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数字信号处理杨毅明电子课件2014版第9章节多采样率的系统

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    • 1、若想获得完整的数字信号处理概念 请看完第9章和第10章 实际应用时,各种数字系统或产品的采样率往往是根据对象而定的、是不一样的、是多样化的,而且系统之间经常需要相互交换信号和处理对方的信号;但是,在处理数字信号时,信号的采样率和系统的采样率必须相同,设计时也是这么考虑的。 现实中,我们希望一种通讯网络能够有效地传输各种采样率的数据,希望一种存储媒介能够尽可能多地保存信息,希望一种播放器能够正确地发出各种制式的信号。,第9章 多采样率的系统,9.1 多采样率的概念 多采样率是指数字信号处理系统中存在多种采样频率的情况,简称多速率,它是面对不同的应用选择不同的采样率的策略,目的是降低数字信号处理器的成本。 多采样率技术主要解决多速率信号处理的问题,它的宗旨是尽量让一种速率的数字系统能够处理多种速率的信号。如何提高多速率信号的处理效率呢?答案是:改变数字信号的采样率,使数字信号主动地适应加工处它的数字系统。 多采样率的应用非常广泛,在现代的数字信号处理应用中,要求系统能够处理不同采样率的信号。这种有多种采样率的系统叫做多速率系统。,9.2 整数倍降低采样率 在数字域中,降低采样率的方法是对原

      2、序列x(n)重新采样,也就是对x(n)按固定的间隔或距离提取样本,形成一个新的序列y(m),即 这种做法叫做抽取,也叫下采样。例如时序间隔D=2的抽取,其做法如图9.1所示,,(9.1),图9.1,9.2.1 抽取前后的频谱 抽取的概念很像模拟信号的采样,信号的频谱会因抽取发生变化。 (1)从数字域的角度观看 根据z变换的定义(4.31),抽取的序列y(m)的z变换 为了得到Y(z)和X(z)之间的关系,引入一个临时序列 该w(n)和x(n)的采样率相同。,(9.5),(9.6),这么一来,x(n)、w(n)和y(m)三个序列的关系写为 将这个关系应用到公式(9.5),得到 它是Y(z)通向X(z)的桥梁。剩下的任务是找到W(z)和X(z)的关系。,(9.7),(9.8),为了建立w(n)和x(n)的采样关系,我们制作一个周期是D的脉冲序列,即 根据离散傅里叶级数的定义(3.79),这个周期脉冲序列可以表示为,(9.9),(9.10),让脉冲序列s(n)与被抽取序列x(n)相乘,就得到w(n)和x(n)的采样关系 它是一种等间隔的数字采样关系。 利用关系式(9.11)和式(9.10),

      3、临时序列w(n)的z变换是,(9.11),(9.12),临时序列w(n)的z变换是 将它代入公式(9.8),就可以得到X(z)和Y(z)的关系 若想知道X(z)和Y(z)的频谱关系,只要将z=ej代,(9.13),(9.12),入式(9.13),就可以得到抽取的频谱关系 借鉴X(ej)=X()的关系,还能将抽取的频谱关系式(9.14)变为简洁的形式 该式显示:按照时序间隔D对x(n)抽取,得到序列y(m),它的频谱Y()是D个X()变形后相加的结果。,(9.14),(9.15),50节,(2)从模拟域的角度观看 考虑用两种周期Ts1和Ts2的脉冲函数(4.4)分别对模拟信号xa(t)进行理想采样(4.5)。根据公式(4.9)计算,第一种采样频率fs1的采样信号xs1(t)频谱 同理,第二种采样频率fs2的采样信号xs2(t)频谱 设Ts2=DTs1,所以fs2=fs1/D,Xs1()的采样率fs1高于Xs2()的采样率fs2。 为了获得两种采样信号xs1(t)和xs2(t)之间的频谱关系,需要将它们的自变量i和j联系起来。,(9.16),(9.17),设j=Di+k,k=0、1、D-1

