河北省衡水中学2018-2019学年高三年级上学期四调考试数学（理）试卷 含答案解析

1、1 20182019 学年河北省衡水中学 高三年级上学期四调考试数学（理）试题 数数学学 注注意意事事项项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题一、单选题 1下列命题正确的个数为 梯形一定是平面图形； 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. A0 B1 C2 D3 2已知是公差为 1 的等差数列，为的前 项和，若，则 8= 444= A B3 C D4 5 2 7 2 3已知双曲线与抛物线有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方 2 2= 1( )2= 8 程为 A B C D =3 = 3 = 1 3 = 3 3 4如图，

2、一只蚂蚁从点 出发沿着水平面的线条爬行到点 ，再由点 沿着置于水平面的长 方体的棱爬行至顶点 ，则它可以爬行的不同的最短路径有 A40 条 B60 条 C80 条 D120 条 5函数的图象大致是 () = 2 2| AB CD 6若，则 ( 2 + 4) + ( 2 4) = 3 2 = A B2 C D 2 3 4 3 4 7某县教育局招聘了 8 名小学教师，其中 3 名语文教师，3 名数学教师，2 名全科教师， 需要分配到两个学校任教，其中每个学校都需要 2 名语文教师和 2 名数学教师，则分配方案 , 种数为 A72 B56 C57 D63 8一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A B C D 96 + 3672 + 4848 + 9624 + 48 9已知函数，下列结论不正确的是 () = 2 A的图象关于点中心对称 = ()(,0) 2 B既是奇函数，又是周期函数 = () C的图象关于直线对称 = () = 2 D的最大值为 = () 3 2 10如图所示，某几何体由底面半径和高均为 5 的圆柱与半径为 5 的半球面对接而成，该 封闭几何体内部放入一个小圆

3、柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱 体积的最大值为 A B C D 2000 9 4000 2781128 11已知的准线交 轴于点 ，焦点为 ，过 且斜率大于 0 的直线交于， 2= 42= 4, ，则 = 600| = A B C4 D3 4 7 6 4 7 3 12已知是减函数，且有三个零点，则 的取值范 () = 2, 0 (1 + 2 ), 0 () + 围为 A B (0, 2 2) 1, + ) (0, 2 2) C D 1, + ) 2 2 1, + ) 二、解答题二、解答题 13数列满足，（）. 1= 6 + 1= 6 9 （1）求证：数列是等差数列； 1 3 （2）求数列的前 999 项和. 14在四棱锥，平 / = 900, = = = 2 = 4, 面平面，分别是中点. , （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 15在中，内角所对的边分别为，已知. ,2+ 2 2= + 2 （1）求角 的大小； （2）若的面积，且，求. = 25 3 4 = 5 + 16如图，直线平面 ，直线平行四边形，四棱锥的顶点 在平 面 上，分别是与的

4、中 =7 =3 = ,/, = 2, 点. （1）求证：平面； / （2）求二面角的余弦值. 17如图，椭圆：的左右焦点分别为，离心率为，过抛物线 1 2 2 + 2 2 = 1( 0) 1,2 3 2 ：焦点 的直线交抛物线于两点，当时，点在 轴上的射影为，连接 2 2= 4, | = 7 4 1 并延长分别交于两点，连接，与的面积分别记为， ,) 1 , 设 . = 3 （1）求椭圆和抛物线的方程； 12 （2）求 的取值范围. 18已知函数的图象的一条切线为 轴. () = 3 2 2 3 （1）求实数 的值； （2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证： () = |() + ()| 1,2(1) = (2) . 12 0()() 或时的函数值，结合，可得的最大值为，由此可得 = 1 = 3 3 ( 1) = 0 1 0 因为，即，整理化简得， = 22 2+ 1 = 21 1+ 1 12= 1 ， |2= (2 1)2+ (2 2 21)2 | = 1+ 1| = 2+ 1 代入余弦定理整理化简得： |2= |2+ |2 2|600 ，又因为，所以， 1+ 2= 10 3 1

5、2= 1 1= 1 3 2= 3 ，选 B. | =(2 1)2+ (2 2 21)2= 4 7 3 【点睛】 圆锥曲线题目要注意题中几何关系，利用余弦定理是解决本题的关键。 12D 【解析】 【分析】 由于分段函数是减函数，从而知道当时，为减函数，此时 () 0 () = (1 + 2 ) 导函数恒成立，从而求出。再由于有三个零点，也就是函数 () 0 = 1 = () + 与图象有三个交点，通过讨论与交点的情况进而求出 的取值范围。 = () = 【详解】 当，单调递减， 0 () = (1 + 2 ) 可得在恒成立。 0时，() = (1 + 2 ) ( 1 + 2) = ( 1)( 1 ) 0 当，恒成立，可得，而，所以， 0 0() = = 1 + 2 1 令，.令得， () = 1 + 2 1() = 1 + 1 2() = 0 = 1 + 2 所以，单调递减；时， (0,1 + 2)时，() 0 单调递增。 () ， ()= (1 + 2) = 2 2 时，时， 0() 1 + () + 所以要使在有唯一解， = 1 + 2 1 (0, + ) 只需或. = 2 2 1

6、故选 D. 【点睛】 零点问题是近年高考中常考题型，常常转化为构造两个函数交点问题，利用数形结合也是 常见的方法。 13（1）见解析；（2）3 + ( + 1) 【解析】 【分析】 （1）方程两边减 3 后，取倒数可化简得，即可证明（2）化简 1 + 1 3 1 3 = 1 3 ，相加相消求和即可. = 3( + 1) = 3 + ( + 1) 【详解】 （1）数列满足：，（） 1= 6 + 1= 6 9 ， 1 + 1 3 = 1 6 9 3 = 3 + 3 3( 3) = 1 3 + 1 3 所以， 1 + 1 3 1 3 = 1 3 4 即，数列是以为首项， 为公差的等差数列； 1 3 1 1 3 = 1 3 1 3 （2）由（1）得，解之得：； 1 + 1 3 = 1 3 + （ 1)1 3 = 3( + 1) 所以， = 3( + 1) = 3 + ( + 1) 于是， = 3 + 2 1 + 3 + 3 2 + + 3 + ( + 1) = 3 + ( + 1) 【点睛】 本题主要考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、对数的运算及相加相消求和， 属于中档题. 14（1）见解析（2） 10 5 【解析】 【分析】 （1）要证明直线平面，只需要证明直线与平面内两条相交直线都垂直， 通过题中条件分析证明分别垂直于和即可。（2）建立空间直角坐标系，通过找出平面 的法向量，利用空间向量法计算线面角的公式即可。 【详解】 （1）取中点为 ，则由可得， = 因为平面平面，所以平面，故， 而，交于 ，所以平面，可得到.

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