复变函数课件 4.3泰勒展式(2).ppt

复变函数论,多媒体教学课件,第三节、泰勒展式,解析函数的零点,设函数f(z)在 的邻域U内解析，并且,那么称 为f(z)的零点设f(z)在U内的泰勒展式是：,现在可能有下列两种情形： （1）如果当n=1,2,3,…时，,那么f(z)在U内恒等于零解析函数的零点,（2）如果,不全为零，并且对于正整数m，,而对于n1，我们说 是f(z)的单零点或m阶零点如果 是解析函数f(z)的一个m阶零点，那么显然在它的一个邻域U内,其中 在U内解析解析函数的零点,定理5.1 设函数f(z)在 解析，并且 是它的一个零点，那么或者f(z)在 的一个邻域内恒等于零，或者存在着 的一个邻域，在其中 是f(z)的唯一零点因此存在一个正数 ，使得当,时， 于是,换而言之，存在着 的一个邻域，其中 是f(z)的唯一零点注解：此性质我们称为解析函数零点的孤立性解析函数的唯一性,我们知道，已知一般有导数或偏导数的单实变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函数值，完全不能断定同一个函数在其他部分的函数值。

解析函数的情形和这不同：已知某一个解析函数在它区域内某些部分的值，同一函数在这区域内其他部分的值就可完全确定 引理6.1 设f(z)是区域D内的解析函数如果f(z)在D内的一个圆盘内恒等于零，那么f(z)在D内恒等于零引理4.1的证明：,证明：设在D内一个以为 心的圆盘内 ，,我们只需证明在 以外任一点,用D内的折线L连接 ，存在着一个正数，使得L上任一点与区域D的边界上任一点的距离大于,在L上依次取，,而其他任意相邻两点的距离小于 ；,引理4.1的证明：,作每一点 的 邻域,显然，当j

设 是D内彼此不同的点(k=1,2,3,…)，并且点列 在D内有极限点如果，,那么在D内，f(z)=g(z)定理4.2的证明：,证明：假定定理的结论不成立即在D内，解析函数F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0显然,设 是点列 在D内有极限点由于F(z)在 连续，可见,可是这时找不到 的一个邻域，在其中 是F(z)唯一的零点，与解析函数零点的孤立性矛盾例1、,例1、在复平面解析、在实数轴上等于sinx的函数只能是sinz. 解：设f(z)在复平面解析，并且在实轴上等于sinx，那么在复平面解析f(z)-sinz在实轴等于零，由解析函数的唯一性定理，在复平面解析上f(z)-sinz=0，即f(z)=sinz注解：有关幂函数的和函数在其收敛圆上某些点处解析，如第3段例1及例2，由解析函数的唯一性定理，都不存在另一个解析函数，在收敛圆内与和函数恒等，而收敛圆上和函数为解析的点的邻域内，与它不恒等例2、,例2、是否存在着在原点解析的函数f(z)，满足下列条件： （1）、,（2）、,其中n=1,2,3,…解：（1）、由于,都以0为聚点，由解析函数的唯一性定理，f(z)=z是在原点解析并满足,例3、,的唯一的解析函数；但此函数不满足条件,因此在原点解析并满足这些条件的函数不存在； (2)、我们有,由解析函数的唯一性定理，,是在原点解析并满足此条件的唯一的解析函数。

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