2018年高考数学总复习 第九单元第八节 抛物线精品课件 苏教版
24页1、第九单元 平面解析几何,知识体系,第八节 抛物线,基础梳理,1. 抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离 的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的 .,2. 抛物线的标准方程和几何性质,相等,准线,x0,yR,x0,yR,x轴,O(0,0),1,y0,xR,y0,xR,y轴,O(0,0),1,典例分析,题型一 抛物线的定义及应用,【例1】 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求PA+PF的最小值,并求出取最小值时P点的坐标.,分析 抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d,求PA+PF的问题可转化为PA+d的问题,运用三点共线可使问题得到解决.,解 将x=3代入抛物线方程 y2=2x,得y= . 2,点A在抛物线内部.,设抛物线上点P到准线l:x= 的距离为d,由定义知PA+PF=PA+d.由图可知当PAl时,PA+d最小,最小值为 ,即PA+PF的最小值为 .此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,即点P的坐标为(2,2).,学后反思 灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的
2、距离的等价转化,是抛物线定义的重要应用.,举一反三,1. 若例题中A点坐标变为(2,3),求PA+PF的最小值.,解析: 将x=2代入抛物线方程,得y=2, 32,点A在抛物线的外部. PA+PFAF= , A、P、F三点共线时有最小值,最小值为 .,解析: 将x=2代入抛物线方程,得y=2, 32,点A在抛物线的外部. PA+PFAF= , A、P、F三点共线时有最小值,最小值为 .,题型二 抛物线的几何性质和标准方程,【例2】已知抛物线顶点在原点,焦点在坐标轴上,又知此抛物线上的一点A(m,-3)到焦点F的距离为5,求m的值,并写出此抛物线的方程.,分析 因点A(m,-3)在直线y=-3上,所以抛物线的开口方向存在向左、向右、向下三种情况,必须分类讨论.,解 (1)若抛物线开口方向向下, 设抛物线方程为x2=-2py(p0), 这时准线方程为y= . 由抛物线定义知 -(-3)=5,解得p=4, 所以抛物线方程为x2=-8y. 这时将点A(m,-3)代入方程,得m= ; (2)若抛物线开口方向向左或向右,可设抛物线方程为y2=2ax(a0),从p=|a|知准线方程可统一成x=- 的
3、形式,于是由题设得 | +m|=5, 2am=9, 解此方程组可得四组解 a1=1, a2=-1, a3=9, a4=-9, m1=92, m2=-1, m3=12, m4=-12.,抛物线共有四条:y2=2x,m ;y2=-2x,m=- ; y2=18x,m= ;y2=-18x,m=- .,学后反思 抛物线的标准方程有四种.在求解过程中,首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式, 若只能判断对称轴,而不能判断开口方向,需分情况讨论,此时可设为x2=ay(a0)或y2=ax(a0)以减少讨论次数和运算量,然后利用特定系数法和已知条件求解.,举一反三 2. 抛物线 (p0)有一内接直角三角形,直角顶点在原点,一直角边的方程是y=2x,斜边长是 ,求此抛物线方程.,解析: 设AOB为题中直角三角形,OA边的方程为y=2x,则OB边的方程为 由 ,得A( ,p), 由 ,得B(8p,-4p). 则由|AB|= ,得 ,且p0, 解得 所求抛物线方程为,题型三 直线与抛物线,【例3】(14分)已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点. 求证
4、:(1)x1x2为定值;(2) 为定值.,分析 要证明x1x2为定值,需把直线AB的方程与抛物线方程联立,消去y后,用韦达定理求解;证明 为定值,则要结合用抛物线的定义解决问题.,证明 (1)抛物线y2=2px的焦点为F( ,0),当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x- )(k0). .2 由 y=k(x- ), y2=2px 消去y,整理得,k2x2-p(k2+2)x+ =0. 4 由韦达定理得,x1x2= (定值). .6 当ABx轴时,x1=x2= ,x1x2= 也成立. 8 (2)由抛物线的定义知,FA=x1+ ,FB=x2+ . 10 所以 .12 故 为定值. 14,学后反思 解决直线与抛物线位置关系的问题,一般要用到根与系数之间的关系.,举一反三 3. (2009全国改编)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线 C: 相交于A,B两点,F为C的焦点,若FA=2FB,求k的值.,解析: 抛物线C: 的准线为l:x=-2, 直线y=k(x+2)(k0)恒过定点P(-2,0). 如图,过A、B分别作AMl于M,BNl于N. 由FA=2FB,得AM=2BN,点B
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