等式 的“0”表示不要求不等式 在点 成立，这表明 时 与f(x)在点 的状况(有、无定义，或有定义时， 是否等于A)是无关的.几何意义： 对于任意给定的正数 ，无论其多么小，总存在点 的一个去心邻域 ，使得函数y=f(x)在这个去心邻域内的图形介于两条平行直线 之间.例4证例5 用定义验证证 由例4知,当c=0时显然成立,以下设c≠0对任意给定的只需因此,取当时,有在 的定义中，x可以以任意方式趋向于 .有时，为了讨论问题的需要，可以只考虑x从 的某一侧(从小于 的一侧或从大于 的一侧)趋向于 时f(x)的变化趋势，这就引出了左极限和右极限的概念.定义2.6 设函数f(x)在 内有定义，A为常数.若对任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当 时,有则称f(x)在 处的右极限为A，记为在上面的定义中将函数f(x)改为在 的左侧附近有定义(即在 内有定义)，即将 改为 就得到了f(x)在 处的左极限为A的定义.相应地记作左极限和右极限统称为单侧极限.根据 时函数f(x)的极限定义、左极限和右极限的定义，可以得到下面的结论.定理2.2又提供了讨论分段函数在分段点x0处是否存在极限的方法.定理2.2函数f(x)在点x=1处的左、右极限都存在，但不相等，由定理2.2可知极限 不存在.例6 设当当研究当 时,函数f(x)的极限是否存在.解 当 时,有当x>1时,有定理2.1(唯一性) 若 (或 )存在,则其极限唯一.三、函数极限的性质定理2.2(局部有界性) 若 (或 ),则存在正数δ(或正数X),当 (或 ),时,f(x)有界.定理2.3 (局部保号性)若 (或 ),则存在正数δ(或正数X),当 (或 ),时,f(x)恒不为零且与A有相同的符号.推论 当 (或 )时,若f(x)≥0 , 且 (或 ) 则A≥0;若f(x)≤0 ,则相应地有A≤0.以上三条性质对数列极限也成立.第三节第三节 极限的运算极限的运算一、极限的四则运算一、极限的四则运算二、基本初等函数的极限二、基本初等函数的极限三、复合函数的极限运算法则三、复合函数的极限运算法则定理2.8 设 则一、极限的四则运算下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结论对数列极限也成立. 其中自变量x的变化过程也可以是 的各种情形.证定理2.8中的(1)和(2)可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况.结论(2)还有如下常用的推论.推论1 设limf(x)存在，则对于常数c，有推论2 设limf(x)存在，则对于正整数k，有例1解例2 求解 例3 求解例4解 把分式的分子、分母同时除以x2,得其中k，l为正整数.例5 求解 把分式的分子、分母同时除以x4,得一般地，设有多项式(有理整函数)则有设有理分式函数(有理整函数与有理分式函数统称为有理函数)即式(3)与式(4)说明对于有理函数求关于 的极限时，如果有理函数在点 有定义，其极限值就是在 点处的函数值，以后可以当做公式使用.例6 求极限解例7解例8解例9解例10解其中m，n为正整数.二、基本初等函数定理2.4 设f(x)是基本初等函数，并设其定义域为I,点 ，则有三、复合函数的极限运算法则定理2.5 （复合函数的极限运算法则） 设y=f [g(x)]是由函数f(u)与函数u= g(x)复合而成的， f [g(x)]在点x0的某去心邻域 内有定义，若且当 时， ，则定理2.6 (极限记号与函数记号交换次序定理) 设y=f [g(x)]是由函数f(u)与函数u= g(x)复合而成的， f [g(x)]在点x0的某去心邻域 内有定义，若则其中一头一尾两式成为这以为着极限记号 与函数记号f可以交换次序.例11 求解例12 求解第四节第四节 极限存在准则及两个极限存在准则及两个重要极限重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则二、两个重要极限二、两个重要极限一、极限存在准则准则I(夹逼准则) 如果函数 f (x)，g(x)，h(x) 在去心邻域 内(或 时),满足条件则证 由对任意给定的ε>0存在δ1>0,当 时,有 ,即由对任意给定的ε>0存在δ2>0,当 时,有 ,即取 ,当(5)式与(6)式同时成立,又由条件(i),可得即得 ,亦即所以 类似地,关于 的夹逼准则:如果数列 满足条件则准则2(单调有界准则) 单调有界数列必有极限.下面给出几何解释：在数轴上，对应于单调数列 的点列只能从 开始向一个方向排列，所以只有两种可能情况：或者点列 沿数轴移向无穷远处(此时 发散)；或者点列 无限趋近于某一个定点a(常数)，也就是 以a为极限.现已假定数列是有界的，因此结果只能是后者.二、两个重要极限重要极限Ⅰ 其中的两个等号只在x=0时成立.设圆心角 过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作则sin x =BD，tan x=AC，证先考察右极限两端除以sinx,有即另一方面,由于 是偶函数,于是有例1解例2解例3解例4 证明圆的周长公式l=2πr.