广东省廉江市实验学校2018届高三(人教a版)数学(理)一轮复习课件:数学归纳法总复习
49页1、 数学归纳法要点梳理 1.归纳法由一系列有限的特殊事例得出 的推理方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为 归纳法和归纳法.,一般结论,完全,不完,全,基础知识 自主学习,2.数学归纳法(1)数学归纳法:设Pn是一个与正整数相关的命题集合,如果证明起始命题P1(或P0) 成立;在假设Pk成立的前提下,推出Pk+1也成立,那么可以断定Pn对一切正整数成立. (2)数学归纳法证题的步骤(归纳奠基)证明当n取第一个值 时,命题成立.(归纳递推)假设 (kn0,kN+)时命题成立,证明当 时命题也成立.只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.,n=n0,n=k,n=k+1,基础自测 1.用数学归纳法证明:“1+a+a2+an+1(a1)”在验证n=1时,左端计算所得的项为( )A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3,C,2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时,第一 步检验第一个值n0等于( )A.1 B.2 C.3 D.0解析 边数最少的凸n边形是三角形.,C,3.如果命题p(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成
2、立.若p(n)对n=2成立,则下列结论正确的是( )A.p(n)对所有正整数n都成立B.p(n)对所有正偶数n都成立C.p(n)对所有正奇数n都成立D.p(n)对所有自然数n都成立解析 归纳奠基是:n=2成立.归纳递推是:n=k成立,则对n=k+2成立.p(n)对所有正偶数n都成立.,B,4.某个命题与自然数n有关,若n=k(kN+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得( )A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立解析 方法一 由n=k(kN+)成立,可推得当n=k+1时该命题也成立.因而若n=4成立,必有n=5成立.现知n=5不成立,所以n=4一定不成立.方法二 其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当n=k时也不成立”为真,故“n=5时不成立”“n=4时不成立”.,C,5.用数学归纳法证明1+2+3+n2= ,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( )A.k2+1 B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+(k+1)2解析 当n=k时,
3、左边=1+2+3+k2,当n=k+1时,左边=1+2+3+k2+(k2+1)+(k+1)2,当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+(k+1)2.,C,题型一 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明:对任意的nN+,用数学归纳法证明的步骤为:归纳奠基:验证当n=1时结论成立;归纳递推:假设当n=k(kN+)时成立,推出当n=k+1时结论也成立.,题型分类 深度剖析,证明 所以等式成立. (2)假设当n=k(kN+)时等式成立,即有,所以当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切nN+等式都成立.用数学归纳法证明与正整数有关的一 些等式时,关键在于“先看项”,弄清等式两边 的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与 n的取值是否有关,由n=k到n=k+1时等式的两边变 化的项,然后正确写出归纳证明的步骤,使问题 得以证明.,知能迁移1 用数学归纳法证明:证明 (1)当n=1时,等式左边等式右边 所以等式成立.(2)假设n=k(kN+)时等式成立,那么当n=k+1时,,即n=k+1时等式成立. 由(1)(2)可知,对任意nN+等式均
4、成立.,题型二 用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1 (nN+)能被a2+a+1整除.解 (1)当n=1时,a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除.(2)假设n=k(kN+)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,,验证n=1时命题是否成立,假设n=k时命题成立,推证n=k+1时命题成立,得结论,则当n=k+1时, ak+2+(a+1)2k+1=aak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =aak+1+a(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1 =aak+1+(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1, 由假设可知aak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除, (a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除, ak+2+(a+1)2k+1也能被a2+a+1整除, 即n=k+1时命题也成立, 对任意nN+原命题成立.证明整除问题的关键是“凑项”,而 采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,凑出 n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题获证.,知能迁移2 求证:(3n+1)7n-1 (nN+)能
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