      4、,并将这个关系代入xs2(t)的频谱式(9.17),那么可得 这个结果显示,采样率低的信号频谱Xs2()是采样率高的信号频谱Xs1()的叠加。,(9.18),由于和f只差一个固定比值,也可将式(9.18)的自变量=2f写成f,即 频谱关系式(9.18)和(9.19)说明:低采样率信号xs2(t)的频谱Xs2(f)是高采样率信号xs1(t)的D个频谱Xs1(f-fs2k)的相加,而频谱Xs1(f-fs2k)是Xs1(f)以原点为中心、沿f轴向右移位fs2k后得到的,k=0、1、D-1,相加的结果最后要除以D才等于Xs2(f)。 以上分析说明,无论是从数字域的角度还是从模拟域的角度观察抽取,它们的结论式(9.15)和式(9.18)都是:低采样率频谱是多个高采样率频谱位移后的组合。,(9.19),9.2.2 防止抽取的失真 完整的抽取器由数字低通滤波器和抽取器组成。由于抽取信号的频谱是原频谱的叠加,为了避免在抽 取时发生混叠失真,在抽取前必须用数字低通滤波器对被抽取的序列x(n)进行滤波。低通滤波器的理想频率特性是 选择截止频率D的准则是:尽可能多地保留有用的低频成分和防止高频成分混叠失真。

      5、,图9.8,(9.21),截止频率D的选取可参考抽取的频谱关系式 该式显示:抽取序列y(m)的频谱Y()是D个X()的频谱扩展并且移位的组合。 频谱扩展是指X()变为X(/D)。例如频谱扩展2倍时,X()在主值区间-, )的=/2成分将进入 =2的范围。这些进入其它周期的成分都会引起混叠失真,必须在抽取前将它们消除掉。 抽取滤波器就是完成这项任务的,它应该保护被抽取信号的=0/D低频成分,同时消除那些会引起,(9.22),混叠失真的=/D高频成分。所以,抽取滤波器的截止频率的最佳选择是D=/D。当然,选择D/D也能防止抽取的混叠失真,但是,这么做会失掉更多的原序列高频成分。 抽取时的频谱移位是指X(/D)从原点出发,沿轴向右移动2k,k=0、1、D-1。 让我们观看几种抽取的频谱移位组合,假设信号x(n)抽取前已做了抗混叠失真处理,其频谱|X()|如图9.10的上图所示。 (1)当D=1时 这时k=0,X(/D)=X(),没有X()移位。 (2)当D=2时 这时k=0和1,X(/D)=X(/2),向右移位2的频谱为X(-2)/2。图9.10的中图是|X(/2)|的波形,下图是|X(-2

      6、)/2|的波形;由于事先做了抗混叠失真处理,所以,这些扩展后的频谱都周期出现幅度为0长,度为2的空白区。这时,抽取序列的频谱是X(/2)和X(-2)/2的组合,两者相加不会有重叠的地方。,图9.10,由于频谱X(/2)和X(-2)/2都是复数,所以,它们相加的示意图只能用绝对值来表示。 图9.10的下图是|X(/2)|和|X(-2)/2|相加后的频谱,它还是周期频谱,周期还是2。,图9.10,为了保证滤波后的信号不失真,抗折叠滤波器应该采用FIR线性相位滤波器。 如果抽取滤波器按照卷积公式 处理信号x(n),就能得到输出信号w(n)。不过这种做法的效率并不高,因为抽取时只需要w(n)的D分之一样本。理解这个效率的问题,可以通过对比图9.14和图9.15两种滤波的方法,就容易明白其中的区别。 以N点长的FIR抽取滤波器为例。 图9.14的抽取滤波器是直接按照卷积公式,(9.24),(9.24),进行计算处理的。处理后的样本逐个送入抽取器,每送入D个样本,只有一个获得输出,其它D-1个用不上;所以,对这D-1个样本滤波是在做无用功。 相比抽取器输出信号的采样率fy来说,图9.14的滤波方式

