固体物理 第4章 能带理论2
10页1、4-2 一维周期场中电子运动的近近自由电子近似法 一、模型和微扰计算下图是一维周期场的示意图。近自由电子近似是指假定周期场的 起伏比较小,用势场的平均值 代替 作为零级近似,而将 看作微扰项。 零级近似的波动方程为: 其解为自由粒子的解: L=Na为归一化因子,引入周期性边界条件后: 取整数 根据定态微扰理论,本征值的一级和二级修正及本征函数的一级修正 为: 能量非简并: (1) (2) = 令 ,则 ,于是有 若 若 最后得: (3) 因此近似波函数及本征值为: 能量简并: 前面讨论时要求 ,但当 时,零级近似能量相等 即能量简并时,会造成分母为零的发散情况。一般情况下,平面波受到各原子所产生的散射波的位相之间没有什么关系, 彼此互相抵消,周期场对前进的平面波影响不大,散射波中各成分 的振幅较小,这正是微扰法适用的情况微扰法适用的情况。但是如果相邻原子所产生 的散射波成分有相同的位相,它们将相干加强,造成一级修正项太 大,使得微扰法不再适用,即对存在简并态时需要另行处理。 假定 态和 态接近布拉格反射条件即: 为一大于零的小量, 将零级波函数表示为: 代入定态薛定谔方程并经过适当的简
2、单处理可以得到: 其中利用到: 该关于A,B的齐次方程组有非零解的条件是系数矩阵的行列式等于零, 即; 得到: (1) ,即讨论离简并态 较远时, 态存在较大能量差别的情形。 将上式按 展开取一级近似得: 该结果和非简并微扰相似,只是存在相互影响。相互影响的结果是能 量较高的态能量进一步升高,能量较低的态能量进一步下降。 (2) ,即讨论离简并态 较近时, 态存在较小能量差别的情形。 按 展开取一级近似得到; 这里 代表自由电子在 状态的动能。下图给从了微扰后的能量和零级能量的比较。二、能带和带隙在零级近似中,电子被看成自由粒子,能量本征值 作为k的函数具有抛物线的形式(存在k=0的对称轴)。周期起伏势场的微扰,使 k状态只与的状态相互作用。在近自由电子近似模型中,若k的状态不在附近,则根据选择定则 ,就不存在 附近的相互作用的态,这样的满足选择定则的态之间零级能量相差 较大,同非简并的情形。当k在附近取值,则 在 附近取值,两态能量相近或者相等,微扰计算只要讨论这两态的影响,其他态的 影响和此项相比是小量,可以忽略不计。由此可以得到下图,即在 处存在能量等于 的跃变,其余部分类似于自由电子的能量的抛物线形状。能量较高的能带较宽,较低的能带较窄; 跃变处的能量间隔随着n的增加而增加。由于周期性边界条件使得k只能取 为整数。每一个 对应一个量子态,当N足够大时,k的取值非常密集,相应地能级也十分 密集成为准连续的。这些准连续的能级以间断点划分成一系列带, 如上图。因 ,每个态占据的“空间”为 ,即单位“空间”的态密度为,而每个态的“空间”为 。因此每个带包含的态数为因此每个带包含的态数为N N,等于等于原来晶格中元胞的数目。如果计入自旋则为原来晶格中元胞的数目。如果计入自旋则为2 2N N。 自由粒子波矢 和简约波矢 的关系:平移倒格矢 ,在简约波矢等于0和处出现带隙。
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