2019年高考理科数学押题试卷（全国III卷附解析）

1、一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集 ，集合 ，则 （）A B C D【答案】B【解析】，又 ，故选：B2已知复数 满足 ( 是虚数单位)，则复数 的模 ()A B C D【答案】B【解析】 ， ，故 ，故本题选B3中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取 ， 立方寸= 升，则商鞅铜方升的容积约为（ ）A 升 B 升 C 升 D 升【答案】B【解析】由三视图得，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，（如图所示）故其体积 （立方寸）， （升），故选:B4已知为锐角，且tan ，则cos（2 ）=（）A B C D【答案】A【解析】5二项式 的展开式中 的系数是 ，则 ()A1 B C D【答案】B【解析】由题意，二项式 的展开式中的通项公式 ，令 ，解得 ，所以含 项的系数为 ，解得故选：B6函数 的图象大致是（ ）A B C D【答案】A【解析】 单调递增均存在单调递减区间，由此可得 正确本题正确选项：7过双曲线 的左焦点 ，作圆 的

2、切线，切点为 ，直线 交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率为A B C D【答案】A【解析】设右焦点为F， ，E是PF的中点，PF2OEa，PF3a，OEPF，PFPF，（3a）2+a24c2，e ，故选：A8执行如图的程序框图，则输出的S的值是()A126 B C30 D62【答案】D【解析】模拟程序的运行，可得：， 满足条件 ，执行循环体， ， 满足条件 ，执行循环体， ， 满足条件 ，执行循环体， ， 满足条件 ，执行循环体， ， 满足条件 ，执行循环体， ， 此时，不满足条件 ，退出循环，输出 的值为62 故本题选D9已知等差数列an的公差d0，Sn为其前n项和，若a2，a3，a6成等比数列，且a45，则 的最小值是（）A B C D【答案】A【解析】等差数列 的公差 ， ， ， 成等比数列，且 ， ， ，解得 ， ，当 时， ，则 ，令 且 ，解得 ，即 时， 取得最小值，且 ，故选A10如图，在长方体 ，且异面直线 所成角的余弦值为 ，则该长方体外接球体积为A BC D【答案】B【解析】异面直线 所成角的余弦值为 ，且 ， ，在 中，设 . ， ， ，则长方体外接球直

3、径为 ，半径为 故选：B11已知椭圆C： 的离心率为 ，直线l与椭圆C交于 两点，且线段 的中点为 ，则直线l的斜率为（）A B C D1【答案】C【解析】由 ，得 ， ，则椭圆方程为 ，设 ，则 ，把A，B的坐标代入椭圆方程得： ，-得： ， 直线l的斜率为 故选：C12已知 且 ，函数 ，满足对任意实数 ，都有 成立，则实数 的取值范围是()A B C D【答案】A【解析】对任意实数 ，都有 成立，函数 在 上为增函数，当 时， ，则 ，且 ，当 时， ，当 时，即 时，函数 的对称轴 ，此时函数 在 上单调递增，在 单调递减，不满足题意，当 时，即 时，函数 的对称轴 ，此时函数 在 上单调递增，即 ，解得 ，综上所述 的值范围为 ，故选：A非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13已知向量 ， ，若 ，则 _【答案】【解析】依题意 ，由于 ，所以 ， .14设函数 在点 处的切线方程为 ，则 _【答案】3【解析】函数 的导数为 ，得 在点 处的切线斜率为 ，因为函数 在点 处的切线方程为 ，所以 ，解得 .故答案为：15若存在等比数列 ，使得

4、，则公比 的取值范围为_【答案】【解析】， .当 时，易知 满足题意，但 ；当 时， ，解得 ，综上， .故答案为16已知函数 在 上是单调递增函数，则 的取值范围为_【答案】【解析】函数 = 由 故 在区间 是单调递增的，当k=0， 在区间 是单调递增函数，则 ，而 所以 所以 故答案为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1721题为必考题，每个考生都必须作答.22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17已知在 中， ，且 .（）求 的值；（）求 的周长【答案】（） ；（）15.【解析】（） ， ， ， ；（） ， ， , ， ， ， ， 的周长为15.18在某公司举行的一次真假游戏的有奖竞猜中，设置了“科技”和“生活”这两类试题，规定每位职工最多竞猜3次，每次竞猜的结果相互独立猜中一道“科技”类试题得4分，猜中一道“生活”类试题得2分，两类试题猜不中的都得0分将职工得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于4分就认为通过游戏的竞猜，立即停止竞猜，否则继续竞猜，直到竞猜完3次为止竞猜的方案有以下两种：方案1：先猜一道“科技”类试题，然后再

