数字信号处理杨毅明电子课件2014版第9章节多采样率的系统

1、若想获得完整的数字信号处理概念 请看完第9章和第10章 实际应用时，各种数字系统或产品的采样率往往是根据对象而定的、是不一样的、是多样化的，而且系统之间经常需要相互交换信号和处理对方的信号；但是，在处理数字信号时，信号的采样率和系统的采样率必须相同，设计时也是这么考虑的。 现实中，我们希望一种通讯网络能够有效地传输各种采样率的数据，希望一种存储媒介能够尽可能多地保存信息，希望一种播放器能够正确地发出各种制式的信号。,第9章 多采样率的系统,9.1 多采样率的概念 多采样率是指数字信号处理系统中存在多种采样频率的情况，简称多速率，它是面对不同的应用选择不同的采样率的策略，目的是降低数字信号处理器的成本。 多采样率技术主要解决多速率信号处理的问题，它的宗旨是尽量让一种速率的数字系统能够处理多种速率的信号。如何提高多速率信号的处理效率呢？答案是：改变数字信号的采样率，使数字信号主动地适应加工处它的数字系统。 多采样率的应用非常广泛，在现代的数字信号处理应用中，要求系统能够处理不同采样率的信号。这种有多种采样率的系统叫做多速率系统。,9.2 整数倍降低采样率 在数字域中，降低采样率的方法是对原

2、序列x(n)重新采样，也就是对x(n)按固定的间隔或距离提取样本，形成一个新的序列y(m)，即 这种做法叫做抽取，也叫下采样。例如时序间隔D=2的抽取，其做法如图9.1所示，,(9.1),图9.1,9.2.1 抽取前后的频谱 抽取的概念很像模拟信号的采样，信号的频谱会因抽取发生变化。 （1）从数字域的角度观看 根据z变换的定义(4.31)，抽取的序列y(m)的z变换 为了得到Y(z)和X(z)之间的关系，引入一个临时序列 该w(n)和x(n)的采样率相同。,(9.5),(9.6),这么一来，x(n)、w(n)和y(m)三个序列的关系写为 将这个关系应用到公式(9.5)，得到 它是Y(z)通向X(z)的桥梁。剩下的任务是找到W(z)和X(z)的关系。,(9.7),(9.8),为了建立w(n)和x(n)的采样关系，我们制作一个周期是D的脉冲序列，即 根据离散傅里叶级数的定义(3.79)，这个周期脉冲序列可以表示为,(9.9),(9.10),让脉冲序列s(n)与被抽取序列x(n)相乘，就得到w(n)和x(n)的采样关系 它是一种等间隔的数字采样关系。 利用关系式(9.11)和式(9.10)，

3、临时序列w(n)的z变换是,(9.11),(9.12),临时序列w(n)的z变换是 将它代入公式(9.8)，就可以得到X(z)和Y(z)的关系 若想知道X(z)和Y(z)的频谱关系，只要将z=ej代,(9.13),(9.12),入式(9.13)，就可以得到抽取的频谱关系 借鉴X(ej)=X()的关系，还能将抽取的频谱关系式(9.14)变为简洁的形式 该式显示：按照时序间隔D对x(n)抽取，得到序列y(m)，它的频谱Y()是D个X()变形后相加的结果。,(9.14),(9.15),50节,（2）从模拟域的角度观看 考虑用两种周期Ts1和Ts2的脉冲函数(4.4)分别对模拟信号xa(t)进行理想采样(4.5)。根据公式(4.9)计算，第一种采样频率fs1的采样信号xs1(t)频谱 同理，第二种采样频率fs2的采样信号xs2(t)频谱 设Ts2=DTs1，所以fs2=fs1/D，Xs1()的采样率fs1高于Xs2()的采样率fs2。 为了获得两种采样信号xs1(t)和xs2(t)之间的频谱关系，需要将它们的自变量i和j联系起来。,(9.16),(9.17),设j=Di+k，k=0、1、D-1

