人教版八年级数学上册《第15章分式恒等变形》讲义

1、1 满满分晋分晋级级 代数式 12 级 二次根式的综合化简 代数式 11 级 分式恒等变形 代数式 10 级 二次根式的概念及运算 秋季班第九讲 秋季班第八讲 暑期班第九讲 漫画漫画释义释义 8 分式恒等变形 2 知知识识互互联联网网 来源:学+科+网 思路思路导导航航 对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是 否有简便方法. 例例题题精精讲讲 【引例】计算 22 33 xyxy xy xxyxx 【解析】原式 22 33 xyxy xy xxyxx 222 33 xyxy xy xxyxxyx 2 x xy 2x xy 【点评】此题还可以先将小括号里的式子通分，再打开括号，但是运算量会加大，所以在运算的 时候需要思考一下简单方法. 典典题题精精练练 题题型一：分式的混合运算与化型一：分式的混合运算与化简简求求值值 3 【例 1】 计算： 23 22 () xyx xy xyxy 22 12 239 aa aaaa 【解析】； 2 () () x xy yxy 原式 331 232 aaa a aaa 13 22 a aa 13 22 a

2、aa 22 22 aa aa 【探究对象】条件分式求值的方法与技巧 【探究一】将条件式变形后代入求值 【变式一】已知，求的值 234 xyz 2 2 xyz xyz 【解析】设， 234 xyz k 则 x=2k，y=3k，z=4k 原式 223444 223455 kkkk kkkk 【备注】已知连比，常设比值 k 为参数，这种解题方法叫见比设参法 【变式二】已知，求的值 22 60aabb ab ab 【解析】由，有， 22 60aabb320abab 或，30ab20ab 解得或3ab 2ab 当时，原式；3ab 3 2 3 bb bb 当时，原式2ab 21 23 bb bb 【探究二】将所求式变形代入求值 【变式三】已知，求的值0abc 111111 ()()()cba abcabc 4 【解析】原式 111111111 ()1()1()1cba abccabbca 111 ()()3cba abc ，0abc 原式3 【变式四】已知，且，求代数式的值0abc 0abc 222 abc bccaab 【解析】原式来源:Z,xx,k.Com 3 33 333 bcbcabc a

3、bcabc 332233 33 3 3 bcb cbcbc abc bc bc abc 【探究三】将条件式和求值式分别变形后代入求值 【变式五】已知，求分式的值 2 210aa 22 214 () 2442 aaa aaaaa 【解析】原式 2 212 (2)(2)4 aaa a aaa 2 (2)(2)(1)2 (2)4 aaa aa a aa 2 42 (2)4 aa a aa 2 11 (2)2a aaa ， 2 210aa ， 2 21aa 原式1 【备注】本例是将条件式化为“”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代 2 21aa 入 【变式六】若，求的值4360xyz2700xyzxyz 222 222 52 2310 xyz xyz 【解析】由于，解得=3，=20xyz 4( )3( )60 xy zz 2( )70 xy zz x z y z 5 = 222 222 52 2310 xyz xyz 2222 2222 (52) (2310) xyzz xyzz = 22 22 5( )2( )1 2( )3( )10 xy zz xy zz 22 22 5 3

4、221 233210 = 52 4 13 【例 2】 将下列式子先化简，再求值 已知：，求代数式的值； 2 380xx 2 1441 212 xxx xxx 已知：，求的值； 3 1 x x 1 24 2 xx x 已知：，且，求 m 的值； 2 410aa 42 32 1 5 33 ama amaa 已知，求的值 11 3 xy 232 2 xxyy xxyy 【解析】原式 当时， 原式 2 3 32xx 2 380xx 2 38xx 3 82 3 10 ，故 2 2 2 24 1 1 1 x x x xx 2 1 ()218x x 8 1 1 24 2 xx x ， 2 410aa 1 4a a 2 2 1 14a a 又 2 42 2 32 1 114 5 3 3312 3 am amam a amaam am a 37 2 m 解法一：将分子、分母同除以，得：xy 原式 1122 233 2 333 11 32511 2 2 xyyx yx xy 解法二：由，得，即，代入所求分式得： 11 3 xy 3 yx xy 3yxxy 232326333 223255 xyxyxxyy

5、xyxyxy xxyyxyxyxyxyxy 题题型二：分式的恒等型二：分式的恒等变变形形 6 思路思路导导航航 恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都 相等，就说这两个代数式恒等表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换) 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要 求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变 例例题题精精讲讲 【引例】已知有理数、满足，求证：，或，或abc 1111 abcabc ab bc ca 【解析】 1111 abcabc 1111 ababcc ababcabc abc abcc abc 若0ab 则 11 abc abc 2 acbccab 2 0abacbcc 0a bcc bc 0acbc 或0ac0bc 当时，即0abab 综上所述，或，或ca ab bc 【点评】此结论十分有用，利用它，一些题可以迎刃而解 典典题题精精练练 【例 3】 若为自然数，且，求证：n 1111 abcabc 2

6、12121212121 1111 nnnnnn abcabc 【分析】若，则或或，用以解决本题就容易多了 1111 abcabc ab bc ca 【解析】证明：由得或或，不妨设，代入左边 1111 abcabc ab bc ca ab 7 左边 212121 111 nnn bc b 212121 111 nnn bbc ， 21 1 n c 而右边 21212121 2121 11 nnnn nn bbc bbc ， 21 1 n c 左边右边，原式成立 【例 4】 若，求证：1abc 1 111 abc ababcbcac 【解析】证法 1：，代入到等式左边1abc 1 c ab 左边 1 111 1 11 ab ab aba bba ababab 1 111 aab abaabaaba 右边1 证法 2：左边 1 aababc abaabcabaabcaabcab 1 111 aab abaabaaba 右边1 思路思路导导航航 此类题型常见于解决整除问题，特别常见于一元二次方程整数根问题. 例例题题精精讲讲 【引例】已知与的和等于，求、的值 2 a x 2 b x 2 4 4

7、 x x ab 题题型三：部分分式与分离常数型三：部分分式与分离常数 8 【解析】 22 ()2()4 2244 abab xabx xxxx 所以，解得 4 0 ab ab 2 2 a b 典典题题精精练练 【例 5】 已知，其中、为常数，求的值 2 372 3 1111 xxAB xxxx AB42AB 【解析】，原式1A 6B 8 【例 6】 若整数使为正整数，则的值为 m 6 1 m m m 若取整数，则使分式的值为整数的的值有（ ） x 63 21 x x x A3 个B4 个C6 个D8 个 【解析】 ； 0m B，又， 的整数值有 4 个. 636 3 2121 x xx 21 |6x 216x 321x 【例 7】 已知，求的值 abc k bcacab k 【解析】因为来源:学科网 abc k bcacab 所以 ，()ak bc ，()bk ac ，()ck ab 由+得，()()()abck bck ack ab 即2 ()abck abc 当时，所以0abc21k 1 2 k 当时，所以，所以的值是或0abcbca 1 aa k bca k 1 2 1 9 思思维维拓展拓展训练训练(选讲选讲) 训练 1.若不论为何值，分式总有意义，则 x 2 1 2xxc c 已知分式的值为零，那么的值是 . 2 215 3 xx x x 当 时，分式的值为正数. x 2 1 5 x x 当满足 时，.x 1 0 2 x x 【解析】； ； ； ; 1c 51x 12x 训练 2. 23 22 () xyx xy xyxy 其中 22 2 524 1 244 aaa aaa ，23a 【解析】 2 2 2 x xy

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