5、连猜两道“生活”类试题；方案2：连猜三道“生活”类试题设职工甲猜中一道“科技”类试题的概率为0.5，猜中一道“生活”类试题的概率为0.6(1)你认为职工甲选择哪种方案通过竞猜的可能性大?并说明理由(2)职工甲选择哪一种方案所得平均分高?并说明理由【答案】（1）职工甲选择方案1通过竞猜的可能性大；（2）职工甲选择方案1通过竞猜的平均分高【解析】猜中一道“科技”类试题记作事件A，猜错一道“科技”试题记作事件 ；猜中一道“生活”类试题记作事件B，猜错一道“生活”试题记作事件 ；则 ， ，（1）若职工甲选择方案1，通过竞猜的概率为：.若职工甲选择方案2，通过竞猜的概率为：职工甲选择方案1通过竞猜的可能性大.(2) 职工甲选择方案1所得平均分高，理由如下：若职工甲选择方案1，X的可能取值为：0,2,4，则 ，数学期望若职工甲选择方案2，X的可能取值为：0,2,4，数学期望因为 ，所以职工甲选择方案1所得平均分高.19如图所示，等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P?平面ABCE）（）证明：平面P

6、OB平面ABCE；（）若直线PB与平面ABCE所成的角为 ，求二面角A-PE-C的余弦值【答案】（）见解析；（）【解析】（）证明：在等腰梯形ABCD中，易知DAE为等边三角形，所以ODAE，OBAE,即在PAE中，OPAE，AE平面POB，AE?平面ABCE，所以平面POB平面ABCE；（）在平面POB内作PQOB=Q，PQ平面ABCE直线PB与平面ABCE夹角为 ，又OP=OB，OPOB，O、Q两点重合，即OP平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为 ， ， ， ， ，设平面PCE的一个法向量为 ，则 ，即 ，设 ，则y=-1，z=1， ，由题意得平面PAE的一个法向量 ，设二面角A-P-EC为， 即二面角A-P-EC为的余弦值为 20已知抛物线E： ，圆C： 若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；在 的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点 使 为坐标原点 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） ；（2）存在定点【解析】由题意可得抛物线的焦点 ，当直线的斜率不存在时

7、，过F的直线不可能与圆C相切，设直线的斜率为k，方程设为 ，即 ，由圆心 到直线的距离为 ，当直线与圆相切时， ，解得 ，即直线方程为 ；可设直线方程为 ， ， ，联立抛物线方程可得 ，则 ， ，x轴上假设存在点 使 ，即有 ，可得 ，即为 ，由 ， ，可得 ，即 ，即 ， 符合题意；当直线为 ，由对称性可得 也符合条件所以存在定点 使得 21已知函数 .（1）证明：当 时， ；（2）若 有极大值，求 的取值范围；【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）证明：当 时， ， ，令 ，则 .当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.当 时， .当 时， ， 在 上单调递增.当 时， ，即 .（2）解：由题设得 .由 有极大值得 有解，且 .令 ，则 .由 得 .当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增. .当 ，即 时， ，即 ，此时， 在 上单调递增，无极值；当 ，即 时， ， .由（1）知： ，即 .存在 ， ，使 .当 时， ，即 单调递增；当 时， ，即 单调递减；当 时， ，即 单调递增. 是 唯一的极大值点.综上所述，所求 的取值范围为 .（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，（ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的极坐标为 .（1）求曲线 的极坐标方程；（2）过 作曲线 的切线，切点为 ，过 作曲线 的切线，切点为 ，求 .【答案】（1） （2）2【解析】（1）由 ，得 ，即 ，故曲线 的极坐标方程为 .（2）由（1）知，曲线 表示圆心为 ，半径为 的圆.因为A（0，3），所以 ，所以 .因为 ，所以 .故 .23已知函数 的最小值为 （1）求实数 的值；（2）若 ，设 ， 且满足 ，求证： 【答案】（1） （2）见证明【解析】（1）显然， 在 上单调递减，在 上单调递增（2）证明：由于 ， 且当且仅当 ，即当 ， 时取等号故

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