4、，并将这个关系代入xs2(t)的频谱式(9.17)，那么可得 这个结果显示，采样率低的信号频谱Xs2()是采样率高的信号频谱Xs1()的叠加。,(9.18),由于和f只差一个固定比值，也可将式(9.18)的自变量=2f写成f，即 频谱关系式(9.18)和(9.19)说明：低采样率信号xs2(t)的频谱Xs2(f)是高采样率信号xs1(t)的D个频谱Xs1(f-fs2k)的相加，而频谱Xs1(f-fs2k)是Xs1(f)以原点为中心、沿f轴向右移位fs2k后得到的，k=0、1、D-1，相加的结果最后要除以D才等于Xs2(f)。 以上分析说明，无论是从数字域的角度还是从模拟域的角度观察抽取，它们的结论式(9.15)和式(9.18)都是：低采样率频谱是多个高采样率频谱位移后的组合。,(9.19),9.2.2 防止抽取的失真 完整的抽取器由数字低通滤波器和抽取器组成。由于抽取信号的频谱是原频谱的叠加，为了避免在抽 取时发生混叠失真，在抽取前必须用数字低通滤波器对被抽取的序列x(n)进行滤波。低通滤波器的理想频率特性是 选择截止频率D的准则是：尽可能多地保留有用的低频成分和防止高频成分混叠失真。

5、,图9.8,(9.21),截止频率D的选取可参考抽取的频谱关系式 该式显示：抽取序列y(m)的频谱Y()是D个X()的频谱扩展并且移位的组合。 频谱扩展是指X()变为X(/D)。例如频谱扩展2倍时，X()在主值区间-, )的=/2成分将进入 =2的范围。这些进入其它周期的成分都会引起混叠失真，必须在抽取前将它们消除掉。 抽取滤波器就是完成这项任务的，它应该保护被抽取信号的=0/D低频成分，同时消除那些会引起,(9.22),混叠失真的=/D高频成分。所以，抽取滤波器的截止频率的最佳选择是D=/D。当然，选择D/D也能防止抽取的混叠失真，但是，这么做会失掉更多的原序列高频成分。 抽取时的频谱移位是指X(/D)从原点出发，沿轴向右移动2k，k=0、1、D-1。 让我们观看几种抽取的频谱移位组合，假设信号x(n)抽取前已做了抗混叠失真处理，其频谱|X()|如图9.10的上图所示。 （1）当D=1时 这时k=0，X(/D)=X()，没有X()移位。 （2）当D=2时 这时k=0和1，X(/D)=X(/2)，向右移位2的频谱为X(-2)/2。图9.10的中图是|X(/2)|的波形，下图是|X(-2

6、)/2|的波形；由于事先做了抗混叠失真处理，所以，这些扩展后的频谱都周期出现幅度为0长,度为2的空白区。这时，抽取序列的频谱是X(/2)和X(-2)/2的组合，两者相加不会有重叠的地方。,图9.10,由于频谱X(/2)和X(-2)/2都是复数，所以，它们相加的示意图只能用绝对值来表示。 图9.10的下图是|X(/2)|和|X(-2)/2|相加后的频谱，它还是周期频谱，周期还是2。,图9.10,为了保证滤波后的信号不失真，抗折叠滤波器应该采用FIR线性相位滤波器。 如果抽取滤波器按照卷积公式 处理信号x(n)，就能得到输出信号w(n)。不过这种做法的效率并不高，因为抽取时只需要w(n)的D分之一样本。理解这个效率的问题，可以通过对比图9.14和图9.15两种滤波的方法，就容易明白其中的区别。 以N点长的FIR抽取滤波器为例。 图9.14的抽取滤波器是直接按照卷积公式,(9.24),(9.24),进行计算处理的。处理后的样本逐个送入抽取器，每送入D个样本，只有一个获得输出，其它D-1个用不上；所以，对这D-1个样本滤波是在做无用功。 相比抽取器输出信号的采样率fy来说，图9.14的滤波方式

