高中数学好题名师解析400题（01—50）

1、好题速递11已知是内任一点,且满足,、,则的取值范围是 _ 解法一：令,由系数和,知点在线段上从而由、满足条件易知解法二：因为题目没有特别说明是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了2在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点, y轴正半轴有3个点，将x轴上这5个点和y轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个答案：30个好题速递21定义函数,其中表示不超过的最大整数,如:,当时,设函数的值域为,记集合中的元素个数为,则式子的最小值为 【答案】【解析】当时,其间有个整数；当,时,其间有个正整数,故,由得,当或时,取得最小值2 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种答案：192种好题速递31已知直线平面，垂足为在矩形中，若点在上移动，点在平面上移动，则，两点间的最大距离为 解：设的中点为，则点的轨迹是球面的一部分，所以当且仅当三点共线时等号成立2 将、四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且、两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种答案：30种好题

2、速递41 在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 解：函数解析式（含参数）求最值问题因为，则，分两种情况：（1）当时，则（2）当时，则2 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种答案：90种好题速递51已知，则的最小值为 解： 构造函数，则与两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点与之间的距离平方，令，所以是与平行的的切线，故最小距离为所以的最小值为42 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种答案：140种好题速递61已知定圆的半径分别为，圆心距，动圆C与圆都相切，圆心的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为，则的值为（ ）A和中的较大者 B和中的较小者 C D解：取为两个焦点，即若与同时相外切（内切），则若与同时一个外切一个内切，则因此形成了两条双曲线此时，不妨设，则2某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个

3、树坑只能种甲种树苗的种法共有种答案：6种好题速递71 已知是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线交于点，且、均在第一象限，当直线时，双曲线的离心率为，若函数，则 解：，所以，所以的方程为，所以又在圆上，所以所以，所以2用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个答案：28个好题速递81 已知的三边长分别为，其中边为最长边，且，则的取值范围是 解：由题意知，故，所以又因为，而所以故综上可得2 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种解： 48种好题速递91在平面直角坐标系中，已知点是半圆上的一个动点，点在线段的延长线上当时，则点的纵坐标的取值范围是 解：设，由得：所以2 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种答案：20种好题速递101点是直角斜边上一动点，将直角沿着翻折，使与构成直二面角，则翻折后的最小值是 解：过点

4、作于，连结，设，则有在中由余弦定理得在中由勾股定理得所以当时，取得最小值为2从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种 答案：45种好题速递111已知函数，若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是 解：令当时，其中当且仅当时取得等号所以若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形，只需，所以当时，其中当且仅当时取得等号所以若对于任意的实数均存在以为三边长的三角形，只需，所以综上可得，2在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种 答案：55种好题速递121已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 解：所以的解集为所以若使的解集为空集就是的解集为空，即所以，即2某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种 答案：种好题速递131 已知定义在上的函数满足；在上的表达式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为 2 若的展开式中的系数是80，则实数的值是

5、答案：2好题速递141是定义在正整数集上的函数，且满足，则 解：，两式相减得所以所以2 某次文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号123456节目如果A、B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有 种 答案：144种好题速递151 若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是 解：令，则设，则由余弦定理得又，所以所以，所以由菱形性质得2 若的展开式中第三项系数等于6，则n= 答案：12好题速递161 函数，集合，则由的元素构成的图形的面积是 解：画出可行域，正好拼成一个半圆，2 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种 答案：1680种好题速递171 在棱长为1的正方体中，在面中取一个点，使最小，则这个最小值为 解：将正方体补全成长方体，点关于面的对称点为，连接交平面于一点，即为所求点，使最小其最小值就是连接，计算可得，所以为直角三角形，所以2 若 且，则实数m的值为 答案：1或-3好题速递181 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的两条渐

6、近线于点若点是线段的中点，且，则此双曲线的离心率等于 解法一：由题意，从而有，又点为的中点，所以所以，整理得，所以解法二：由图可知，是线段的垂直平分线，又是斜边中线，所以，所以解法三：设，则，由，解得所以，所以，即，所以2 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 答案：18好题速递191 已知为坐标原点，平面向量满足：，则对任意和任意满足条件的向量，的最大值为 解：建立直角坐标系，设则由，得等价于圆上一点与圆上一点连线段的最大值即为2 已知数列的通项公式为，则+= 答案：好题速递201 已知实数成等差数列，点在动直线（不同时为零）上的射影点为，若点的坐标为，则的取值范围是 解：因为实数成等差数列，所以，方程变形为，整理为所以，即，因此直线过定点画出图象可得，点在以为直径的圆上运动，线段的长度满足即2 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个答

7、案：48好题速递211 已知函数是定义在上的偶函数，当时，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是 解：设，问题等价于有两个实根，或所以或综上， 或2 在的展开式中，的幂的指数是整数的项共有 项答案：5好题速递221 已知椭圆的左、右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于于点，线段的垂直平分线与的交点的轨迹为曲线，若是上不同的点，且，则的取值范围是 解：由题意设代入，得所以，设代入，得所以所以2 人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有_种(用数字作答)答案：72好题速递231 数列是公比为的等比数列，是首项为12的等差数列现已知且，则以下结论中一定成立的是 （请填上所有正确选项的序号）；解：因为数列是公比为的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当时，；当时，；所以是正确的；当时，又，所以结合数列是首项为12的等差数列，此时数列的公差，数列是递减的故知：当时，又，所以结合数列是首项为12的等差数列，此时数列的公差，数列是递减的故知：综上可知，一定是成立的2 设的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N，若M-N240, 则展开式中x3的系数为 答案：150好题速递241 已知集合，其中，且是单元素集合，则集合对应的图形的面积为 解：所以由得知，圆心对应的是四分之一单位圆弧（红色）此时所对应的图形是以这四分之一圆弧上的点为圆心，以1为半

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