2018届高三数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例课件(文科)

1、文数 课标版,第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例,1.平面向量的数量积 (1)向量a与b的夹角:已知两个非零向量a,b,过O点作 =a, =b,则AOB =(0180)叫做向量a与b的夹角. 当 =90 时,a与b垂直,记作ab; 当 =0 时,a与b同向;,教材研读,当 =180 时,a与b反向. (2)a与b的数量积 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则把数量|a|b|cos 叫做a和b 的数量积(或内积),记作ab= |a|b|cos . (3)规定0a=0. (4)一个向量在另一个向量方向上的投影 设是a与b的夹角,则|a|cos 叫做a在b的方向上的投影,|b|cos 叫做b在a 的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量. (5)ab的几何意义 ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.,2.向量的数量积的性质 设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则 (1)ea=ae=|a|cos . (2)ab ab=0 . (3)当a与b同向时,ab=|a|b|. 当a与b反向时,ab=-|a|b|. 特

2、别地,aa=|a|2. (4)cos = . (5)|ab|a|b|.,3.向量的数量积的运算律 (1)ab=ba. (2)(a)b=(ab)=a(b)(R). (3)(a+b)c=ac+bc.,4.平面向量的数量积的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab= x1x2+y1y2 . (2)若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|= . (3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则| |= ,这就是平面内 两点间的距离公式. (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b为非零向量,则ab x1x2+y1y2=0 .,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)由ab=0,可得a=0或b=0. () (2)两向量ab的充要条件:ab=0x1x2+y1y2=0. () (3)若ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角. () (4)(ab)c=a(bc). () (5)ab=ac(a0),则b=c. (),1.两个非零向量a、b互相垂直,给出下列式子: ab=0;a+b=a-b;|a+b|=|a-b|;

3、|a|2+|b|2=(a-b)2;(a+b)(a-b)=0.其中 正确的式子有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案 B 显然正确;由向量运算的三角形法则知a+b与a-b长度相 等、方向不同,所以错误,正确;由向量数量积的运算律可知(a-b)2= |a|2+|b|2,故正确;只有在|a|=|b|时,a+b与a-b才垂直,错误.故选B.,2.设向量a,b满足|a|=|b|=1,ab=- ,则|a+2b|= ( ) A. B. C. D. 答案 B |a+2b|= = = = .,3.在边长为1的等边ABC中,设 =a, =b, =c,则ab+bc+ca= ( ) A.- B.0 C. D.3 答案 A 依题意有ab+bc+ca= + + =- ,故选A.,4.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)b=0,则a与b的夹角为 ( ) A.30 B.60 C.120 D.150 答案 C 设a与b的夹角为, (2a+b)b=0, 2ab+b2=0, 2|a|b|cos +b2=0, 又|a|=|b|, 2|a|2cos +|a|2=0, cos =- , 又0180,

4、=120.故选C.,5.已知a=(m+1,-3),b=(1,m-1),且(a+b)(a-b),则m的值是 . 答案 -2 解析 a+b=(m+2,m-4),a-b=(m,-2-m), (a+b)(a-b), m(m+2)-(m-4)(m+2)=0, m=-2.,考点一 平面向量数量积的运算 典例1 (1)(2015课标,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 (2)(2016天津,7,5分)已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是 边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则 的值为 ( ) A.- B. C. D. 答案 (1)C (2)B 解析 (1)因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)a=(1, 0)(1,-1)=11+0(-1)=1.故选C.,考点突破,(2)建立如图所示的平面直角坐标系. 则B ,C ,A ,所以 =(1,0). 易知DE= AC,FEC=ACE=60,则EF= AC= , 所以点F的坐标为 ,所以 =

