北京市朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模）数学（理）试题（含答案）

1、 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学（理） 20195（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合，则A. B. C. D.且开始结束输出 是否2. 复数的虚部为A. B. C. D. 3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率进行了估算.根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求的方法绘制的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出的值为A.B.C.D.4.在中，,则A. B. C. D. 5. 已知等差数列的首项为，公差.则“成等比数列” 是“”的. 充分而不必要条件 . 必要而不充分条件 . 充要条件 . 既不充分也不必要条件6. 已知函数若函数存在零点，则实数的取值范围是A. B. C. D. 7. 在棱长为1的正方体中，分别为线段和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值 B.有最大值 C. 为定值

2、D. 为定值8.在同一平面内,已知为动点,为定点,且, ,为中点.过点作交所在直线于,则在方向上投影的最大值是A. B. C. D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上 9. 已知，则，中最小的是 .10.已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离是 .11.圆(为参数)上的点到直线(为参数)的距离最小值是 . 12. 已知实数满足能说明“若的最大值为，则”为假命题的一组值是 .13.由数字组成没有重复数字的三位数，偶数共有 个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有 个.14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，.线段上的动点满足；线段上的动点满足.直线与直线交于点，设直线的斜率记为，直线的斜率记为，则的值为_；当变化时，动点一定在_（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上. 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题满分13分）已知函数.（）求函数的最小正周期；（）当时，求证：.16.（本小题满分13分）某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给

3、每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照分组，绘成频率分布直方图如下：0.5a0.278910评分O频率组距专家ABCDE评分9.69.59.68.99.7 （）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（）从5名专家中随机选取3人，表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，表示评分不小于9分的人数；试求与的值； （）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分.方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系.17.（本小题满分14分）在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面. ，分别是边，的中点，线段与交于点，且，.() 求证：平面；() 求证：平面；() 求二面角的余弦值. 18. （本小题满分13分）已知函数(,且).（）求曲线在点处的切线方程;（）若函数的极小值为，试求的值.Z,X,X,K19.

4、（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为.（）求椭圆的方程；（）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过轴上的定点.20.（本小题满分13分）对于由有限个自然数组成的集合,定义集合, 记集合的元素个数为. 定义变换，变换将集合变换为集合.（）若, 求;（）若集合有个元素，证明:“”的充要条件是“集合中的所有元素能组成公差不为的等差数列”;（）若且，求元素个数最少的集合. 北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学（理）答案 20195一、选择题：（本题满分40分）题号12345678答案ABCBCDDC二、填空题：（本题满分30分）题号91011121314答案(答案不唯一)双曲线三、解答题：（本题满分80分）15 (本小题满分13分)解：（） 所以的最小正周期. .6分（II）因为，即,所以在上单调递增.当时，即时，所以当时， . .13分16(本小题满分13分)解：（）由图知，某场外观众评分不小于9的概率是. .3分（）的可能取值为.；.所以的分布列为所以.由题意可知，所以. .10分 （）. .13分 17(本小题满分14分)(I)因为为中点，为中点.所以

5、. 又因为平面，平面, 所以平面. .4分 () 取的中点，连接.显然，两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系,则，,.所以，.又因为，,所以.又因为，所以平面. .9分（）显然平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，又，由得设，则，则.所以.设二面角的平面角为，由图可知此二面角为锐二面角，所以. .14分18 (本小题满分13分)解：由题意可知，.（），所以曲线在点处的切线方程为. .3分（）当时，变化时变化情况如下表：极小值极大值此时,解得，故不成立.当时，在上恒成立，所以在单调递减.此时无极小值，故不成立.当时，变化时变化情况如下表： 极小值极大值此时极小值，由题意可得，解得或.因为，所以.当时，变化时变化情况如下表：极小值此时极小值，由题意可得，解得或，故不成立.综上所述. .13分 19 (本小题满分14分)（）由题意可得 解得 所以椭圆的方程为. .4分 （）直线恒过轴上的定点.证明如下（1） 当直线斜率不存在时，直线的方程为,不妨设，.此时，直线的方程为：，所以直线过点.（2）当直线的斜率存在时，设，,.由得.所以.直线，令，得，所以.由于，所以.故直线过点.综上所述，直线恒过轴上的定点. .14分 20 (本小题满分13分)解：（）若集合, 则. .3分（）令.不妨设.充分性：设是公差为的等差数列.则且.所以共有个不同的值.即.必要性：若.因为，.所以中有个不同的元素：.任意() 的值都与上述某一项相等. 又，且，.所以，所以是等差数列，且公差不为0.8分（）首先证明: . 假设, 中的元素均大于, 从而, 因此, , 故, 与矛盾, 因此.设的元素个数为, 的元素个数至多为, 从而的元素个数至多为. 若, 则元素个数至多为, 从而的元素个数至多为, 而中元素至少为26, 因此. 假设有三个元素, 设, 且, 则从而.若, 中比大的最小数为,则, 与题意矛盾, 故.集合中最大数为, 由于, 故, 从而.(i)若且. 此时, , 则有, 在22与28之间可能的数为.此时23,24,25,26不能全在中, 不满足题意.(ii)若且. 此时, , 则有, 若, 则或解得或. 当时, , 不满足题意.当时,满足题意.故元素个数最少的集合为 .13分- 12 -

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