解 设圆的中心为O,半径为r,圆内接正n边形的周长圆周长l为当 时,于是令 ,就得到重要极限Ⅱ或例5解 令 ,则当 时 ,于是有例6解例7 设有本金1 000元，若用连续复利计算，年利率为8%，问5年末可得本利和为多少？解 设复利一年计算一次，则一年未本利和为若复利三个月为一期计算，则 x年末本利和为同理，若复利一年计算n次，则x年末本利和为现设想n无限增大，以致复利接连不断地计算， 则n 当时，称之为连续复利，其极限为第五节第五节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小及其性质一、无穷小及其性质二、无穷小的比较二、无穷小的比较三、无穷大三、无穷大四、无穷小与无穷大的关系四、无穷小与无穷大的关系定义2.7 若 则称函数f(x)在 (或 )时为无穷小.一、无穷小的性质注意： 1.要指明自变量的变化过程(如 )；2.在这个过程中，函数f(x)以0为极限.应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数.0是可以作为无穷小量的唯一的一个数.定理2.7函数有极限，可以通过无穷小来表述.的充分必要条件是则有证 (必要性)设常称这个定理为极限基本定理，它有相当广泛的应用.(充分性)则有设即α(x)在 时为无穷小,从而有无穷小有下列的性质.定理2.4 有限个无穷小的代数和为无穷小.定理2.7 有界函数与无穷小之积为无穷小.定理2.6 常量与无穷小之积为无穷小.定理2.5 有限个无穷小之积为无穷小.例1证注意： 这个极限不能用极限的四则运算法则求得，因为 不存在.当 时, 是无穷小,即二、无穷小的比较两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么，两个无穷小的商是否仍是无穷小呢？请看下面的例子.这些情形表明，同为无穷小，但它们趋于0的速度有快有慢，为了比较不同的无穷小趋于0的速度，我们引入无穷小量阶的概念.当 时, 都是无穷小,可是定义2.8 设 时为无穷小(且α≠0).时,β与α是同阶无穷小.(1)如果 (c≠0,是常数),则称 (或 ) (2)如果 ,则称 (或 ) 时,β与α是等价无穷小.记作(3)如果 ,则称 (或 ) 时,β是比α高阶的无穷小.记作例2例3如果 是比 高阶的无穷小，也可以称 是比 低阶的无穷小 .定理2.8 设 当 时均是无穷小,且 存在,则有关于等价无穷小在求极限中的应用，有如下定理.证 由假设,有根据此定理，在求两个无穷小之比的极限时，若此极限不好求，可用分子、分母各自的等价无穷小来代替，如果选择适当，可简化运算.用定理2.8求极限，需要预先知道一些等价无穷小.例如常用的有下列：例4解例5解例6解注意： 相乘(除)的无穷小都可用各自的等价无穷小代换，但是相加(减)的无穷小的项不能作等价代换，例如定义2.9 若 时, 必能大于任意给定的正数M ,则称函数f(x)在 时为无穷大,记作三、无穷大无穷大是与无穷小相对的概念.注意： 函数f(x)当 时为无穷大，则极限 是不存在的.利用记号记f(x)是无穷大，只是为了书写的方便，同时也表明了当 时f(x)虽然无极限，但还是有明确趋向的.无穷大量是一个绝对值可无限增大的变量，不是绝对值很大很大的固定数.如果将定义中的|f(x)|>M改成f(x)>M(或f(x)<－Ｍ)，则为f(x)在 时为正无穷大(或负无穷大)的定义，并且记为类似地，也可以给出f(x)在x的其他趋向下为无穷大量的定义.例如定理2.9四、无穷小与无穷大的关系简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一趋向下，无穷大的倒数是无穷小,无穷小(不等于0)的倒数是无穷大.最简单的例子为：以后，遇到类似例7的题目，可直接写出结果.例7解第六节第六节 函数的连续性函数的连续性一、连续函数的概念一、连续函数的概念二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类定义2.10 设变量u从它的一个值u1变到另一个值u2 ，其差 称做变量u的增量或改变量，记作 ，即增量 可以是正的，也可以是负的.当 为正时，变量u从u1变到 是增大的；当 为负时，变量u从u1变到 是减少的.一、连续函数的概念例1 设正方形的边长为x.当x取得增量 时，问面积y相应的增量 是多少？当x由2m变为2.05m时，面积改变了多少？当x由2m变到1.95m时，面积改变了多少？解定义2.11 设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果当自变量的增量 趋向于零时，相应的函数增量 也趋于零，即则称函数y=f(x)在点x0处连续.定义2.12 设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,如果则称函数y=f(x)在点x0处连续,并称x0 为y=f(x)的连续点.