7、需要计算机工作在采样率为fx的高速状态。,图9.14,图9.15,图9.14的特点是先滤波后抽取，每输入一个x(n)样本，抽取滤波器都要计算N次乘法和N-1次加法，才能得到一个w(n)；而该滤波器每输出D个w(n)样本中只有一个样本获得应用。 图9.15也是按照卷积公式处理信号，但它是将抽取和滤波混合在一起做。将抽取操作放在乘法运算之前，就能让乘法器工作在低速率fy的状态，也就是说，每输入D个x(n)的样本，抽取器后面的乘法器才做一次乘法运算，这样一来，加法运算也可以少做许多。 相比之下，混合抽取法的计算量约为先滤波后抽取的方法的计算量的1/D倍。,51节,9.2.3 抽取的用途 抽取的主要用途是减轻数字产品对模拟前置滤波器的苛刻要求。 因为按采样定理所说的，以奈奎斯特速率fs=2fa的名义采样一个模拟信号时，需要一个过渡带陡峭的模拟前置滤波器，才能将输入信号的频谱限制在有用成分的最高频率fa内。 如果应用过采样和抽取相结合的先进技术，模拟前置滤波器的苛刻过渡带就可以得到缓解。过采样就是采样率fx大于有用信号最高频率fa两倍的采样。 这种先进技术的原理如图9.16所示，首先用简单的模拟

8、前置滤波器粗略地排除无用的高频成分，然后对这种模拟信号xa(t)以很高的速率fx=Dfs进行采样，得到的离散时间信号x(n)再经过D倍的抽取，变成低速率fy的数字信号y(m)。,过采样的模数转换原理如图9.17所示。因采样率fx=Dfs很高，所以，其前置滤波器的频谱H(f)过渡带f=fpassfstop可以很宽，这意味着模拟滤波器的阶可以,图9.17,图9.16,减小、体积可以缩小、成本可以降低。 这种简单滤波的信号xa(t)在采样时，很容易产生频谱的折叠失真。不过，只要过采样频率fxfstop+fa，折叠失真的伤害就影响不了信号的有用成分。而受折叠失真影响较大的f=fafstop成分可以用抽取滤波器铲除。抽取滤波器是数字系统，它容易做成陡峭的选择性；这样既能保留有用的fa以下的低频成分、消除无用的fa以上的高频成分、弥补模拟前置滤波器的缺陷，又能防止抽取的混叠失真。 如果fs=2fa，那么，对x(n)的D倍抽取将得到速率fy=fx/D=fs=2fa的数字信号y(m)，实现不失真的最低采样速率。这种过采样和抽取相结合的技术广泛应用在模数转换器芯片中。,9.3 整数倍提高采样率 采样率的

9、提高是由内插来完成的。内插也叫上采样，是指在毗邻的（低采样率）样本之间插入额外的样本，插入的样本大小是经过FIR滤波器计算得到的。 在数字系统中实现内插的原理如图9.20所示，先插入0值的样本，提高信号的采样率，再对它们进行滤波。怎么滤呢？ 事物的变化总是有过程的，按照这个规律，内插滤波器的工作应该是平滑内插0值的序列w(m)，合理的内插值似乎是它们前后两个样本的平均值。让我们从频谱的角度来看这些问题。,图9.20,9.3.1 内插前后的频谱 根据图9.20推理，等间隔I倍内插的过程是：首先，在x(n)的样本之间等间隔地插入I-1个0值样本；然后，对w(m)进行低通滤波，使w(m)的跳跃波形变得光滑自然。 根据z变换的定义知道，低速率的序列x(n)的z变换是 如果按照内插倍数I对序列x(n)的样本均匀地插入0值，则上采样器的输出序列,(9.35),(9.36),按照z变换的定义(4.31)，高速率序列w(m)的z变换是 将z=ej代入上式，就可得I倍上采样器的输入输出数字频谱关系，即 或写为 该频谱关系式说明：简单内插的序列w(m)的频谱,(9.37),(9.38),(9.39),是原序列x(n)频谱的I倍压缩。 例题9.3 假设序列x(n)的频谱是X()，如图9.21所示，请你画出内插倍数I=2的内插0值的序列w(m)的频 谱W()，并分析X()和W()的区别。 解 根据内插的频谱关系(9.39)，按内插因子I=2上采样的w

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