5、 , 所以 = (1,0)= .故选B. 方法技巧 (1)求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利 用数量积的几何意义. (2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加减 运算或数量积的运算律化简再运算,但一定要注意向量的夹角与已知平 面角的关系是相等还是互补.另外,解决此类问题时,可建立坐标系,利用 向量的坐标表示求解.,1-1 设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数 量积等于 ( ) A.- B.- C. D. 答案 D a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0, 则m=- ,所以ab=-1 +21= .,1-2 在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.点E和 F分别在线段BC和DC上,且 = , = ,则 的值为 . 答案,解析 解法一:由题意可知CD=1,AD=BC=1,又因为 = , =2 , 所以 = ,在ADF中, = + = + ,在梯形ABCD中, = + + =- + + =- + ,在AB

6、E中, = + = + = + = + ,所以 = = + + = 22+ 21 + 12= .,考点二 平面向量数量积的应用 命题角度一 模的问题 典例2 (1)(2016河北衡水模拟)已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为 ,那么|4a -b|= ( ) A.2 B.6 C.2 D.12 (2)已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2= .若平面向量b满足be1=be2=1,则|b|= . 答案 (1)C (2),解析 (1)|4a-b|2=16a2+b2-8ab=161+4-812cos =12,|4a-b|=2 . (2)e1e2= , |e1|e2|cos= , =60. 又be1=be2=10, =30. 由be1=1,得|b|e1|cos 30=1,|b|= = .,典例3 (1)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足 =2a, =2a+b,则下列结论正确的是 ( ) A.|b|=1 B.ab C.ab=1 D.(4a+b) (2)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,则实数k= ( ) A.- B.0 C.3 D. 答

7、案 (1)D (2)C 解析 (1)b= - = ,|b|=| |=2,故A错; =22cos 60= 2,即-2ab=2,ab=-1,故B、C都错;(4a+b) =(4a+b)b=4ab+b2=-4+4 =0,(4a+b) ,故选D. (2)2a-3b=(2k-3,-6),由(2a-3b)c,得(2a-3b)c=0,即4k-6-6=0,解得k=3.选C.,命题角度二 垂直问题,典例4 (1)(2016课标全国,3,5分)已知向量 = , = , 则ABC= ( ) A.30 B.45 C.60 D.120 (2)已知向量a=(1, ),b=(3,m).若向量a,b的夹角为 ,则实数m= ( ) A.2 B. C.0 D.- 答案 (1)A (2)B 解析 (1)cosABC= = ,所以ABC=30,故选A. (2)a=(1, ),b=(3,m), |a|=2,|b|= ,ab=3+ m,命题角度三 夹角问题,又a,b的夹角为 , =cos , 即 = , +m= , 解得m= .,2-1 已知向量a,b满足(a+2b)(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为 .

8、 答案,解析 由(a+2b)(a-b)=-6,得a2-2b2+ab=-6,又|a|=1,|b|=2,ab=1,设向量a 与b的夹角为,则cos = = ,又0,故= .,方法技巧 平面向量数量积求解问题的策略 (1)求两向量的夹角:cos = ,要注意0,. (2)两向量垂直的应用:abab=0|a-b|=|a+b|. (3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有 a2=aa=|a|2或|a|= . |ab|= = . 若a=(x,y),则|a|= .,考点三 平面向量与三角函数的综合问题 典例5 已知向量a= ,b= ,且x . (1)求ab及|a+b|; (2)若f(x)=ab-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值. 解析 (1)ab=cos cos -sin sin =cos 2x. a+b= , |a+b|= = =2|cos x|. x ,cos x0,|a+b|=2cos x. (2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1 =2 - . x , cos x1, 当cos x= 时, f(x)取得最小值- ; 当cos x=1时, f(x)取得最大值-1.,方法技巧 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,先运用向量共线 或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解. (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量 的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的 有界性,求得值域等.,3-1 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b), n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2). (1)若mn,求证:ABC为等腰三角形; (2)若mp,边长c=2,角C= ,求ABC的面积. 解析 (1)证明:mn,asin A=bsin B, 即a =b ,其中R是ABC外接圆的半径, a=b. ABC为等腰三角形. (2)由题意可知mp=0, 即a(b-2)+b(a-2)=0.,

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