如果则称函数 f(x)在点x0左连续.如果则称函数 f(x)在点x0右连续.注意：定理2.10 函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是f(x)在点x0处既左连续又右连续.如果函数f(x)在开区间(a，b)内的每一点都连续，则称函数f(x)在开区间(a,b)内连续；若函数f(x)在(a,b)内连续，并且在左端点a处右连续，右端点b处左连续，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.函数在区间I上连续，称它是I上的连续函数.可以证明：基本初等函数在其定义域内为连续函数.函数f(x)在点x0处连续的几何意义是：f(x)的图形在点(x0,f( x0)) 处是连结在一起的，没有断隙.函数f(x)在区间I上连续，其图形是一条连接不断的曲线.例2解由定理2.10知f(x)在x=0 点连续.二、函数的间断点及其分类 因此,如果函数f(x)在x0的某去心邻域内有定义,但至少满足下列情形之一则f(x)在x0不连续,这时点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.但是极限 不存在，所以x=0是函数f(x)的间断点.例3例4 函数 在x=1处无定义，因此x=1是该函数的间断点. 在x=0是否为函数f(x)的间断点.例5解即x=0是函数f(x)的间断点.在点x=0处的连续性.故x=0是函数f(x)的间断点.例6解例7 正切函数y=tan x在点 处无定义，所以点 是函数tan x的间断点.根据函数f(x)在间断点处单侧极限的情况，常将间断点分为两类：(1)若x0是f(x)的间断点，并且f(x)在点x0处的左极限、右极限都存在，则称x0是f(x)的第一类间断点；(2)若x0是f(x)的间断点，但不是第一类间断点，则称x0是f(x)的第二类间断点.在第一类间断点中，如果左极限与右极限相等，即 存在.则称此间断点为可去间断点.如例4中x=1为y的可去间断点.例5中x=0为f(x)的可去间断 点.这是因为如果x0为f(x)的可去间断点，我们可以补充定义f(x0) 或者修改f(x0) 的值，由f(x)构造出一个在x0处连续的函数.如例4中y在x=1处没有定义, .若定义则在x=1处y1为连续函数.例5中f(0)=1, 若定义则在x=0处f1(x)为连续函数.在第一类间断点中，如果左极限与右极限不相等，此间断点x0可称为f(x)的跳跃间断点.如例6中x=0为f(x)的跳跃间断点.在第二类间断点中，如果当 时， 可称x0为f(x)的无穷间断点.如例7中 为tan x的无穷间断点.如果当 时，f(x)的极限不存在，呈无限振荡情形，则称x0为f(x)的振荡间断点.如例3中x=0为f(x)的振荡间断点.第七节第七节 连续函数的性质连续函数的性质定理2.11 若函数f(x)和函数g(x)都在x0连续,则在点x0也连续.定理2.12 若函数u=g(x)都在x0连续, y=f(u)在点u0=g(x0)连续,则f(g(x))在点x0连续.由初等函数的定义和基本初等函数的连续性，再根据连续函数的四则运算性质和连续函数的复合函数的连续性质，可以得出如下重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的.根据这个结论，如果f(x)是初等函数， 是其定义区间内的一个点，那么求 时，只需将 代入函数求函数值 即可.例1 求解例2 讨论函数当当的连续性.解 f(x)在区间 和 内连续,对于点x=0,所以在点x=0处f(x)不连续.x1,x2分别称为函数f(x)在[a,b]的最大值点和最小值点.定理2.13(最值定理) 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定能取得最大值和最小值,即存在使得最值定理的几何意义: 如果函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)是一条连续不断的曲线,这条曲线必有最高点和最低点.当然,最高点和最低点可能不是唯一的,即最大值点和最小值点可能不唯一.定理2.14(介值定理) 设函数f(x)在[a,b]连续,m和M分别表示f(x)在[a,b]的最小值和最大值,则对于任何 至少存在一点 使得如果函数在[a,b]上有间断点，则介值定理的结论不一定成立.例如函数在闭区间[0,1]上有定义，点x=1是f(x)的间断点，数 介于f(0)=0，f(1)=2之间，但对于任意的 都有 .推论 (零点定理) 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则存在 ，使得零点定定理的几何意义:如果连续曲线y=f(x) (a≤x≤b)的两个端点(a,f(a)) 和(b,f(b))分别位于x轴的上、下两侧,则这条曲线必在区间(a,b)内的某点穿过x轴.证 因为函数 是初等函数，例3由零点定理知，至少存在一点 使所以，在闭区间[0,1]上连续.且f(0)=1>0，f(1)=－2<0,。