      7、需要计算机工作在采样率为fx的高速状态。,图9.14,图9.15,图9.14的特点是先滤波后抽取,每输入一个x(n)样本,抽取滤波器都要计算N次乘法和N-1次加法,才能得到一个w(n);而该滤波器每输出D个w(n)样本中只有一个样本获得应用。 图9.15也是按照卷积公式处理信号,但它是将抽取和滤波混合在一起做。将抽取操作放在乘法运算之前,就能让乘法器工作在低速率fy的状态,也就是说,每输入D个x(n)的样本,抽取器后面的乘法器才做一次乘法运算,这样一来,加法运算也可以少做许多。 相比之下,混合抽取法的计算量约为先滤波后抽取的方法的计算量的1/D倍。,51节,9.2.3 抽取的用途 抽取的主要用途是减轻数字产品对模拟前置滤波器的苛刻要求。 因为按采样定理所说的,以奈奎斯特速率fs=2fa的名义采样一个模拟信号时,需要一个过渡带陡峭的模拟前置滤波器,才能将输入信号的频谱限制在有用成分的最高频率fa内。 如果应用过采样和抽取相结合的先进技术,模拟前置滤波器的苛刻过渡带就可以得到缓解。过采样就是采样率fx大于有用信号最高频率fa两倍的采样。 这种先进技术的原理如图9.16所示,首先用简单的模拟

      8、前置滤波器粗略地排除无用的高频成分,然后对这种模拟信号xa(t)以很高的速率fx=Dfs进行采样,得到的离散时间信号x(n)再经过D倍的抽取,变成低速率fy的数字信号y(m)。,过采样的模数转换原理如图9.17所示。因采样率fx=Dfs很高,所以,其前置滤波器的频谱H(f)过渡带f=fpassfstop可以很宽,这意味着模拟滤波器的阶可以,图9.17,图9.16,减小、体积可以缩小、成本可以降低。 这种简单滤波的信号xa(t)在采样时,很容易产生频谱的折叠失真。不过,只要过采样频率fxfstop+fa,折叠失真的伤害就影响不了信号的有用成分。而受折叠失真影响较大的f=fafstop成分可以用抽取滤波器铲除。抽取滤波器是数字系统,它容易做成陡峭的选择性;这样既能保留有用的fa以下的低频成分、消除无用的fa以上的高频成分、弥补模拟前置滤波器的缺陷,又能防止抽取的混叠失真。 如果fs=2fa,那么,对x(n)的D倍抽取将得到速率fy=fx/D=fs=2fa的数字信号y(m),实现不失真的最低采样速率。这种过采样和抽取相结合的技术广泛应用在模数转换器芯片中。,9.3 整数倍提高采样率 采样率的

      9、提高是由内插来完成的。内插也叫上采样,是指在毗邻的(低采样率)样本之间插入额外的样本,插入的样本大小是经过FIR滤波器计算得到的。 在数字系统中实现内插的原理如图9.20所示,先插入0值的样本,提高信号的采样率,再对它们进行滤波。怎么滤呢? 事物的变化总是有过程的,按照这个规律,内插滤波器的工作应该是平滑内插0值的序列w(m),合理的内插值似乎是它们前后两个样本的平均值。让我们从频谱的角度来看这些问题。,图9.20,9.3.1 内插前后的频谱 根据图9.20推理,等间隔I倍内插的过程是:首先,在x(n)的样本之间等间隔地插入I-1个0值样本;然后,对w(m)进行低通滤波,使w(m)的跳跃波形变得光滑自然。 根据z变换的定义知道,低速率的序列x(n)的z变换是 如果按照内插倍数I对序列x(n)的样本均匀地插入0值,则上采样器的输出序列,(9.35),(9.36),按照z变换的定义(4.31),高速率序列w(m)的z变换是 将z=ej代入上式,就可得I倍上采样器的输入输出数字频谱关系,即 或写为 该频谱关系式说明:简单内插的序列w(m)的频谱,(9.37),(9.38),(9.39),是原序列x(n)频谱的I倍压缩。 例题9.3 假设序列x(n)的频谱是X(),如图9.21所示,请你画出内插倍数I=2的内插0值的序列w(m)的频 谱W(),并分析X()和W()的区别。 解 根据内插的频谱关系(9.39),按内插因子I=2上采样的w

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